2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=Z，集合A={x∈Z|−2<x<2}，B={−1,0,1,2}，则(∁UA)∩B=A.{−1,2} B.{1} C.{0,1} D.{2}2.在复平面上，复数1+ai2−i所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为(

)A.−12 B.1 C.2 3.sin(1050A.12 B.−12 C.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是(

)A.y=sinx B.y=x|x| C.y=tanx D.y=x−5.已知平面向量a，b满足a⋅(a+b)=3，且|a|=2，|A.π6 B.π3 C.2π36.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(−π)的值是A.3

B.1

C.−1

D.−7.设a=20.3，b=sinπ12，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c8.在△ABC中，A=π4，则“sinB<22”是“A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.分贝(dB)、奈培(Np)均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB=10lgAA0，1Np=为待测值，A0为基准值.如果1dB=tNp(t∈R)，那么t≈(    )(参考数据：lge≈0.4343)A.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.11510.已知点集A={(x,y)|x∈Z，y∈Z}，S={(a,b)∈A|1≤a≤5，1≤b≤5}.设非空点集T⊆A，若对S中任意一点P，在T中存在一点Q(Q与P不重合)，使得线段PQ上除了点P，Q外没有A中的点，则T中的元素个数最小值是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=3−xlg12.在平面直角坐标系xOy中，角∂与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若∂∈[π6,π313.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足BA=2DB−2DC，则|14.已知函数f(x)=1x−a,x<a,x2−2x,x≥a,其中a∈R．

(Ⅰ)当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为______；

(Ⅱ)若函数f(x)的值域为A，存在实数15.已知函数f(x)=λsin(π2x+φ) (λ>0,0<φ<π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A′，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=10，则λ=

．

给出下列四个结论：

①φ=π3；

②图2中，AB⋅AC=5；

③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；

④图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合.设集合T={Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于π三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，b2+c2−a2=bc．

(Ⅰ)求∠A；

(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．

条件①：cosB=1114；

条件②：a+b=12；

条件③：c=12．17.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3−x，g(x)=2x−3．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)求函数f(x)在[0,2]上的最大值；

(Ⅲ)求证：存在唯一的18.(本小题14分)

已知函数f(x)=2sin(x+π6).

(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)设g(x)=f(x)f(x−π6).当x∈[0,m]时，g(x)19.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=λan−nλ+1，(λ≠±1,n∈N∗).

(Ⅰ)如果λ=0，求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)20.(本小题15分)

已知函数f(x)=mxlnx−x2+1(m∈R)．

(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，求m的取值范围；

(Ⅲ)试比较ln4与21.(本小题14分)

给定整数n(n≥2)，数列A2n+1：x1，x2，…，x2n+1每项均为整数，在A2n+1中去掉一项xk，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为mk(k=1,2,…,2n+1).将m1，m2，…，m2n+1中的最小值称为数列A2n+1的特征值．

(Ⅰ)已知数列A5：1，2，3，3，3，写出m1，m2，m3的值及A5的特征值；

(Ⅱ)若x1≤x2≤…≤x2n+1，当[i−(n+1)][j−(n+1)]≥0，其中参考答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B

11.{x|−1<x≤3且x≠0}

12.−113.3

14.[1,+∞)

(2,+∞)

15.3

②③16.(Ⅰ)解：因为b2+c2−a2=bc，

所以由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=12，

又因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(Ⅱ)解：由(1)知A=π3，

若选①②：cosB=1114且a+b=12，由cosB=1114，可得sinB=1−cos2=5314，

由正弦定理：asinA=bsinB，可得a32=12−a5314，解得a=7，则b=12−a=5，

又由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得49=25+c2−5c，

所以c2−5c−24=0，解得c=8或c=−3(舍去17.解：(Ⅰ)由f(x)=x3−x，得f′(x)=3x2−1，

所以f′(1)=2，又f(1)=0，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−0=2(x−1)，

即：2x−y−2=0；

(Ⅱ)令x[0,(f−0+f(x)单调递减极小值单调递增因为f(0)=0，f(2)=6，

所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为6；

(Ⅲ)证明：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=x3−3x+3，

则ℎ′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，

令ℎ′x(−∞,−1)−1(−1,1)1(1,+∞)ℎ+0−0+ℎ(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增则ℎ(x)的增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，减区间为(−1,1)，

又ℎ(1)=1>0，ℎ(−1)>ℎ(1)>0，所以函数ℎ(x)在(−1,+∞)没有零点，

又ℎ(−3)=−15<0，

所以函数ℎ(x)在(−∞,−1)上有唯一零点x0，

综上，在(−∞,+∞)上存在唯一的x0，使得18.解：(Ⅰ)函数的单调递减区间满足的条件为：π2+2kπ≤x+π6≤32π+2kπ，k∈Z，

解得：π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递减区间为{x|π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z}；

(Ⅱ)由题意可得：g(x)=2sin(x+π6)⋅2sinx

=23sin2x+2sinxcosx

=319.解：(Ⅰ)λ=0时，Sn=−n，

当n=1时，a1=S1=−1，

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=−1，

所以an=−1.

…(3分)

(Ⅱ)证明：当λ=2时，Sn=2an−n3，

Sn+1=2an+1−n+13，

相减得an+1=2an+13．

所以an+1+13=2(an+13).

又因为a1=13，a1+13=23，

所以数列{an+13}为等比数列，

所以an+13=2n3，Sn=2an20.解：(Ⅰ)当m=1时，f(x)=xlnx−x2+1，函数定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=lnx+1−2x，

此时f′(1)=−1，

又f(1)=0，

所以曲线f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为y=−(x−1)，

即x+y−1=0；

(Ⅱ)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，

此时mlnx−x+1x≤0在区间[1,+∞)上恒成立，

不妨设g(x)=mlnx−x+1x，函数定义域为[1,+∞)，

可得g′(x)=mx−1−1x2=−x2+mx−1x2，

当m≤0时，mx≤0，

所以g′(x)<0，g(x)单调递减，

此时g(x)≤g(1)=0，符合题意；

当m>0时，

不妨设ℎ(x)=−x2+mx−1，

易知在方程−x2+mx−1=0中，Δ=m2−4，

若Δ≤0，即0<m≤2时，ℎ(x)≤0，

所以g′(x)≤0，g(x)单调递减，

则g(x)≤g(1)=0，符合题意，

若Δ>0，即m>2时，

函数ℎ(x)是开口向下的二次函数，对称轴x=m2>1，

又ℎ(1)=m−2>0，

此时方程−x2+mx−1=0的大于1的根为x0=m−m2−42，

当1<x<x0时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增；

当x>x0时，21.解：(Ⅰ)由题意，可知：

m1=(3+3)−(2+3)=1，m2=(3+3)−(1+3)=2，

m3=(3+3)−(1+2)=3；

∵m4=m5=m3=3，

∴A5的特征值为1．

(Ⅱ)由题意，[i−(n+1)][j−(n+1)]≥0，故可分下列两种情况讨论：

①当i，j∈{1,2,…,n+1}且i≠j时，