专题02 解直角三角形（六大类型）（题型专练）（解析版）-A4

第页专题02解直角三角形（六大类型）1．（2023•青岛三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过点D作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝5，∴sin∠BAC＝，故选：B．2．（2023•樊城区模拟）如图，在正方形组成的网格中，∠BAC的余弦值等于（）A． B． C．1 D．【答案】B【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AD＝CD＝3，∴AC＝＝＝3，∴cos∠BAC＝＝＝，故选：B．3．（2023•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中点，BC＝4，tan，则AD的长为（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∵tan∠CAB＝＝，∴AC＝2BC＝2×4＝8，∵D是AC的中点，∴AD＝AC＝×8＝4，故选：C．4．（2023•增城区二模）如图，在Rt△ABC中，AB＝10，，则AC的长是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝＝，∴AC＝AB＝×10＝6，故选：A．5．（2023•集宁区校级模拟）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，，则AC的长为（）A．9 B．15 C．18 D．12【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinB＝，∵AB＝25，，∴＝，∴AC＝AB＝×25＝15，故选：B．6．（2022秋•薛城区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（）A．8 B． C．7 D．【答案】C【解答】解：∵AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∵tanC＝＝，∴CD＝3，∴BC＝BD+CD＝7；故选：C．7．（2021秋•惠安县期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：连接BC，由题意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故选：B．8．（2022秋•电白区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝，AC＝3，则sin∠ACD＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝4，∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝，故选：C．9．（2022•市中区二模）如图，在▱ABCD中，CD＝4，∠B＝60°，分别以点A，B为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交BC与点E，BE：EC＝2：1，则▱ABCD的面积为（）A．12 B． C． D．【答案】C【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，在▱ABCD中，∵CD＝4，∴AB＝CD＝4，由作法得EM垂直平分AB，∴AE＝BE＝4，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝4，∵BE：EC＝2：1，∴EC＝2，BC＝BE+EC＝4+2＝6；又∵AF⊥BC，∠B＝60°，∴sin∠ABF＝，∴AF＝AB•sin∠ABF＝4×＝2，∴S▱ABCD＝BC•AF＝6×2＝12．故选：C．10．（2022•南山区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则tan∠ACD的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tanB＝，∴tanB＝，∴tan∠ACD＝，故选：A．11．（2022•青秀区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则AB长为（）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，∴AB＝＝＝8，故选：B．12．（2022秋•西岗区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么tanα的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如图：过点A作AB⊥x轴，垂足为B，∵点A的坐标为（3，4），∴OB＝3，AB＝4，在Rt△AOB中，tanα＝＝，故选：B．13．（2022秋•张店区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，则线段AD的长为（）A．6 B．12 C．6 D．6【答案】B【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△BCE中，∠B＝45°，BC＝6，∴CE＝BC•sin45°＝6×＝6，在Rt△ACE中，∠BAC＝60°，∴AC＝＝＝12，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝75°，∵∠ACD＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝75°，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝12，故选：B．14．（2022•泗水县二模）如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，在Rt△BAD中，，∴，设AB＝3a，AD＝4a，则BD＝＝5a，∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．故选：B．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12，则AC等于6．【答案】6．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵AB＝12，∴AC＝6．故答案为：6．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AC＝10，，那么AD＝．【答案】．【解答】解：∵cosC＝，AC＝10，∴BC＝AC•cosC＝10×＝6．又BD⊥AC，∴CD＝BC•cosC＝6×＝．∴AD＝AC﹣CD＝10﹣＝．故答案为：．17．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，则BC＝．【答案】．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD＝AB＝2，∴，∵∠C＝45°，∴DC＝AD＝2，∴．故答案为：．18．如图，每个小正方形的边长均相等，则sin∠BAC的值为．【答案】．【解答】解：连接BC，由题意得：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∴sin∠BAC＝sin45°＝，故答案为：．19．如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则sin∠BAC的值为．【答案】．【解答】解：令正三角形的边长是“1”，∴AC＝2，BC＝×1＝，∴AB＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故答案为：．20．如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝1，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA＝2，连接AD，则tan∠DAC的值为2+．【答案】2+．【解答】解：在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝．∵AC＝1，∴AB＝2，∵BD＝BA＝2，∴BC＝，∴DC＝BD+BC＝2+，∴tan∠DAC＝＝2+．故答案为：2+．21．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若，则AD的长度是10．【答案】10．【解答】解：∵∠B＝90°，∴cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10．故答案为：1022．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．【答案】（2+2）．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．故答案为：（2+2）．23．如图．已知△ABC中，．（1）求AC的长；（2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，∵，设AE＝3k，则BE＝4k，∴AB＝5k，∵AB＝BC＝5，∴k＝1，∴AE＝3，BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，；（2）如图所示，∵BD是AC边上的高，AE是BC边上的高，∴∴．24．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度数．【答案】90°．【解答】解：∵AD＝2，BD＝1，DC＝4，∴，∵∠BDA＝∠ADC＝90°，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠C，∵∠C+∠DAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°．25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A＝60°，求BC的长；（2）若sinE＝，求AD的长．【答案】（1）＝6﹣6；（2）6．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，∴∠E＝30°，BE＝tan60°•6＝6，又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，∴CE＝＝6，∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；（2）∵sinE＝，∴sinA＝，∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，∴3x＝6，得x＝2，∴BE＝8，AE＝10，∴tanE＝＝＝＝，解得DE＝4，∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，即AD的长是6．26．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性体现，数学兴趣小组在尝试计算tan15°时，采用以下方法：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝1、则AB＝2、BC＝；所以tan15°＝＝＝＝2﹣，类比这种方法，计算tan22.5°的值（画出计算所需图形，并用文字、计算说明）．【答案】﹣1．【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，设AC＝1，则，∴CD＝CB+BD