专题314一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）

专题3.14一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1解含参数的一元一次方程】 1【题型2整体代入法解一元一次方程】 2【题型3解含绝对值的一元一次方程】 2【题型4利用一元一次方程解决规律问题】 2【题型5一元一次方程中的动点问题】 4【题型6一元一次方程中的数形结合问题】 5【题型7一元一次方程的新定义问题】 7【题型8一元一次方程的应用】 8【题型9二元一次方程的整数解】 9【题型10由方程组的错解问题求参数的值】 9【题型11解含参数的二元一次方程组】 10【题型12根据二元一次方程方程有公共解求解】 10【题型13整体思想解二元一次方程组】 10【题型14二元一次方程组的新定义问题】 12【题型15二元一次方程组的规律探究】 12【题型16二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 14【题型1解含参数的一元一次方程】【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=-a的解是yA．b=-y-C．b=y+1,【变式11】已知关于x的方程kx-2x=5的解为正整数，则整数【变式12】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx-a3=1-2x+bk【变式13】已知关于x的方程x-2-axA．-23 B．23 C．-34 D【题型2整体代入法解一元一次方程】【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2【变式21】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程32x-令a=2x-去括号，得：3a合并同类项，得：-6系数化为1，得：a=-故2x-1=-阅读以上材料，请用同样的方法解方程：4【变式22】在解方程3x+1-13x-(1)7x(2)52【变式23】当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12+【题型3解含绝对值的一元一次方程】【例3】若关于x的方程x-2-1=aA．0 B．1 C．2 D．3【变式31】方程x-3x+1【变式32】设y1=2+x，y2=2-x【变式33】解方程：|3x【题型4利用一元一次方程解决规律问题】【例4】如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1

(1)2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；(2)根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）(3)一根链条的总长度能否为73cm【变式41】观察下面有规律排列的三行数：

(1)第一行数中，第7个数是______，第8个数是______(2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题：①第二行数中，第7个数是______，第三行数中，第7个数是______；②取每行数的第2022个数，计算这三个数的和是______；③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为-5118【变式42】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：序号方程方程的解①2x②2x③2x=④2x=………(1)将上表补充完整，(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；(3)写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．【变式43】某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．

(1)第4个图案L4有白色地砖__________块地砖；第n个图案Ln有白色地砖__________块地砖（用含(2)已知L1的长度为3米，L2的长度为5米，…，Ln的长度为2023【题型5一元一次方程中的动点问题】【例5】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P

(1)当点P在AB上时，t=______时，CP把△(2)当点P在AB上时，t=______时，CP把△(3)当点P在所有运动过程中，连接PC或PB，求当t为何值时，△BCP的面积为12【变式51】如图，在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其2

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒【变式52】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，点P以每秒1cm

(1)试用含t的式子表示线段BP的长；(2)求出当t为何值时，三角形AEP的面积等于5cm【变式53】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P

(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_________

BQ=_________(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由．【题型6一元一次方程中的数形结合问题】【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是－20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止．（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）

(1)在点M到达B点前，①经过______秒M、N之间间隔6个单位长度：②经过______秒原点刚好位于M、N的最中间；③经过______秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值．【变式61】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t((1)数轴上点B表示的数是________，当t=2s时，点P表示的数是(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【变式62】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是-8、3、9、13．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为t

(1)点A与原点O的距离是______．(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是______（用含t的代数式表示）．(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值．【变式63】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示-10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t

(1)动点P从点A运动至点C需要秒，动点Q从点C运动至点A需要秒；(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型7一元一次方程的新定义问题】【例7】已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x7＝4x5的解相同，求m的值；（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c2（12cd+32c（3）若|mn|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x-92=9×2020﹣2020t+x，与4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x【变式71】定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k(1)判断当k=1时是否为方程x+42+1=kx(2)方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有【变式72】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=-4的解为x=-2请根据上述规定解答下列问题：(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有．①12x=-12；②(2)已知关于x的一元一次方程2x+2=-m是“和解方程(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和-3x【变式73】在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x-2x-98=0的解是(1)已知关于y的方程：①2y-2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3x-1(2)若关于y的方程2y-2+2=4是关于x的一元一次方程x-3x(3)若关于y的方程ay-49+a+b=ay+6【题型8一元一次方程的应用】【例8】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%【变式81】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和【变式82】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分A1814432B1811729C189927（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？【变式83】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定：用水量（立方米）018～40以上的部分费用（元/立方米）33.54.5另外：每立方米收污水处理费1元．(1)11月小真家用水10立方米，交费___________元；小善家用水26立方米，交费___________元．(2)幸福小区某个家庭用水量记为x18≤x≤40立方米，请列式表示应交费(3)已知小美家12月份缴水费204元，他家12月用水多少立方米？【题型9二元一次方程的整数解】【例9】方程x+y=7A．5 B．7 C．6 D．无数对【变式91】二元一次方程2x+y【变式92】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是．【变式93】如果将二元一次方程：y=-2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程【题型10由方程组的错解问题求参数的值】【例10】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x-by=1，甲看错a解得【变式101】已知▲x+•y=1□x-7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：【变式102】小朋同学在解方程组y-ax=by=-2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=-1y【变式103】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x【题型11解含参数的二元一次方程组】【例11】已知方程组3x-y=5-2k【变式111】整数a为时，方程组2x【变式112】已知x，y是整数，且满足x-y+3=0，ax-yA．4 B．5 C．6 D．8【变式113】已知关于x，y的方程组x+my=7mx-【题型12根据二元一次方程方程有公共解求解】【例12】若2a-b=0，且关于x，y的二元一次方程a-A．x=3y=-1 B．x=1y=-【变式121】关于x，y的二元一次方程y=kx-2k+3（A．x=3y=1 B．x=2y=3【变式122】已知关于x、y的二元一次方程m-2x+mA．x=3y=-1 B．x=1y=-3【变式123】定义一种新的运算：a☆b=2a-b，例如：3☆-1=2×3--1=7．若a☆【题型13整体思想解二元一次方程组】【例13】若关于m，n的二元一次方程组3m-an=162m-bn=15的解是m【变式131】综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：4x观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y设4x+3y=m，6x-y=n所以4x+3y探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：32【变式132】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x-2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设(1)直接写出满足方程3x+2(2)解方程组3x【变式133】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y乙同学说：可以先将方程组3x+7y丙同学说：可以先解方程组x+2y=5…请用2种不同的方法解决上面的问题．【题型14二元一次方程组的新定义问题】【例14】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x'，y'，将该运算记作：dx，y=x，y'，其中（1）当a=2，b=1时，d（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x-3y=0时，总有dx，【变式141】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x-4=(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；(3)若关于x的方程2x+3b-2=0和3x-【变式142】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10(1)若2x-x(2)若x2+y【变式143】对于有理数x，y，定义新运算：x*y=ax+by，(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组x*y=4-mx⊗(3)若关于x，y的方程组2a1x-b1y=c【题型15二元一次方程组的规律探究】【例15】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：序号123……n方程组{{{方程组解{{{按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.【变式151】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：若方程组a1x+b1甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答：．【变式152】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组17x②①得：6x+6y=6③×17得：17x①④得：y=2，代入③得x所以这个方程组的解是x=-1(1)请你运用小明的方法解方程组1997x(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2【变式153】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．序号二元一次方程组二元一次方程组的解①xx②xx③xx………………根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：（1）方程组①的解为；（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为，这个方程组的解为．（3）若方程组x+y=1x-ay=25【题型16二元一次方程（组）的阅读理解类问题】【例16】阅读下列材料解决问题：两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．(1)下列说法错误的是____