2023高考科学复习解决方案-数学(内参版) 第八章 8 . 3 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

S核心素养概说（教师独具内容）

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象

出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下基本事实和定理：

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个

平面内.

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

过该点的公共直线.

基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.

定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

2.理解两条异面直线所成角的概念.

3.重点提升数学运算、逻辑推理和直观想象素养.

®考试要求（教师独具内容）

1.本考点属于高考常考内容，命题的关注点在于几何体中线面位置关系的判

断，几何体的结构特征以及异面直线所成角的求解方法，其中异面直线所成的角

是高考的热点.

2.平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考主要考查的知识

点，题型多为选择题或填空题，也可能在大题中间接考查.

念核心知识导图（教师独具内容）

您5年考频统计(教师独具内容)

5年考情

零点分值题型难度核心素养

寺照示例与向关我考点

平面於本性点在平面内的卤线与直线在视线年

2020全国IB行.文1912解答密中

版的应用刘定平行的判定逻辑推理

白线与在线位置

2021新岛为11卷・10关系的判断，有

空向中点,直

2019全国||糖.理7.文7级，平面位置关真线，平面故学运算

线,平面位置5选择超中

2019全国皿卷.理8.文8系的判断.平面的位置关系直观想貌

关系的判断

2017|密•文6与半血位置关系

的判断

2021全国乙套.理5.文10

异面在线所2018全国||春.理9.文9求异面H线所成空间几何体选界也数学运切

5中

成的角2017全国H卷.理10的角的结构特征填空题

2017全国ID卷.即16

:基础知识过关

O知识梳理

1.平面的基本性质

(1)基本事实

文字语言图形语言符号语言作用

A,B,C三点

过回不在一条

不共线今有且①确定平面；

直线上的三个

基本事实1只有一个平面②证明点、线

点，有且只有ZZZ7

a,使Aea,B共面

一个平面

€a,C€a

基本事实2如果一条直线//AGl,B£l,A①检验一个面

上的因两个点€a,BE1是否为平面；

在一个平面ua②判断直线是

内，那么这条否在平面内；

直线在这个平③证明点在平

面内面内

续表

文字语言图形语言符号语言作用

①判断两个平面

如果两个不重是否相交；

合的平面有一②判断点是否在

PGa,且PW夕

个公共点，那直线上；

基本事实3/^\/=aD4=/,且

么它们有且只③证明点共线和

P0

有因一条过该线共点；

点的公共直线④寻找两个平面

的交线

(2)三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

推论2:经过两条因相交直线,有且只有一个平面；

推论3:经过两条因平行直线,有且只有一个平面.

2.空间中两条直线的位置关系

(1)位置关系分类

rj相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点

位置关系〈共面直线［平行直线：在同一平面内，没有公共点

、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

⑵基本事实4和定理

①基本事实4:平行于同一条直线的两条直线睥行.

②定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角因相等或

互补.

注：(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那

么这两个角相等或互补.

(2)符号语言：如图1,2所示，在/A08与NA'0'8'中，0AIIO'A',

OBIIO'B',则ZA0B=NA'0'B'或ZAOB+NA'0'B'=180°.

3.异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线b,经过空间任一点。分别作直线〃出b'

//"把"与。’所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：强国

(3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线

互相垂直.

(4)异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线

是异面直线.

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线

异面.

4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

⑴空间中直线与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点

有无数

直线“在平面。内z=/ada个公共

点

直线a与平面aa没有公

a〃a

平行共点、

直线a

直线

与平面afla=A

在平直线a有且只

a斜交

面外与平而有一个

a相交直线a公共点

与平面47aj_a

a垂直

⑵空间中两个平面的位置关系

的课前自我鉴定

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)

(1)有三个公共点的两个平面必重合.()

(2)三条两两相交的直线确定一个平面.()

(3)若AH,BWI,且AWa,BWa,贝lj/ua.()

(4)如果两个不重合的平面a,夕有一条公共直线处就说平面a,4相交，记

作a04=a.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)J

2.已知明。是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与伙)

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

答案C

解析假设c〃仇又因为c〃凡所以。〃仇这与凡匕是异面直线矛盾，故

c与人不可能平行.

3.若直线且直线。〃平面a,则直线8与平面a的位置关系是（）

A.bua

B.bIIa

C./?ua或b//a

D.人与a相交或a或b〃a

答案D

解析由题意知，b与a的位置关系可能是b//a,b与a相交或bua.故选

D.

4.（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法

正确的是（）

A.与C。是异面直线

B.GH与CO相交

C.EFIICD

D.EF与AB异面

答案ABC

解析把展开图还原成正方体，如图所示.还原后点G与C重合，点8与尸

重合，由图可知A,B,C正确，EF与相交，故D错误.故选ABC.

I)

5.如图，在三棱锥A—BCD中，E,F,G,"分别是棱AB,BC,CD,DA

的中点，贝U

(1)当AC,8。满足条件时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC,8。满足条件时，四边形EFG”为正方形.

答案(1)AC=B。(2M。=8。且4。_18。

解析由已知条件，易得四边形EFGH为平行四边形，且EH^

(IF•四边形EFG”为菱形，

：.EF=EH,故AC=80.

(2),.•四边形E/G”为正方形，」.EFuE”且EbLEH,「.47=8。且ACLBD

<>真题赏析

1.(2021.全国乙卷)在正方体ABC。-ABGOi中，P为BDi的中点，则直

线P8与A*所成的角为()

答案D

解析如图，连接Al。，A\B,BC\,因为AD\IIBC\,所以/PBC为直线

PB与A出所成的角.因为48=BG=AiG,所以△4BG为等边三角形.又点P

171

为AiG的中点，所以平分所以NP8G=不所以直线

7T

PB与AD\所成的角为4.故选D.

2.（多选）（2021.新高考H卷）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在

棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足MNLOP的是（）

答案BC

解析设正方体的棱长为2,对于A,如图1所示，连接AC,则MN〃AC,

故NPOC或其补角为异面直线OP,MN所成的角，在直角三角形OPC中，/PCO

=90°,则/POCW90。，故MMLOP不成立，故A错误；对于B,如图2所示，

取的中点为。，连接P。，OQ,贝IJPQLMN,OQIITD,由正方体SBCN—

MAOT可得TD_L平面SNTM,故OQJ•平面SNTM,又MNu平面SNTM,所以

OQ_LMN,而OQCPQ=Q,所以MNL平面OPQ,而OPu平面OPQ,故MN_LOP,

故B正确；对于C,如图3,连接8。，贝由B的判断可得OPJ_BD,

故。PLMN,故C正确；对于D,如图4,取AO的中点Q,AB的中点K,连接

AC,PQ,OQ,PK,OK,AO,贝AC//MN,因为OP=PC,故PQ//AC,故PQ//MN,

所以NQPO或其补角为异面直线OP,MN所成的角，因为正方体的棱长为2,故

PQ=^AC=y]2,OQ=qAO2+AG=、2+l=小,OP=y/PK2+OK2=y）4+1=

小，。。2＜尸。2+。尸，故NQP。不是直角，故。p,MN不垂直，故D错误.故

选BC.

图4

3.（2020•全国III卷）如图,在长方体ABCD-4BG出中，点E,3分别在棱

DD\,BBi上,R2DE=EDi,3F=2F8i.证明:

⑴当A5=BC时,EF1AC；

⑵点Ci在平面AEF内.

证明（1）连接班”.•在长方体ABCD-AiBC。中，平面ABC。，AC

u平面ABCD,

■.ACIBBi.

■：AB=BC,二四边形ABC。为正方形，

：.AC1BD.

BB\DBD=B,BB\,BOu平面

••.AC1平面BBUD

•」EFu平面：.EF1AC.

⑵在CC\上取点M使得CM=2MCi,

连接。M,MF,EC\,

■：D\E=2ED,DD\IICCi,DD\=CCi,

：.ED=MC\,EDUMC\.

，四边形DMCiE为平行四边形，

：.DMIIEC\.

••・在长方体ABCD-AIBGDI中，

BF=2FBi,CM=2MCi,

：.MFIICB,MF=CB,

又DA//CB,DA=CB,

：.MFIIDA,MF=DA,

，四边形MFAD为平行四边形,

：.DMIIAF,：.EC\IIAF.

，点Ci在平面AEF内.

:核心素养例析

一、基础知识巩固

考点1平面基本性质的应用

例1如图，平面平面A8CD,四边形与ABC。都是直角梯形,

/BAD=/FAB=90°,BC//ADBC=^AD,BEIIAF且BE=；AF,G,"分别

为M,ED的中点.求证：

(1)四边形BCHG是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点共面.

证明(1)因为G,“分别为桁，尸。的中点，所以GH〃&。且G”=%。，

y.BC//ADS.BC=^AD,

故GH〃BC且GH=BC,

所以四边形BCHG是平行四边形.

(2)由8E〃AF且=G是朋的中点，BE//GFBE=GF,

所以四边形EFGB是平行四边形，

所以EF〃BG.

由(1)知BG〃C”，所以EF〃CH,故EC,"/共面.又点。在直线尸”上,

所以C,D,F,E四点共面.

例2如图所示，已知在正方体中，E,厂分别为。Ci,

CB的中点,ACHBD=P,ACCIE尸=。.求证:

(1)0,B,F,E四点共面;

⑵若4c交平面。引芭于R点，则P,Q,R三点共线.

证明（1）：政是△出的中位线,

：.EFHB\D\.

在正方体ACi中,B\D\IIBD,：.EFIIBD.

.-EF,8。确定一个平面，即。，B,F,E四点共面.

（2）在正方体ACi中,设平面AiACCi为a,平面BDEF为夕.

・•・QWAQ,.•.QWa.又。

・•.Q是a与4的公共点，同理，P是a与4的公共点，.•.anS=PQ.

又AiCC0=R,'ReAiC.

：.REa,且RG夕，：.REPQ,

.■■P,Q,R三点共线.

，追踪练习，1.如图是正方体或四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点,

则这四个点不共面的一个图是（）

答案D

解析A,B,C中，PSIIQR,四点共面，D中四点不共面.

2.（多选）给出以下说法，其中正确的是（）

A.不共面的四点中，其中任意三点不共线

B.若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E

共面

C.若直线a,〃共面，直线a,c共面，则直线仇C共面

D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面

答案AD

解析在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个

平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；在B中，如

图，两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,。共面，点A,B,C,

E共面，但点A,B,C,D,E不共面，B不正确；C显然不正确；在D中，过

直线与直线外一点可确定一个平面，设为a,因此这三条直线都在平面a内，即

三条直线共面，D正确.

3.如图，在空间四边形ABC。中，E,尸分别是A3和BC上的点，G,“分

别是C。和A。上的点.若E"与FG相交于点K.

求证：EH,BD,对三条直线相交于同一点.

证明因为KWE",E”u平面A3。，

所以KG平面AB。，同理Kd平面CB。，

而平面ABOn平面CBD=BD,

因止匕KdBD,所以EH,BD,EG三条直线相交于同一点.

【方法点拨

1.证明点共线问题的常用方法

(1)基本事实法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点,

再根据基本事实3证明这些点都在交线上.

(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

2.证明线共点问题的方法

证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经

过该点.而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共

点.

3.证明点、直线共面问题的常用方法

纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面夕,

最后证明平面a,4重合.

考点2空间两条直线位置关系的判断

例3如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中

点，则直线与RS是异面直线的图是（）

答案C

解析A中PQ〃RS,B中PQ〃RS,C中P。与为异面直线，D中PQ与

RS相交.故选C.

例4已知在长方体ABCD-AIBGQI中，M,N分别是长方形出与

长方形的中心，则下列说法正确的是（）

A.直线MN与直线48是异面直线

B.直线与直线。。相交

C.直线MN与直线AC是异面直线

D.直线MN与直线4C平行

答案C

解析如图，因为M,N分别是长方形4BC1OI与长方形3CGB的中心，

所以M,N分别是4G,3。的中点，所以直线MN与直线43平行，所以A错

误；

因为直线MN经过平面BBiDiD内一点M,且点M不在直线DDi上，所以直

线MN与直线0n是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面内一

点M且点N不在直线AG上，所以直线MN与直线AG是异面直线，所以C正

确；因为直线MN经过平面AC。内一点且点M不在直线4C上，所以直

线MN与直线4c是异面直线，所以D错误.

「追踪练;L4.（2019.全国HI卷）如图，点N为正方形ABCD的中心，4ECD

为正三角形，平面EC。，平面ABC。，M是线段EO的中点，贝女）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM丰EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM丰EN,且直线EN是异面直线

答案B

解析如图，取C。的中点£。尸的中点G,连接ERFN,MG,GB,BD,

BE”・点N为正方形A8C0的中心，.••点N在8。上，且为8。的中点.二△EC。

是正三角形，二七尸，CD；平面ECD平面ABC。，」.EFl平面A3CD.FN.

E

不妨设A8=2,贝1JFN=1,EF=®：.EN=y)FN2+=2.VEM=MD,

DG=GF,：.MGIIEF,「.MG1平面ABC。，：.MG1BG.'：MG=^EF=BG

=\ICG2+BC2=BM=y)MG2+BG2=巾.：.BM于EN.,:BM,

EN都是△OBE的中线，二8M,EN必相交.故选B.

5.（多选）（2021•新高考八省联考）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正

方体中（）

A.AEIICDB.CHIIBE

C.DG1BHD.BGLDE

答案BCD

解析由正方体的平面展开图还原正方体如图.由图形可知，AE1CD,故A

错误；因为HE〃BC,HE=BC,所以四边形为平行四边形，所以CH〃BE,

故B正确；因为。G，"C,DGLBC,HCQBC=C,所以。G,平面所以

DGLBH,故C正确；因为8G〃AH,ffijDELAH,所以BGLOE,故D正确.故

选BCD.

H

【方法点拨

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面

直线，可采用：

（1）反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设

出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

（2）定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是

异面直线.对于平行直线，可利用三角形（梯形）中位线的性质、基本事实4及线

面平行与面面平行的性质定理.对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的

性质来解决.

考点3异面直线所成的角

例5在正方体ABC。-43cbeh中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与

C。所成角的正切值为（）

A.坐B,坐

C.坐D.当

答案C

解析因为CO〃AB,所以NEA8即为异面直线AE与CO所成的角，连接

BE,在直角三角形ABE中，设=则BE泻a,所以tan/£48=鬻=坐.

例6已知直三棱柱A8C—Ai3Ci中，120°,AB=2,BC=CCi=1,

则异面直线AB,与BCi所成角的余弦值为（）

A.乎B.华

「遮口近

J5u-3

答案C

解析解法一：如图，取AB,BBi,的中点M,N,P,连接MN,NP,

PM,

可知ABi与BC\所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BCi=V2,

ABi=&则MN=%Bi等,即=/。|=坐取8。的中点。，连接PQ,QM,

则可知△PQM为直角三角形.在△ABC中，AC^uA）+BCZ—ZAaBCcosAABC

=4+l—2X2XlX（—；）=7,即AC=巾,所以MQ=；AC=当又CG=1,所以

P。=L在Rt△P。M中，可知PM='MG+P。=呼.在△PMN中,cosZPNM

MN?+NP?—PM?图+图-虎）遮

=2MN,NP=-------直瓦—=-V又异面直线所成角的范围

2X2*2

为（o,,，故所求角的余弦值为千.

解法二：把直三棱柱ABC-43C补成直四棱柱ABC。-48GD,如图，

连接GO,BD,

则ABi与BC\所成的角为（或其补角）.由题意可知BCi=也，

BD=^/22+12-2X2X1XCOS60°=小,GO=AB=小.可知BC?+g;

CiD2,

所以cosZBC1D=^=-^.

「追踪练习」6.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱A3C。-

AiSG"中，AAi=2AB=2,则异面直线48与AD所成角的余弦值为（）

答案D

解析连接BCi,易证BCMIADi,则NA出G或其补角为异面直线A\B与

所成的角.连接AC,由AB=1,A4i=2,易得4G=a,AiB=BCi=»

5+5—244

故cosNAiBG=2xg#=5,即异面直线A归与AD所成角的余弦值为亍

7.将正方形A8CO沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD,

则直线A3与C。所成的角为（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案B

解析如图，取AC,BD,AD的中点，分别为O,M,N,连接。。，ON,

OM,OB,MN,贝JION〃CO,MNIIAB,且ON=gc。，MN=^AB,所以NONM

或其补角即为所求的角.

因为平面ABC垂直于平面AC。，平面ABCn平面ACO=AC,OBA.AC,所

以。8,平面AC。，所以。8，。。.设正方形边长为2,则OB=OD=®所以B。

2,贝1JOM=53O=1.所以0N=MN=0M=1,所以△0MN是等边三角形，Z

ONM=60°.所以直线A3与C。所成的角为60°.故选B.

方法点拨

1.求异面直线所成的角的三个步骤

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角.

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.

2.求异面直线所成的角多采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：

利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补

形平移.

3.因为异面直线所成的角。的取值范围是(0,手，所以所作的角为钝角时，

应取它的补角作为异面直线所成的角.

二、核心素养提升

例1已知正方体ABCO-AIBICQ的棱长为也，直线AG1平面a,平面a

截此正方体所得截面中，正确的说法是()

A.截面形状可能为四边形

B.截面形状可能为五边形

C.截面面积的最大值为2小

D.截面面积的最大值为拶

答案D

解析如图，在正方体ABC。-431。出中，AG1平面A1BO,所以平面a

与平面43。平行，平面a与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边

形和四边形，当截面为正六边形EFNMGH时，截面面积最大，由题可知NM=

乎r

—=1,贝S正六边形EFNMGH=6X^XlXlXsin60°=乎.故选D.

sin乙N

例2在正方体ABC。-48GDi中，M,N分别是棱DDi和88上的点，

MD=^DD\,NB=^BBi,那么正方体中过M,N,G的截面图形是（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

答案C

解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面

与几何体的棱的交点.设直线GM,CO相交于点P,直线GN,相交于点Q,

连接P0交直线于点E,交直线AB于点F,则五边形GMEFN为所求截面图

形.

例3如图，正方体ABCD-ABiGD的棱长为1,E,F,G分别为棱A8,

4。，的中点，经过E,F,G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面

积为（）

C.1D.2

答案B

解析如图，分别取BC,A4i,CCi的中点为H,M,N,连接EH,HN,

GN,FM,ME,容易得出FG//EH,GNIIME,HNIIFM,则点瓦F,G,H,

M,N共面，S.FG=EH=GN=ME=HN=FM=\(^+$=*,

即经过E,F,G三点的截面图形为正六边形E/WG尸M.连接MN,FH,且相

交于点。，因为MN=AC=qy+12=表,所以OE=OH=ON=OG=OF=OM

=乎，则截面图形的面积为gx^X^Xsin60°、6=乎.

素养提升

1.作截面应遵循的三个原则

(1)过同一平面上的两点可引直线；

(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；

(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.

2.作交线的两种方法

(1)利用基本事实3作交线；

(2)利用线面平行及面面平行的判定定理去寻找线面平行及面面平行，然后根

据性质作出交线.

3.正方体的基本斜截面

锐角一:角形等腰三角形等边-:角形梆形平行四边形

(1)(2)(3)(4)(5)

菱形矩形任意五边形任意六边形正六边形

(6)(7)(8)(9)(10)

横截竖截斜截

正方体正方形矩形如图所示

说明：正方体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、

直角梯形、正五边形.

课时作业

一、单项选择题

1.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.A,B,C均有可能

答案D

解析如图，在正方体AG中，•「AiA_L平面ABC。，.•.4A1AO,AiAlBC,

又」.A项有可能；•.•AiAl平面ABC。，」.AIAIAD.AIAIAB,又AOCA3

=A,r.B项有可能；•.,AiA_L平面ABC。，AiA_L平面A8iCiDi,4Cu平面ABCD,

AiDiu平面ABCD,「.AiA_L4C,A\A]_A\D\,又AC与AiZh不在同一平面内,

・..C项有可能.

2.（2021•山东泰安一中高三月考）如图所示，用符号语言可表示为（）

A.aC0=IB.allp,l£a

C.Ill3IdaD.aII[i,laa

答案D

解析题图中面面关系、线面关系用符号语言可表示为a〃/，ka.

3.已知直线/和平面a,若/〃a,PEa,则过点P且平行于/的直线()

A.只有一条，不在平面a内

B.只有一条，且在平面a内

C.有无数条，一定在平面a内

D.有无数条，一定不在平面a内

答案B

解析假设过点P且平行于/的直线有两条机与〃，.・.，”///且〃〃/,由平行

公理得m//n,这与两条直线m与〃相交于点P相矛盾.

4.若P为两条异面直线/,机外的任意一点，贝女)

A.过点P有且仅有一条直线与/,机都平行

B.过点P有且仅有一条直线与/,加都垂直

C.过点P有且仅有一条直线与/,机都相交

D.过点P有且仅有一条直线与/,〃，都异面

答案B

解析设过点P的直线为〃，若〃〃/,nllm,则/〃如与/,加是异面直线

矛盾，故A错误；因为/,〃?只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线

只有一条，故B正确；过点尸与直线/相交的直线，必在点P与直线/所确定的

平面用内.若〃z与平面夕平行，则不存在这样的直线，故C错误；设点P与直线

机所确定的平面为a,则a与A相交于过点P的直线，在a与夕外任找一点

则由异面直线的判定定理得，AP与直线/,〃?都异面，所以有无数条，故D错误.

5.一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是

()

A.异面

B.平行

C.相交

D.可能相交、平行，也可能异面

答案D

解析一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三

种：平行、相交、异面，如下图所示.

6.平面a以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）

A.等腰梯形

B.非矩形的平行四边形

C.正五边形

D.正六边形

答案C

解析画出截面图形如图：

C,。分别是所在棱的中点，四边形A8CO为等腰梯形，故A有可能;

如图作截面EFG",E,G分别是所在棱的中点，由平面与平面平行的性质可

得EF〃GH,FGIIEH,四边形EFG”为平行四边形，但不是矩形，故B有可能;

经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故C不

可能；

六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形，故D有可能.故选

7.在正方体中，异面直线AC与8G所成的角为（）

答案C

解析如图，在正方体ABCO-ABGDi中，AC//4G,异面直线AC与3。

所成的角即为4。与所成的角，而△48。为等边三角形，故4。与

IT7T

的夹角为］,所以异面直线AC与8。所成的角为g.故选C.

8.如图，ABCO-AiBGOi是长方体，。是囱功的中点，直线AC交平面

于点M,则下列结论错误的是（）

A.A,M,。三点共线

B.M,O,Ai,A四点共面

C.B,Bi,0,M四点共面

D.A,0,C,M四点共面

答案C

解析连接AC,AC,则4G//AC,「.Ai,Ci,C,A四点共面，，AiCu

平面ACGAi,•.•MWAiC,「.MW平面ACCAi,•「MW平面ABDi,.,.点M在平

面ACCIAI与平面AB\D\的交线上，同理点。在平面ACCiAi与平面AB\D\的交

线上，

:.A,M,。三点共线，故A正确；VA,M,。三点共线，且直线与直线外

一点可确定一个平面，:.A,M,0,4四点共面，A,M,C,。四点共面，故B,

D正确；•.,JBBIQ平面ABiDi,OMu平面ABiOi,Bi£平面ABiDi且3停0M,：.

881和0M是异面直线，二8B\,O,M四点不共面，故C错误.

二、多项选择题

9.如图所示，在正方体ABCD-ABiGDi中，M,N分别为棱GOi,CC的

中点，则以下四个结论正确的是（）

A.直线AM与CG是相交直线

B.直线AM与3N是平行直线

C.直线BN与MB是异面直线

D.直线AM与。）是异面直线

答案CD

解析直线AM与CC\是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故A,B

错误；直线BN与M3是异面直线，直线AM与。。是异面直线，故C,D正确.

10.下列命题中正确的是（）

A.存在与两条异面直线都平行的平面

B.过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行

C.过平面外一点可作无数条直线与该平面平行

D.过直线外一点可作无数个平面与该直线平行

答案ACD

解析将一个平面内的两条相交直线分别平移到平面外，且平移后不相交，

则这两条直线异面且与该平面平行，故A正确；当该点在其中一条直线上时，过

该点不可能作出平行该直线的平面，故B不正确；过棱柱上底面内一点在上底面

内可以作无数条直线都与下底面平行，故C正确；过直线外一点有一条直线与这

条直线平行，那么过这条平行线有无数个平面，都与已知直线平行（只有一个不平

行），故D正确.

三、填空题

H.如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线

GH,MN是异面直线的图形有（填序号）.

答案②④

解析①中GH〃MN；②中，G,H,N三点共面，但ME平面GHN,因此

GH,是异面直线；③中连接GM,GMIIHN,所以直线G"与MN共面；④

中，G,M,N三点共面，但"生平面GMN,因此G",MN是异面直线.

12.在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有

组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.

答案46

解析六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故

共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧

面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均相交.

13.有下列四个命题：

①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

②过空间中任意三点有且仅有一个平面；

③若空间两条直线不相交，则这两条直线