高考数学一轮难题复习复数典型解答题(学生版+解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.(2)共轭复数复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq\x\to(z)＝a－bi.(3)复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(4)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)复数的运算法则加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a，b，c，d∈R))2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz．r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤1先求复数的模.2决定辐角所在的象限.3根据象限求出辐角.4求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))，eq\o(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把eq\o(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up14(→))，eq\o(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量0单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a＝b说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b规定：零向量与任何向量都平行0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b.作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.10．平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).13．利用数量积求夹角设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.例题1．设，且.（1）已知，求的值；（2）若，设集合，，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若，，是否存在，使得数列、、满足（为常数，且）对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，若不存在，请说明理由.试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习复数典型解答题1．复数的相关概念及运算法则(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.(2)共轭复数复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数eq\x\to(z)＝a－bi.(3)复数的模复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(4)复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)复数的运算法则加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a，b，c，d∈R))2．复数的几个常见结论(1)(1±i)2＝±2i.(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．3．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz．r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．特别提醒：(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．(2)复数0的辐角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．4.复数的代数形式化为三角形式的步骤1先求复数的模.2决定辐角所在的象限.3根据象限求出辐角.4求出复数的三角形式.特别提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.5．复数三角形式的乘、除运算若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．（2）除法法则：模相除，辐角相减．（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．6.复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))，eq\o(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))绕点O按逆时针方向旋转角θ2如果θ2＜0，就要把eq\o(OZ1,\s\up14(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up14(→))，eq\o(OZ,\s\up14(→))表示的复数就是积z1z2.7．平面向量的概念名称定义记法零向量长度为0的向量叫做零向量0单位向量长度等于1个单位的向量，叫做单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量a＝b说明，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有向线段表示同一个向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b规定：零向量与任何向量都平行0∥a说明：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量也叫有线向量8.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．9．向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b.作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.10．平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．11．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.12．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).13．利用数量积求夹角设a，b为非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).14．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.例题1．设，且.（1）已知，求的值；（2）若，设集合，，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；（3）若，，是否存在，使得数列、