安徽省安庆市太湖中学2023-2024学年高二上学期第一次段考数学试题

安徽省太湖中学2022级高二第一次段考数学学科试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.若复数满足，则的虚部是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法求得，设，利用共轭复数的定义及复数相等求的虚部即可.【详解】由题设，，令，则，∴，得，故的虚部是1．故选：A.2.若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解.【详解】因为在基底下的坐标是，所以，设在基底下的坐标为，则，因此，所以，即，即向量在基底下的坐标为．故选：C．3.设，向量，，且，则（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量且，可得，解得，所以，，则，所以.故选：C.4.已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解.【详解】设直线过定点，则直线可写成，令，解得.直线必过定点．，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．故选：A.5.已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因，，所以，因为，所以，，，所以.故选：C6.当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解.【详解】由直线过点，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以直线方程为，即.故选：C.7.已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C8.如图，已知四棱台的底面是直角梯形，，，，平面，是侧棱所在直线上的动点，与所成角的余弦值的最大值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A垂直平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，设，，设与所成角为，则，设，则有，由存在，则，解得，即的最大值为，所以与所成角的余弦值的最大值为.故选：C二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线，则该直线（）A.过点 B.斜率为C.倾斜角为 D.在x轴上的截距为【答案】AB【解析】【分析】验证法判断选项A；求得直线的斜率判断选项B；求得直线的倾斜角判断选项C；求得直线在x轴上的截距判断选项D.【详解】对于A，当时，，∴，∴直线过点，故A正确；对于B，由题意得，，∴该直线的斜率为，故B正确；对于C，∵直线的斜率为，∴直线的倾斜角为，故C错误；对于D，当时，，∴该直线在x轴上的截距为2，故D错误．故选：AB．10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示．【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据可求倾斜角的取值范围；对于B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.【详解】对于A：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A正确.对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；.对于D：经过平面内任意相异两点直线：当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为，也能用方程表示，故D正确.故选：AD.11.已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（）A.当时，恒有B.若当时，的最小值为，则m的取值范围为C.不存在实数k，使函数有5个不相等的零点D.若关于x的方程所有实数根之和为0，则【答案】BC【解析】【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D．【详解】当时，且为R上的奇函数，作函数f（x）的图象如图：对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正确；对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；对于C，联立，得，△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此时,可知最多有3个不同的交点，∴不存在实数k，使关于x的方程f（x）＝kx有5个不相等的实数根，故C正确；对于D，由可得或，∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，∴函数的根与根关于原点对称，则，但x＞0时，方程有2个根，分别为，两根之和为，若关于x的两个方程与所有根的和为0，若的根为，此时，此时仅有一解，符合题意，故D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.12.如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（）A.B.C.平面平面D.被球截得的弦长为1【答案】ABD【解析】【分析】由，可得平面，再根据线面平行的性质即可证得，即可判断A；对于B，连接，证明，，即可得平面，再根据线面垂直的性质即可证得，即可判断B；对于C，如图以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直，即可判断C；对于D，易得四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，求出半径，再利用向量法求出点到直线的距离，最后利用圆的弦长公式求出被球截得的弦长，即可判断D.【详解】解：对于A，因为，平面，平面，所以平面，又因平面与平面的交线为，所以，故A正确；对于B，连接，在等腰梯形中，因为，，的中点为，所以四边形都是菱形，所以，所以，因为底面，面，所以，又，所以平面，又因平面，所以，故B正确；对于C，如图以原点建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量，平面的法向量，则，可取，同理可取，因为，所以与不垂直，所以平面与平面不垂直，故C错误；对于D，由B选项可知，，则点即为四边形外接圆的圆心，故四棱锥的外接球的球心在过点且垂直于面的直线上，设外接球的半径为，则，则，所以，设与所成的角为，点到直线的距离为，，因为，直线的方向向量可取，，则，所以，所以，所以被球截得的弦长为，故D正确.故选：ABD.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线，直线．若，则实数的值为______．【答案】或【解析】【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值．【详解】因为直线，直线，且，所以，解得或.故答案为：或.14.已知，，．若、、三向量共面，则实数______．【答案】【解析】【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为不平行，且、、三向量共面，所以存在实数x，y，使，所以，解得，故答案为：15.算盘是中国传统计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位档拨上一颗上珠和两颗下珠，个位档拨上四颗下珠，则表示数字，若分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，记事件所表示的数能被整数，事件所表示的数能被整除，则______．【答案】##【解析】【分析】分析可知共可以组成个数，计算出、、的值，即可计算得出的值.【详解】分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，共可以组成个不同的数，若组成的数能被整除，则四个数位上有个，个，故能被整除的数有个，则．若组成的数能被整除，则个位数为，故能被整除的数有个，则．既能被整除又能被整除的数，则个位数字为，其余三个数上有个，个，有个，则．故．故答案为：.16.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．【答案】##【解析】【分析】平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，当点P，M，N和共线时周长最小，计算得到，，，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据距离公式计算得到答案.【详解】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，延长DC至，使得，于是点N在线段的垂直平分线上，所以，因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小，易得，即得，即，所以，，，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，由题意可得，，，则，，设是平面PMN的一个法向量，则.即得，令，得，，，，所以点Q到平面PMN的距离．故答案为：．四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知平行六面体，底面是正方形，，，设．（1）试用表示；（2）求的长度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义，结合几何体确定与的线性关系；（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.【小问1详解】.【小问2详解】，，所以.18.已知点，求下列直线的方程：（1）求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；（2）光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分直线过原点与不过原点讨论，结合直线的截距式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求得点关于轴的对称点的坐标为，再由直线的点斜式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；当直线不过原点时，设直线方程为，且，即，将代入，可得，解得，则直线方程为，化简可得；综上，直线方程为或.【小问2详解】点关于轴的对称点的坐标为，由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，所以反射光线所在的直线斜率为，则反射光线所在的直线方程为，化简可得.19.某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在分以上（包括分，满分分）共有人，分成、、、、五组，得到如图所示频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到）；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中任取人，求此人分数都在的概率．【答案】（1）平均数为，中位数约为（2）【解析】【分析】（1）根据所有直方图的面积之和为可求得的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（2）计算出分层抽样抽取的人中，数学成绩位于的有人，记为、，数学成绩位于的有人，记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】由，解得，这次数学竞赛成绩的平均数为，前组的频率和为，前组的频率和为，所以中位数为．【小问2详解】分层抽样抽取的人中，数学成绩位于的有人，记为、．数学成绩位于的有人，记为、、、，从人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种，其中人分数都在的有、、、，共种，所以从人中任取人，分数都在的概率为.20.图①是直角梯形，四边形是边长为2的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且．（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值：若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解析（2）存在，直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【分析】（1）作出辅助线，取的中点，连接，由勾股定理逆定理得：，从而平面,所以平面平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点的坐标，从而得到线面角.【小问1详解】取的中点，连接，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以均为等边三角形，故且，因为，所以，由勾股定理逆定理得：，又因为是平面内两条相交直线，所以平面，即平面,因为平面，所以平面平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，故，解得：，故，设平面的法向量为，则，故，令，则，故，其中则，解得：,则，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.21.在中，角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，边上的中线，且，求．【答案】（1）（2）【解