浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷（含答案）

浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期数学期中试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={−1，0，A．{0，2C．{0，22．设x∈R，则“2x2−5xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为（）A．9cm2 B．27cm2 C．4．函数f(x)=|A． B．C． D．5．已知函数f(x)=log2(2−x)的值域为(−∞A．[0，+∞) B．[0，2) C．6．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少13A．6 B．7 C．8 D．97．已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．a<c<b8．已知函数f(x)=ln(x+1)+m，x≥0ax−b+1，x<0(m<−1)，对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t，若关于x的方程|f(x)|=f(m2A．(1−e2，C．(12−二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分．9．下列说法正确的是（）A．π10化成角度是B．−120°化成弧度是−C．−330°与750°的终边相同D．若sinθ⋅cosθ=1210．用二分法求函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：A．函数f(x)在(1.B．已经达到精确度，可以取1.C．没有达到精确度，应该接着计算f(1D．没有达到精确度，应该接着计算f(111．函数f(x)=xA．f(x)的值域是(−1B．函数y=f(x)的图像与函数g(x)=log2x+1x−1图像的交点为(x1，yC．若规定f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f(D．对任意的x∈[−1，1]，若函数f(x)≤t2−2at+112．已知x，A．xy的最大值为2 B．x+2y的最小值为4C．x+y的最小值为42−3 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边经过点(m，2m)(m>0)，则sinα=14．lg25+2315．已知函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x（a<103且a≠316．若定义在区间[−2021，2021]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[−2021，2021]，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合M={x|18<2x（1）求M∩N；（2）若M∪C=M，求实数a的取值范围．18．已知tana−1tana=（1）求tana的值；（2）求2sin19．已知函数f(x)=（1）若关于f(x)的方程f(x)=a有解，求实数a的取值范围；（2）若存在正实数a，b(a<b)，使得函数f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，20．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y=−x+b；②y=abx（a≠0，b>0，且b≠1）；③y=lo（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.21．已知函数f(x)=log（1）解关于x的方程[f(x)+1][f(x)−1]=3；（2）设函数g(x)=2f(x)+12f(x)−122．已知函数g(x)=lg(x2+a−x)，若（1）求实数a的值；（2）判断函数g(x)的单调性，若g(bx2+2)>g(2x+1)在[2（3）若函数f(x)=1−2|x−12|，判断函数y=f[f(x)]−g(−x)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为集合M={−1，0，故答案为：D.

【分析】根据集合的并集运算求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为不等式2x2−5x<1，即2x2−5x<而|x−1|<1，解得0<x<2，因为0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2可推出0<x<5，所以0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即2x2−5x故答案为：B.

【分析】利用指数函数的单调性，求解不等式2x3．【答案】D【解析】【解答】解：设扇形所在圆的半径为r，因为圆心角为3rad，可得扇形的弧长为l=3r，又因为扇形的周长为30cm，可得2r+3r=30，解得r=6，所以扇形的面积为S=1故选：D.故答案为：D.【分析】设扇形所在圆的半径为r，根据扇形的弧长公式，列出方程求得r=6，结合扇形的面积公式，即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：函数f(x)=|x2−1|x所以f(x)为奇函数，故排除A；当x>0时，f(x)=|x2−1|x≥0，故排除C；当x>1时，f(x故答案为：D.

【分析】先求函数的定义域，由于定义域关于原点对称，满足f-x=-fx，即函数为奇函数排除A；再根据x>05．【答案】C【解析】【解答】解：根据函数f(x)=log2(2−x)的值域为(−∞，1]，可得0<2−x≤2，故0≤x<2可得0≤2x<2，解得0≤x<1，故函数f(2x)的定义域为[0，故答案为：C.

【分析】先根据函数f(x)的值域为(−∞，1]求出函数f(x)的定义域，再利用抽象函数的定义域求法求函数6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知0.2%×(1-13)n故答案为：C.【分析】根据题意，列出不等式，结合对数的运算，计算即可判断.7．【答案】A【解析】【解答】解：因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，+∞)，且x1≠x2，都有f(cos11π4=cos(2π+3π4)=cos3π4故答案为：A.

【分析】根据已知条件可得函数fx在区间[08．【答案】D【解析】【解答】解：易知函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，值域为[m，+∞)，因为对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f(s)=f(t)，且s≠t，所以f(x)在(−∞，0)上单调递减，值域为(m，+∞)，则a<0，且所以f(m2)=−m，所以a=−4，且x1<x2<x3，则−4x1+m=−m，即x1=m2，x2=0故答案为：D.

【分析】根据已知条件可得b=1−m，再由关于x的方程|f(x)|=f(m2)有3个不相等的实数根，可得a=−49．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、π10B、−120°=-120×πC、因为750°=-330°+3×360°，所以−330°与750°的终边相同，故C正确；D、因为sinθ⋅cosθ=12，所以故答案为：ACD.

【分析】根据弧度制和角度制的转化，即可判断A正确B错误；由750°=-330°+3×360°，即可判断C正确；利用三角恒等变换即可判断D正确.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、因为f(1.25)f(1.5)<0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)=x3+x2故答案为：AD.

【分析】利用二分法判断出函数f(x)=x11．【答案】A,C【解析】【解答】解：函数f(x)=x1+|x|(x∈R)的定义域为R，f(−x)=−x1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x1+x=1+x-11+x=1-B、由A可知函数f(x)为奇函数，由因为函数g(x)=log2x+1C、当n=1，f1(x)=f(x)=x1+|x|，f2D、x∈[0，1]时，f(x)=x1+x=1−1x+1，因为y=1x+1故对于任意的x∈[−1，1]，f(x)为增函数，所以函数的最大值为f(1)=12，要使函数f(x)≤t2−2at+12恒成立，即t2−2at+12≥12，即故答案为：AC.

【分析】利用函数的性质逐项判断即可.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、原式变形可得x+2y=6−xy，因为x，y>0，由基本不等式可得：6−xy=x+2y≥22xy，解得：xy≤2，或xy≥18（舍去），所以xyB、由x+2y+xy−6=0得：xy=6−(x+2y)，因为x，y>0，所以6−(x+2y)≤(x+2y)28，解得：x+2y≥4因为0<x+2y<6，所以x+2y≤−12舍去，当且仅当x=2y时等号成立，所以x+2y的最小值为4，故B正确；C、由x+2y+xy−6=0变形为x+y+y(1+x)=6，则y(1+x)=6−(x+y)，由基本不等式得：y(1+x)≤(y+x+1)24，当且仅当y=1+x时等号成立，此时6−(x+y)≤(y+x+1)24，令x+y=t(t>0)，则由6−t≤(t+1)24D、由x+2y+xy−6=0可得：(x+2)(y+1)=8，从而(x+2)2+(y+1)2≥2故答案为：BCD.

【分析】对不等式变形为x+2y=6−xy，利用基本不等式得到6−xy≥22xy，求出xy的最大值即可判断A；将不等式变形为xy=6−(x+2y)，利用基本不等式得到6−(x+2y)≤(x+2y)28，求出x+2y的最小值，即可判断B；对不等式变形为y(1+x)=6−(x+y)，利用y(1+x)≤(y+x+1)13．【答案】2【解析】【解答】解：已知角α的终边经过点P(m，2m)，因为m>0，所以r=|OP|=m故答案为：25

【分析】根据三角函数的定义求解即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：lg25+23lg8−3lo故答案为：2.

【分析】根据对数运算的运算性质，可得答案.15．【答案】a<2或3<a<【解析】【解答】解：因为函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x所以10−3a>1a2−6a+8>0或a2−6a+8<0故答案为：a<2或3<a<10

【分析】根据指数函数单调性分10−3a>1，0<10−3a<1，分别计算求解即可.16．【答案】2023；4046【解析】【解答】解：由题意对于任意x1，x2∈[−2021，2021]，都有f(x1+x2则x2−x1>0，f(可得f(x2)>f(x1)，即函数f(x)是增函数，所以即M+N的值为4046．故答案为：4046.

【分析】根据题意，令x1=x2=0，得f(0)=2023，令x1+17．【答案】（1）解：因为M={x|18所以M∩N={x|0<x<5}（2）解：因为M∪C=M，所以C⊆M，当C=∅时，a≥2a−1，解得a≤1，此时符合题意；当C≠∅且C⊆M时，∴a≥−3a<2a−1，2a−1≤5综上所述：实数a取值范围是a≤3．【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性求出集合M={x|−3<x<5}，再由交集运算性质求解即可；（2）因为M∪C=M，所以C⊆M，分C=∅，C≠∅，分别求解，再求解集的并集即可.18．【答案】（1）解：由于tana−1tana=32且a是第三象限角，解得tana=−12（2）解：可得2si=2sin当tana=2时，原式=12【解析】【分析】（1）整理化简题目中的方程，结合三角函数的性质，可得tana=2；

（2）利用诱导公式，同角三角函数的关系式化简可得：原式=2ta19．【答案】（1）解：当x≥1时，y=1−1x在[1，当0<x<1时，y=1x−1在(0所以f(x)的值域为[0，+∞)（2）解：若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为则a>0，m>0．①当a，b∈(0，1)时，由于f(x)在故1a−1=mb1b−1=ma②当a∈(0，1)，b∈[1，+∞)时，易知0在值域内，值域不可能是[ma，③故只有a∵f(x)在[1，∴f(a)=maf(b)=mb，即1−a，b是方程mx即关于x的方程mx2−x+1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x则x1+∴Δ>0(x1解得0<m<1故m的取值范围是0<m<1【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，分别求出当x≥1，0<x<1的值域，即可得解.

（2）若存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．则a>0，m>0，根据函数y=f(x)在[a，b]上的单调性，按照a，b∈(0，1)，a∈(0，20．【答案】（1）解：由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增，而①y=−x+b是单调递减，所以不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入y=ab得1=ab32=ab5，解得当x=9时，y=2将(3，1)，(5，2)代入y=lo得1=loga(3+b)当x=9时，y=log28=3；当故可用③来描述x，y之间的关系.（2）解：由题知log2(∵年利润665<10%【解析】【分析】（1）由年利润y是随着投资成本x的递增而递增，可知①不符合，把(3，1)，(5，2)代入②y=abx，求出函数解析式y=24⋅(2)x=2x−3（2）由题知log2(x−1)≥6，则21．【答案】（1）解：∵4x>0，则4x∴由方程[f(x)+1][f(x)−1]=3，即[f(x)]2=4，可得∴log2(4x（2）解：∵2f(x)∴函数g(x)==(令t=2x+12x，因为函数y=m+1m在且m=2时，t=52；m=4时，t=17则g(x)=h(t)=t2−2bt+①当b≥174时，函数h(t)在所以g(x)在[1，2]上的最小值为整理可得16b2−136b+225=0，解得b=②当b≤52时，函数h(t)在所以g(x)在[1，2]上的最小值为整理可得4b2−20b+9=0，解答b=③当52<b<174时，函数h(t)在所以g(x)在[1，2]上的最小值为综上所述，b的值为12或25【解析】【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质可得f(x)>0，由方程[f(x)+1][f(x)−1]=3可得f(x)=2，再求解对数方程即可；（2）2f(x)=2log2(4x+1)=4x+1，化简函数22．【答案】（1）