一中2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学

集宁一中霸王河校区20232024学年第二学期期末考试高二年级数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知，，则是的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

3．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中依次抽取2张（取后不放回），则在已知第一次取到奇数数字卡片的条件下，第二次取出的卡片数字是偶数的概率为A． B． C． D．4．为了研究经常使用是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：使用情况成绩合计及格不及格很少20525经常101525合计302050参考公式：，其中.附表：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是（

）A．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用与数学学习成绩无关”B．依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用与数学学习成绩有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用与数学学习成绩无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用与数学学习成绩有关”5．若命题“，”是假命题，则不能等于（

）A． B． C． D．6．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（

）A．B． C． D．7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（

）A．回归分析模型中，决定系数越大，说明模型模拟效果越好B．已知一组数据的方差是3，则数的标准差是12C．从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记为取得红球的个数D．已知随机变量服从正态分布，且，则10．定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（）A． B．C．2为的一个周期 D．11．已知函数的零点为，函数的零点为，则（

）A． B． C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12．已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则，且展开式中的常数项为.13．一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有种．14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数，其导函数为．(1)求在处的切线方程；(2)求的单调区间．16．（15分）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．17．（15分）水果店的销售额与所售水果的价格、质量及该店被附近居民的认可度密不可分.已知某水果店于2023年1月开张，前6个月的销售额（单位：万元）如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月时间代码x123456销售额y（单位：万元）2.04.05.26.16.87.4(1)根据题目信息，与哪一个更适合作为销售额y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果，求出销售额y关于时间x的回归方程.（注：数据保留整数）；(3)为进一步了解该水果店的销售情况，从前6个月中任取3个月进行分析，X表示取到的3个月中每月销售额不低于5万元的月份个数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式与数据：，，，，，样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.18．（17分）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.19．（17分）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；(2)已知函数，设集合．（i）求集合中元素的个数；（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．高二年级期末考试数学答案1．A【详解】由，即，等价于，解得，所以，又，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A2．C【详解】由，得，所以的定义域为.又，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故B错误；因为，所以当时，，所以，且在定义内为增函数，故A，D错误.对C：符合函数的定义域，奇偶性，单调性，故C正确.故选:C3．B【详解】所求概率为，故选B.4．D【详解】由题中数据可得，，所以有99.5%的把握认为“经常使用与数学学习成绩有关”，即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用与数学学习成绩有关”.所以C错误，D正确；因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用与数学学习成绩有关”，A错误；因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为“经常使用与数学学习成绩无关”，B错误.故选：D5．D【详解】根据题意，知原命题的否定“，”为真命题.令，故，解得.故选：D.6．B【详解】由题意得构造函数，则对任意的恒成立，所以在上是减函数，对A：因为，所以，即，得，故A错误；对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确.故选：B.7．B【详解】因为函数在上单调递增，当，即时，需满足，解得，所以；当，即时，需满足，即，解得，又，所以,综上，实数的取值范围为.故选：B8．D【详解】由，得：，，因为，所以，则；设（），则，当时，，所以在上单调递增，所以时，，即时，，所以，又，，所以，则，又，所以，综上：，故选：D.9．A【详解】对于A，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，故A正确.对于B，数据的平均值记为，数据的平均值为：，所以方差为，显然标准差不为12，故B错误；对于C：从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出2个球，记X为取得红球的个数，则，故C正确；对于D：因为随机变量服从正态分布，所以，又因为，所以，由正态分布的性质可得，故D正确.故选：ACD.10．BD【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，又为奇函数，所以，即，则函数的图象关于点对称，则，故B正确；所以，，即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误；，故A错误；又，所以函数的图象关于点对称，因此函数与的交点也关于点对称，则，故D正确，故选：BD.11．ACD【详解】，又函数的零点为，则，其中.，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.又，得.注意到，，则，且.对于A，因，，则，故A正确.对于B，因，则.令.在上单调递减，则，得在上单调递增.则，即，故B错误.对于C选项，因，，则，故.则由基本不等式结合有：，故C正确.对于D选项，因，则，由C选项分析可知.则令，.得在上单调递增，故，即.故D正确.故选：ACD12．6240【详解】由题意得，所以.又的展开式通项公式：，令，得所以常数项为,故答案为：①6;②240.13．72【详解】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和.如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种；如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.故答案为：.14．【详解】由在上满足的正整数至多有两个，即在上满足的正整数至多有两个，设，，则，设，，则，，设，，则恒成立，则在上单调递增，即，即，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；所以当时，取最小值，又在上满足的正整数至多有两个，则，即，故答案为：.15．(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为【详解】（1）因为的导数为，所以在处的切线斜率为，而故所求的切线方程为，即．（2）因为，定义域为所以解得，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．16．(1)(2)【详解】（1）由题意，在等差数列中，设公差为,由，得，则，又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，∴，，∴数列的通项公式为：．（2）由题意及（1）得，，在数列中，，在数列中，，∴，∴，，两式相减得．∴17．(1)(2)(3)列联表见解析，数学期望为2【详解】（1）根据表中的数据，可得关于时间的变化不是直线型，所以更适合作为销售额关于时间的回归方程类型；（2），，，，所以，销售额关于时间的回归方程为；（3）的所有可能取值为1，2，3，则，，.所以，的分布列为123，即的数学期望为2.18．(1)无最小值，最大值为(2)证明见解析【详解】（1）由题意得，则.令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，，无最小值，最大值为.（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在上单调递增，当时，，即，原不等式成立，即.19．(1)(2)（i）2；（ii）证明见解析【详解】（1）由题意，，，恒成立，所以在上单调递增，可得的值域为，因此只需，即可得，即，则的取值集合为．（2）（i）记函数，则，由得或；由得；所以函数在和上单调递增，在上