数学人教B版选修4-4练习第一讲坐标系专题检测（一）

本章测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tanθ＝1与θ＝eq\f(π,4)表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线.在这三个结论中正确的是()A.①③ B.①C.②③ D.③答案：D解析：点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tanθ＝1能表示θ＝eq\f(π,4)和θ＝eq\f(5,4)π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立.2.已知点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(π,3)))，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(2π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(5π,3)))答案：A3.已知点P的直角坐标为(1，－eq\r(3))，则点P的极坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))答案：C解析：因为点P(1，－eq\r(3))在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为eq\f(5π,3)，所以点P的一个极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3)))，排除A、B选项，－eq\f(4π,3)＋2π＝eq\f(2π,3)，所以极坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(4π,3)))所表示的点在第二象限.故选C.4.极坐标ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆答案：D解析：法一：常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得ρ2＝ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ＋\f(\r(2),2)sinθ))＝eq\f(\r(2),2)ρ(cosθ＋sinθ)，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，因此有x2＋y2＝eq\f(\r(2),2)(x＋y)，故方程ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示圆.法二：极坐标方程ρ＝2acosθ表示圆，而eq\f(π,4)－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))表示圆.5.在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线方程为()A.ρsinθ＝2B.ρcosθ＝2C.ρcosθ＝4D.ρcosθ＝－4答案：B解析：如图所示，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极轴于B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，则有cosθ＝eq\f(|OB|,|OP|)＝eq\f(2,ρ)，得ρcosθ＝2.6.圆ρ＝eq\r(2)(cosθ＋sinθ)的圆心坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))答案：A解析：可化为直角坐标方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1或化为ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，这是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圆的方程.7.极坐标方程ρ＝cosθ与ρcosθ＝eq\f(1,2)的图形是()答案：B解析：ρ＝cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcosθ＝eq\f(1,2)表示过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))与极轴垂直的直线.8.化极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0为直角坐标方程为()A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝1答案：C解析：ρ(ρcosθ－1)＝0，ρ＝eq\r(x2＋y2)＝0，或ρcosθ＝x＝1，即x2＋y2＝0或x＝1.9.极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为()A.一条射线和一个圆 B.两条直线C.一条直线和一个圆 D.一个圆答案：C解析：∵ρcosθ＝4sinθcosθ，∴cosθ＝0，或ρ＝4sinθ，即ρ2＝4ρsinθ，则θ＝kπ＋eq\f(π,2)或x2＋y2＝4y.10.已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝cosωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看做是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的eq\f(1,3)倍(纵坐标不变)而得到的，则ω为()A.eq\f(1,2)B.2C.3D.eq\f(1,3)答案：C解析：本题直接考查变换规律：函数y＝cosωx，x∈R(其中ω>0，ω≠1)的图象，可以看做把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的eq\f(1,ω)倍(纵坐标不变)而得到.因此应选C.11.圆ρ＝5cosθ－5eq\r(3)sinθ的圆心坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f(4π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，\f(5π,3)))答案：A解析：化为直角坐标方程后求得圆心的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5,2)\r(3)))，然后再化为极坐标即可.12.圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A.2ρ(sinθ＋cosθ)＝r B.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝r D.eq\r(2)ρ(sinθ＋cosθ)＝－r答案：D解析：圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①圆ρ＝－2rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－2req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,4)＋cosθsin\f(π,4)))＝－eq\r(2)r(sinθ＋cosθ).两边同乘以ρ得ρ2＝－eq\r(2)r(ρsinθ＋ρcosθ).∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋y2＋eq\r(2)rx＋eq\r(2)ry＝0.②①－②整理得eq\r(2)(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.再将直线eq\r(2)(x＋y)＝－r化为极坐标方程为eq\r(2)ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距离是________.答案：1解析：将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解.点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化为直角坐标为(eq\r(3)，1)，直线ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化为ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0，点(eq\r(3)，1)到直线eq\f(1,2)x－eq\f(\r(3),2)y＋1＝0的距离为eq\f(|\f(1,2)×\r(3)－\f(\r(3),2)×1＋1|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))\s\up12(2)))＝1.14.在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.答案：(1，2)解析：先化为普通方程再求解.曲线C1普通方程2x2＝y；曲线C2普通方程x＝1.联立曲线C1与曲线C2，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＝y，,x＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))因此两曲线的交点坐标为(1，2).15.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ(ρ≥0，0≤θ<eq\f(π,2))，则曲线C1与C2交点的极坐标为________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝3，,ρ＝4cosθ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ<\f(π,2)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ＝2\r(3)，,θ＝\f(π,6)，))即两曲线的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6))).16.球坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)，\f(π,3)))对应点的直角坐标为________.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，\r(3)))解析：直接代入互化公式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ,z＝rcosφ，))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，,z＝\r(3).))三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(12分)在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换.解：设变换为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))代入第二个方程，得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将x－2y＝2变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ＝4.∴伸缩变换公式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝x，,y′＝4y.))即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.18.(12分)在直角坐标系中，已知三点P(2eq\r(3)，2)，Q(4，－4)，R(6，0).(1)将P、Q、R三点的直角坐标化为极坐标；(2)求△PQR的面积.解：(1)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，－\f(π,4)))，R(6，0).(2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ＝eq\f(1,2)×4×6×sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)×4eq\r(2)×6×sineq\f(π,4)－eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝14－4eq\r(3).19.(12分)建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点.解：以正方体的一个顶点为极点，相邻的两条棱所在的射线分别为Ox轴和Oz轴.建立如图所示的球坐标系.则有O(0，0，0)，A(1，eq\f(π,2)，0)，B(eq\r(2)，eq\f(π,2)，eq\f(π,4))，C(1，eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，O(1，0，0)，E(eq\r(2)，eq\f(π,4)，0)，F(eq\r(3)，arccoseq\f(\r(3),3)，eq\f(π,4))，G(eq\r(2)，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)).20.(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，如图所示，求Q点的轨迹的极坐标方程.解：以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1，2θ).如图所示.∵S△OQA＋S△OQP＝S△OAP，∴eq\f(1,2)·3ρsinθ＋eq\f(1,2)ρsinθ＝eq\f(1,2)·3·1·sin2θ.∴ρ＝eq\f(3,2)cosθ.21.(12分)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，设C