2024-2025学年吉林省长春六中高二（上）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春六中高二（上）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线l：x+3y+1=0与直线l2垂直，则直线lA.3 B.−33 C.2.设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是(

)A.若l//α，l//β，则α//β B.若l//α，l⊥β，则α⊥β

C.若l⊥β，α⊥β，则l//α D.若l//α，α⊥β则l⊥β3.①直线y+1=2x在y轴上的截距为1；②直线x+3y+1=0的倾斜角为150°；③直线y=ax−3a必过定点(3,0)；④两条平行直线3x−2y−1=0与3x−2y+1=0间的距离为2A.1 B.2 C.3 D.44.点P(m,3)与圆(x−2)2+(y−1)A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值无关5.已知某样本的容量为50，平均数为36，方差为48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将24记录为34，另一个错将48记录为38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x−，方差为s2，则(

)A.x−=36,s2<48 B.x−6.圆C：x2+y2−4x+2y=0关于直线A.(x+1)2+(y−2)2=5 B.(x+47.已知A(2,4)，B(1,0)，动点P在直线x=−1上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为(

)A.(−1,85) B.(−1,215)8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，已知(b+c)2−a2=43S，b=2，c=3，求A.7+379 B.7+579二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件A=“家庭中没有女孩”，B=“家庭中最多有一个女孩”，C=“家庭中至少有两个女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，则(

)A.A与C互斥 B.B⊂A C.B与C对立 D.B与D相互独立10.下列说法错误的是(

)A.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件

B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)

C.过(x1,y1)11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内A.存在点P，使D1P//平面A1BC1

B.三棱锥B1−C1D1P的体积为定值

C.若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为2

D.若点P是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆C：(x−1)2+y2=1，以圆心13.甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来、乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫来，你们四人一起跟甲去趟学校”.根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测

次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为

．14.甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：第一轮甲VS乙丙VS丁第二轮甲VS丙乙VS丁第三轮甲VS丁乙VS丙规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，13，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为16，12，13.每场比赛结果相互独立.求：

(1)丁的总分为7分的概率为______；

(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知坐标平面内两点M(m+3,3m+5)，N(2m−1,1)．

(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；

(2)若直线MN的方向向量为a=(1,−2023)，求m的值．16.(本小题15分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m=(cosA,cosB)，n=(a,2c−b)，且m//n．

(1)求角A的大小；

(2)若a=17.(本小题15分)

漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数(结果保留整数)；

(2)已知满意度分值落在[70,80)的平均数z−1=75，方差s12=9，在[80,90)的平均数为z−2=85，方差18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22,PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点．

(1)求证：AN//平面PBC；

(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；

(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为262619.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．

(1)记向量ON=(3,1)的相伴函数为f(x)，若f(x)=65，且x∈(−π6,π3)求sinx的值；

(2)设g(x)=23sinx2cosx2+6cos2x2−3，试求函数g(x)的相伴特征向量参考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.B

6.C

7.A

8.B

9.ACD

10.ACD

11.ABC

12.(x−2)13.5；114.136

1315.解：(1)因为倾斜角θ为锐角，则k=tanθ>0，而k=1−(3m+5)2m−1−(m+3)=−3m−4m−4>0，

即(3m+4)(m−4)<0，解得：−43<m<4，

所以m的范围为(−43,4)；

(2)16.解：(1)∵m/​/n，所以acosB−(2c−b)cosA=0，

由正弦定理得sinAcosB−(2sinC−sinB)cosA=0，

∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

∴sin(A+B)=2sinCcosA，由A+B+C=π，

∴sinC=2sinCcosA，由于0<C<π，因此sinC>0，

所以cosA=12，由于0<A<π2，∴A=π3；

(2)由bsinB=csinC=asinA=3sinπ3=2，

17.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.005+0.010×2+0.020+a+0.025)×10=1，

解得a=0.030，

由频率分布直方图可估计众数为85，

满意度分值在[40,80)的频率为(0.005+0.010×2+0.020)×10=0.45<0.5，

在[40,90)的频率为(0.005+0.010×2+0.002+0.030)×10=0.75>0.5，

所以中位数落在区间[80,90)内，

所以中位数为80+10×0.5−0.450.3=2453≈82；

(2)由频率分布直方图得，满意度分值在[70,80)的频率为0.02×10=0.2，人数为20，

在[80,90)的频率为0.03×10=0.3，人数为30，

所以满意度分值在[70,90)的平均数z−=18.解：过A作AE⊥CD于点E，则DE=1，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,1,0)，E(22,0,0)，D(22,−1,0)，C(22,1,0)，P(0,0,1)，

∵N为PD的中点，∴N(2,−12,12).

(1)AN=(2,−12,12)，BP=(0,−1,1)，BC=(22,0,0)．

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅BP=−y+z=0m⋅BC=22x=0，

令y=1，则x=0，z=1，∴m=(0,1,1)，

∴AN⋅m=−12+12=0，即AN⊥m，

又AN⊄平面PBC，∴AN/​/平面PBC．

(2)由(1)知，AP=(0,0,1)，AD=(22,−1,0)，

设平面PAD的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅AP=c=0n⋅AD=22a−b=0，19.解：(1