概率-知识点总结讲义-高三数学一轮复习

高考知识点总结101概率一．概率的概念与性质(一)概率和频率1.(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．2.概率的基本性质(1)对于任意事件都有：．(2)必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．(3)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．(4)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)，且．(5)概率的单调性：若，则．(6)若，是一次随机实验中的两个事件，则．(二)事件的关系与运算定义符号表示包含若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等若B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并(和)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1二．古典概型(1)定义:一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(2)古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则事件的概率P(A)=kn三．条件概率(一)定义:两个事件，，且，称P(BA)=P(AB)P(A)为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．注意：(1)条件概率中“”后面就是条件；(2)若，即条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．(二)性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．(2)必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．(3)如果与互斥，则．注意：(1)如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；(2)已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即P(BA)=n(AB)n(A)=n(AB)n(四．相互独立与条件概率(一)相互独立事件的概念及性质1.相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此我们可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．2.概率的乘法公式对于任意两个事件与，若，则．称上式为概率的乘法公式．3.相互独立事件的性质如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．4.两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．(二)事件的独立性1.事件与相互独立的充要条件是．2.当时，与独立的充要条件是．3.如果，与独立，则P(BA)=P(AB)P(A)五．全概率公式(一)全概率公式1.；2.定理若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意事件，都有，且．注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．3.什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．(二)贝叶斯公式1.一般地，当且时，有P(AB)=2.定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意概率非零的事件，都有，且P(A注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．3.贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即P(，之间的内在联系．六．离散型随机变量的分布列(一)．离散型随机变量及其分布列1.随着试验结果变化而变化的变量叫随机变量．所有值均可一一列出的随机变量叫离散型随机变量．2.离散型随机变量：对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．注意：高考研究的离散型随机变量只取有限个值．3.离散型随机变量的分布列的表示：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．4.离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1)，；(2)．注意：①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．(二)．离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．注意：(1)均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；(2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．2.均值的性质(1)（为常数）．(2)若，其中为常数，则也是随机变量，且．(3)．(4)如果相互独立，则．(三)离散型随机变量的方差：1.称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差．注意：(1)(xi−E(X))2描述了xi(i=1,2,⋯n)相对于均值随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．2.方差的性质(1)．(2)方差公式的变形：．七．两点分布1.如果随机变量X的分布列为X01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．注意：(1)两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；(2)两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．2.两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．八．独立重复试验与二项分布(一).独立重复试验1.定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2.特点(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．(二)．二项分布1.定义一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．2.二项分布的适用范围及本质(1)适用范围：①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．3.二项分布的期望、方差若，则，．九．超几何分布1.定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．01…∁∁…∁2.超几何分布的适用范围件及本质(1)适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．十．正态分布与正态曲线(一)正态曲线1.定义：我们把函数φμ,σ(x)=12.正态曲线的性质(1)曲线位于轴上方，与轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；曲线在处达到峰值（最大值）12πσ(3)曲线与轴之间的面积为1；(4)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：(5)当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：甲乙(二)正态分布1.定义：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃeq\o\al(b,a)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(1)其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；(2)是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(3)下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．2.正态分布的原则：若，则对于任意的实数，为图中阴影部分的面积，