北京市第一零一中学2024-2025学年高三上学期数学统练三 含解析

北京一零一中2024-2025学年度第一学期高三数学统练三班级：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数满足，则的虚部为（）A. B.C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由，化简得到求解.【详解】解：因为复数满足，所以，所以的虚部为-3，故选：D2.已知是等比数列，若，，则的值为（）A.9 B. C. D.81【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.【详解】由题得，而，则，故选：A.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（）A.和 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为.故选：D.4.在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据的单调性相反排除AD，然后根据幂函数图象判断出的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数，的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD；在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象，且由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B，所以C正确.故选：C.5.已知实数，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.【详解】解：由题可知，，A项中，若，则，故A项错误；B项中，若，则，故，故B项错误；C项中，若，则，故C项错误；D项中，，因为，则，故正确，故D项正确.故选：D.6.设是非零向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且，所以由可得，所以充分性成立；对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7.已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.【详解】由题意可知，，所以或，由因为，所以，即，故.故选：A.8.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n天后，甲同学的知识储备量为，乙同学的知识储备量为，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（）（参考数据：，，）A.15 B.18 C.30 D.35【答案】B【解析】【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.【详解】由题意可设经过n天后甲、乙知识储备量之比为2，则，则（天），故选：B9.若数列满足，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由与的关系求得，从而为常数列，得到，即可求的值.【详解】由及得，即，即，所以，即常数列，又，所以，即，所以，所以.故选：B10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距的A，B两点各放置一个传感器，分别实时记录A，B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a，b所示.和分别是两个函数的极小值点.曲线a经过和，曲线b经过.已知，并且从时刻到时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知，P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P的轨迹与y轴重合，其在时刻对应的点分别为（坐标原点），，P的速度为，因为，可得，由题意可知：均与y轴垂直，且，作垂足为，则，因为，即，解得；又因为∥y轴，可知P的运动轨迹与直线AB所成夹角即为，所以P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P的轨迹与y轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二、填空题共5小题.11.已知集合A={﹣1，1，3}，B={2，2a﹣1}，A∩B={1}，则实数a的值是________．【答案】1【解析】【详解】由A∩B={1}知，即2a﹣1=1，解之得a=1，故填112.函数的定义域是___________.【答案】【解析】【分析】根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，列式可求定义域.【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.13.已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“，”为假命题，其否定“，”为真命题，当时，显然成立；当时，恒成立可化为：解得综上实数a的取值范围是.故答案为.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．14.已知等边的边长为，分别是的中点，则_______；若是线段上的动点，且，则的最小值为_______．【答案】①.②.##【解析】分析】第一空：通过展开整理，带入数据计算即可；第二空：设，通过展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】;若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点，设，，当时，取最小值，且为.故答案为：；.15.已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如：给出以下四个结论：①②集合的元素个数为;③存在，对任意的，有;④对任意都成立，则实数的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用给定定义直接判断①，卡出，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可.【详解】对于①，由知，，故①正确，对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，易得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故该集合元素个数为6，故②错误，对于③，显然在时，的值域不关于对称，故不关于对称，即，故③错误，对于④，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，而对任意都成立，故恒成立，令，即，而显然，可得恒成立，即，故④正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.等差数列中，首项，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出，进而得出数列的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前项和为和.【小问1详解】因为成等比数列，所以即，解得，所以；【小问2详解】因为，，，．17.已知函数．（1）求f(π（2）求函数的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（1）0；（2），．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得，把代入函数解析式中，即可f(π3)（2）由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得.【小问1详解】由得所以.【小问2详解】令，得所以函数的单调递减区间是令，得即函数的对称轴方程18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）若D是边AB的中点，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理可以求解；（2）令，利用正弦定理，把边长都用表示，最后用三角函数知识解得取值范围.【小问1详解】因为所以，所以，又因为，所以；【小问2详解】令,因为，所以由正弦定理可得：,所以，所以，又因为，所以所以19.已知函数（1）求的图象在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解切线方程即可；（2）先将f′x整理为，只需考虑的符号即可，根据二次函数的图象性质对参数分类讨论可得结果.【小问1详解】.故的图象在点1,f1处的切线方程为.【小问2详解】.①当时，令，解得，有0,111,+f+0-极大值故单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,+∞②当时，令，解得或.当时，11,+f-0+0-极小值极大值故单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为0,+∞，无单调递增区间.当时，0,11f-0+0-极小值极大值单调递增区间为，单调递减区间为.综上，当时，的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,+∞；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递减区间为0,+∞，无单调递增区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.20.已知在处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）证明：仅有一个极值点，且．（3）若，是否存在使得恒成立，存在请求出的取值范围，不存在请说明理由．【答案】（1）（2）证明见详解（3）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）求出的导数，根据切线方程求出，的值即可；（2）求导可得，令，利用导数可得的单调性，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，且，进而可得的单调性，可判断极值情况；结合代入化简，运算得证；（3）问题转化为，对恒成立，当时，显然上式不成立；当时，令，利用导数可得存在，使得，当时，，即单调递减，此时，上式不能恒成立，得解.【小问1详解】由题意，，则，解得，又，可得切点为，代入，得.所以实数.【小问2详解】由（1）得，则，令，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，且当时，，，，所以在上存在唯一零点，使得即，当时，，即，单调递减，当时，，即，单调递增，所以仅存在一个极值点，，，又函数，，而，所以在上单调递减，则，所以.【小问3详解】若存在，使得恒成立，即，对恒成立，当时，当时，则，显然上式不成立；当时，令，，则，令，则在上恒成立，所以即在上单调递增，又，，所以存，使得，所以当时，，即单调递减，此时，所以不恒成立，故当时，不存在满足条件.综上，不存在，使得恒成立.【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为，对恒成立，分和讨论，其中时，令，利用导数判断求解找出矛盾.21.有穷数列中，令，当p=q时，规定.（1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得；（2）已知整数列为偶数，若，满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；（3）已知数列满足，定义集合.若且为非空集合，求证：.【答案】（1）、、、（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得，，可得当时，有，当时，，结合，即可得解；（3）将展开，从而得到证明与之间的项之和，，都为正数，即可得证.【小问1详解】为时，，为时，，为时，，为时，，故，且使得的有序数对有、、、；【小问2详解】由题意