第一讲《-不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)1

第一讲不等式和绝对值不等式1、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：

传递性：_________

②、

，a+c＞b+c③、a＞b，

，那么ac＞bc；

a＞b，

，那么ac＜bc④、a＞b＞0，

那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件

）练习：1、判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（4）如果a>b,c<d，那么a-c>b-d。

2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命题）（假命题）（真命题）（假命题）解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)例2、已知a>b>0，c>d>0，求证：例1、求证：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。证明：因为a>b>0,c>d>0，由不等式的基本性质（3）可得ac>bc,bc>bd，再由不等式的传递性可得ac>bc>bd。

练习：如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并说明理由。例3、若a、b、x、y∈R，则是成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件C例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若c>a>b>0，则（2）若a>b,，则a>0，b<0。

（真命题）（真命题）f(3)的取值范围是[-1,20]例6、已知a>0，a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且

a>0，所以b=且c>0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0，所以b-c≥0.当b-c>0，即b>c时，b=得所以a2c+c3>2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，与前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.小结：理解并掌握不等式的六个基本性质作业：课本P10第3题。求证：（1）如果a>b,ab>0，那么（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。选做题：设a≥b,c≥d，求证：ac+bd≥(a+b)(c+d)第一讲不等式和绝对值不等式2、基本不等式应城一中二（15）班复习1.判断两个实数大小的充要条件：a>b

a

b>0；a=b

a

b=0；a<b

a

b<0；2、不等式的基本性质：①、对称性：

传递性：_________

②、

，a+c＞b+c③、a＞b，

，那么ac＞bc；

a＞b，

，那么ac＜bc④、a＞b＞0，

那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件

）2、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么

a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。探究：

你能从几何的角度解释定理1吗？

分析：a2与b2的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。aabbbAHIDKGBJCFE如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.

S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么当且仅当a=b时，等号成立。证明：因为

=a+b-2≥0，所以a+b≥，上式当且仅当，即a=b时，等号成立。称为a,b的算术平均称为a，b的几何平均两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO例3求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值ABENMFDCQPHG例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题5、设a,b∈R+,且a≠b，求证：

(1)(2)6、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；（2）a+b+c>9、已知x、y∈R,求证：小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选做题。3、三个正数的算术-几何平均不等式练习：θ是锐角，求y=sinθcos2θ的最大值。1、比较大小（作差——分解因式——判断符号）注：分解因式到不能分解为止；判断符号的时候注意有时候要讨论不等式课堂小结：注意：条件与结论间的对应关系，如是“”符号还是“”符号；知识结构图：

4、☆☆☆均值不等式☆☆☆注意：一看开始条件二看取“等”再见

13、在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？14、已知球的半径为R，球内球圆柱的底面半径为r，高为h，则r与h为何值时，内接圆柱的体积最大？第一讲不等式和绝对值不等式应城一中二（15）班二、绝对值不等式（一）绝对值的定义：

对任意实数a，

复习问题我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学能回答？或.当时，有：（二）绝对值的几何意义：

实数a的绝对值

|a|，表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离（图1）。

如：|-3|或|3|在数轴上分别等于点A或点B到坐标原点的距离。|a|OAx

由绝对值的几何意义可知，A、B之间的点与坐标原点的距离小于3，可表示为：

即实数x对应的点到坐标原点的距离小于3

同理，与原点距离大于3的点对应的实数可表示为：

如图

设a,b是任意两个实数，那么|a-b|

的几何意义是什么？x|a-b|abAB二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式

实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab>0和ab<0两种情形讨论：（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则

|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。定理1的代数证明：探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是实数，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立注意：1

左边可以“加强”同样成立，即

3

这个不等式俗称“三角形不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边推论1：

推论2：2

例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求证：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。所以原不等式成立证明1：证明2：（构造法）OABab1如图由三角形两边之差小于第三边得：

在△OAB中，练习：课本P20第1、2题.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用几种方法证明DDC小结定理2

如果a、b、c是实数,--------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|-------当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.定理3

如果a、b是实数,--------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab

≤0时,等号成立.当且仅当ab

≥0时,等号成立.将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）

|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题2、绝对值不等式的解法复习：如果a>0，则

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：例3

解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7补充例题：解不等式|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|<c-c<ax+b<c{x|ax+b>-c}∩{x|ax+b<c},交|ax+b|>cax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b<-c}∪{x|ax+b>c},并

课堂练习：P20第6题例1

解不等式：1≤|x|<5.法1：利用绝对值的几何意义法2：原不等式等价于不等式组∴原不等式的解集为{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.由题意得,-5<x≤-1，或1≤x<5解：

-5<x≤-1，或1≤x<5∴原不等式的解集为{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.拓展提高法3：例1

解不等式：1≤|x|<5.去绝对值.解:原不等式等价于∴原不等式的解集为{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.①或②解①得：1≤x<5;解②得：-5<x≤-1.拓展提高

法三:是去绝对值法，通过分两种情况去掉绝对值.一般化：

a≤|x|≤ba≤x≤b或

-b≤x≤-a(b>a>0)指点迷津：例1

解不等式：1≤|x|<5.法一:几何法，-5<x≤-1，或1≤x<5

法二:转化法，把连不等式转化为不等式组求解,①或②拓展提高变题：解不等式

1≤|2x-1|<5.

变题：解不等式

1≤|2x-1|<5.

法1：由原不等式得

1≤2x-1<5或–5<2x-1≤-1

即2≤2x<6或–4<2x≤0.

解得1x<3或–2<x≤0.∴原不等式的解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}解:法2：原不等式等价于变题：解不等式

1≤|2x-1|<5.

∴原不等式的解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}变题：解不等式

1≤|2x-1|<5.

原不等式等价于解①得：1≤x<3;

解②得：-2<x≤0.∴原不等式的解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}法3：去绝对值

①或②例2

解不等式：|4x-3|>2x+1.知识迁移：型不等式的解集为；型不等式的解集为.一般化:（2）小结：1.本节重要结论：（1）（

）型不等式的解集为；型不等式的解集为.（3）2.

对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值方法常用有：公式法，零点分段法.

3.本节例题解法回顾.

（1）形如1≤|2x-1|<5不等式的解法：有三种.

方法1：几何法，也可看作公式法.

由原不等式得

1≤2x-1<5或

–5<2x-1≤-1

方法2：转化法.

原不等式等价于

方法3：零点分段法（去绝对值）.原不等式等价于①或②

由原不等式得4x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1)

（2）对于例2不等式：|4x-3|>2x+1的解法：有两种.

方法1：零点分段法（去绝对值）.

方法2：整体代换法，公式法.

原不等式等价于x12-2-3ABA1B1yxO-32-2例3

解不等式：|x-3|-|x+1|<1.

方法2：数形结合法.

（3）对于例3不等式：|x-3|-|x+1|<1的解法：有两种.

方法1：零点分段法.

原不等式等价于①

或②或③

解不等式：|x+2|+|x|>4.知识巩固：不等式|x+2|+|x|>a恒成立，求a的取值范围.思考题

数形结合法，整体代换法，转化法.

（4）形如问题：不等式|x+2|+|x|>a恒成立，求a的取值范围.

有两种方法：数形结合法，零点分段法.用数形结合法最简单.

4.本节用到的数学思想和方法：①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法作业：P20第7题、第8题(1)(3)练习：P20第8题(2)补充练习：解不等式：（1）1<|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|<2.（3）|3x-1|>x+3.答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1}

（2）{x|-5<x<-1或3<x<7}

（3）作业8.解不等式:补充练习：解不等式：（1）1<|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|<2.（3）|3x-1|>x+3.答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1}

（2）{x|-5<x<-1或3<x<7}

（3）[冲关锦囊]1．形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集.[精析考题][例1]

(2011·陕西高考改编)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．[自主解答]

由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min