圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略

在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发

生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定

值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解

题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.

题型一：定值问题

解答圆锥曲线定值问题的策略：

1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法

是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，

恰当引参，巧妙化归.

2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，

即特殊到一般的思想.

1、两点间的距离为定值

例L（2021•广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为

22'

方则椭圆在其上一点A（x,y）处的切线方程为与

试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系直刀中，已知椭圆C：

/+m=1（〃小0）的离心率为与,且经过点A1,弓.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设尸为椭圆。的右焦点，直线/与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过

原点。作直线/的平行线与直线P尸相交于点Q,问：线段尸。的长是否为定值？

若是，求出定值；若不是，说明理由.

【答案】（1）]+丁=1；（2）是定值，定值为应.

【详解】

£_V2

。一2

.._/z

（1）由题意知不力=1=

a2bl/?=1

/=/+/

工椭圆C的方程为，+y?=1.

（2）设P（%,%），题意可知，切线/的方程为飞冗+2yoy=2,

过原点。且与/平行的直线/'的方程为守+2为y=0,

椭圆。的右焦点厂（1,0）,

所以直线PF的方程为％工一（4一1）），一%=0,

[y0x-（xo-\]y-yo=0

[xox+2yoy=O

所以。代r餐）

4(%一"+小―1

为定值.

V(2rJ-阻—2,=应

(2-x0)-

解题思路：设动点P（%,%）,由题意可知，切线/的方程为/x+2%y=2,过原

点。且与/平行的直线，的方程为与x+2%y=0,求出。的坐标，表示出尸。的

长，再化询即可.

2、求某一代数式为定值

92

例2：（2021•全国高三模拟）已知双曲线C.三上=1（〃>0力>0）的左顶点为

A,右焦点为尸，离心率e=2,焦距为4.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线M4与Mr的倾斜角

分别为。1，%，求2%+&2的值.

【答案】⑴=(2)兀.

3

【详解】

2c=4.

.a=1

(1)由｛c，得(c，所以从=°2一〃2=3,

—=2c=2

[a

0

所以双曲线C的方程为

（2）由（1）知双曲线C的方程为/一丫=1,

3

所以左顶点A（TO）,右焦点尸（2,0）.

设”（%%）（%>0,%>0）,则片哼=1.

当%=2时，％=3,此时女必=1，因=（，。2=],

所以2«+4=兀：

当毛工2,kMA=tana]=-^-f&〃J=tan%=^^.

为+1与-2

因为乂=3（*-1）,

2%

%+12（%+1）%_2（.%+1）%_-%

所以tan2臼=一

7V（仆+1）-火（/+1）--3（片一1）%-2,

1-上

“

又由点M在第一象限，易知%[。，"，%«0,兀）,

所以2al+%=兀.

综上，2冈+%的值为九.

解题思路：利用点在双曲线上，满足片-，=1,利用整体代换思想求出tan2%和

tan%相反.

例3：（2021•安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆。卞+方=1（〃>人>0）,过

椭圆左焦点/的直线x-4百y+百=0与椭圆。在第一象限交于点M,三角形MF0

的面积为立.

4

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)过点M作直线，垂直于x轴，直线物、，如交椭圆分别于4〃两点，且两直

线关于直线/对称，求证：直线/夕的斜率为定值.

2

【答案】(1)三+丁=1；(2)证明见解析.

4

【详解】

(1)直线x-4x/Jy+>/J=0过左焦点产，所以网-6,0),c=yfi

又由柝=；x6x%=半可知

Z44

从而椭圆经过点

由椭圆定义知2〃=」+J12+」=4,即〃=2

2V4

故椭圆的方程为C:《+y2=i.

4

(2)由条件知，直线MA、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，

设直线MA：=交椭圆于点AGx)，

直线MB：y-；=-(―6)交椭圆于点W孙必)，

2

”而右nk-^k-3Hn12&2-46出一3-4G&2-6A1

从而有，V3x=------F-----,即七=-7=~:------,Ji=—T=~;--------+-

14r+16(4左2+1)刀6(4产+1)2

.”12二一4向一3-4尿2_6女1

故4一r―；----，—r=-；——+-)，

V3(4A:2+1)6(4&241)2

12r+4限-3Y尿的

同理可得Wb

百(4《+1)'6(4-+1)4

4辰2।6k14瓜26kj_

(6(4&2+1)+5)(石(442+1)+5)=12k=6

12)2+4&—312\2一4麻一3一8Gz-2

6(4公+1)6(4公+1)

即证直线43的斜率为定值，且为由.

2

解题思路：将直线MA：＞彳=&1-6)与椭圆方程联立求出交点

1242—4点4一3—4、八川一6上I

A("„3七3,二女的坐标,再将A中的攵用此替换，即可求出

V3(4A:24-1)y/3(4k2+l)2

8点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.

例4.(2021•河南高三月考(理))已知点A(-2,0),5(2,0),动点S(x,y)满足

3

直线4s与BS的斜率之积为一丁,记动点S的轨迹为曲线C.

4

(1)求曲线。的方程，并说明曲线。是什么样的曲线；

(2)设M,N是曲线C上的两个动点，直线4"与NB交于点P,NM4N=90。.

①求证：点尸在定直线上；

②求证：直线NB与直线岫的斜率之积为定值.

【答案】（1）—+^=l（x^=2）,曲线C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭

43、7

圆，不含4,8两点；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【详解】（1）解：由题意，得三•上;=一。（元工±2）,

x+2x-24'7

化简，得《+片=1（"±2）,

43v）

所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在工轴上的椭圆，不含A,8两点.

（2）证明：①由题设知，直线MA,NB的斜率存在且均不为0.

设直线AM的方程为x="-2（/*0）,

由AM_L4V,可知直线附的斜率为心A=T，方程为1=」丁-2.

t

_l,_

由｛x,一=一7）一2，得（4/+3）9+12）=0,

3f+4）2=12,

⑵则X=-；，年〕一2二姿，即gjq

解得％=-N

4产+3l4r_+3）4厂+3（4广+34r~+3）

直线NB的斜率为kNB=廿;Y-=2,

O-oZc4/

-5----2

4产+3

则直线8N的方程为、=金（工-2）,将y=："一2）代入”=。-2,解得冗=74,

故点P在直线工=-14上.

33

②由（1）,得2附.心8=一］，右屋右8二一左，

所以^NA''^MA-㈢'㈢]

9

结合3A=T，得38•心5=-2为定值.即直线N8与直线MB的斜率之积为

16

定值.

解题思路：①设直线4M的方程，由AM_L4V,可得直线4N方程，与椭圆联

立可求点N坐标，进而可求得直线3N方程，与AM联立即可得证点P在定直线

33

±;②由⑴得匕犷输=-"七鼠［=一“又四，4V：进而可得直线N3

与直线MB的斜率之积.

一r2v2

例5、（2021•江苏南通市高三期末）已知椭圆C：宗■十方=1（〃>8>0）的离心

率为g,且过点尸

（1）求椭圆。的方程；

3

（2）己知A,3是椭圆C上的两点，且直线。4,。8的斜率之积为-；，点M

4

为线段。4的中点，连接8W并延长交椭圆C于点N,求证：兴也为定值.

,&AMN

【答案】（1）三+上=1;⑵

433

【详解】

（1）因为椭圆的离心率为且过点尸

9

所以C_1又/=从+。2,解得〃2=4,加=3,

所以椭圆C的方程为《+反=1；

43

（2）设A（M，X）,5（孙％）川（七，必），

因为点M为线段Q4的中点，所以"傅得)，

UUUUUU

因为反机N三点共线，所以3N=4BW，

11

所以丹=不3+(1-4)孙必=彳%+(1—丸)为，

乙工

KX=1

44

又因为45点在椭圆上，所以:\，

J五=1

43

3

又因为直线04,。8的斜率之积为-二，

所以=。，

因为点N在椭圆上，

22

所以4~+~=1，即+(3x：+4y2)+(1-A)(3X2+4y2?)+^(1-2)(6^^+8y%)=12,

j2o

所以乙+(1-4)2=],解得力二名,

45

所以BN=18W,贝lj忸麻|二||“N|.

sg，OM4

所以2=9---件---=-耦-=(为定值.

3"：・AM/

解题思路：设4(石,凹),8(电,马)山(毛,%)，根据M为线段0A的中点和反机/V

三点共线，由戢=2潴，表示点N的坐标，再根据儿8,4在椭圆上，结合直

线Q4,08的斜率之积为求得4,从而得到与|MN|的比值，然后由

-OMd

sH

OMB_2求解.

VI4|MV|

MAMN_.AMd、V

2N

例6、（2021•山东泰安市高三期末）已知椭圆C:厂+）=I（«>/?>0）的左顶点为

A（-2,0）,点,1,|）在椭圆C上.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过楠圆C的右焦点尸作斜率为可女工0）的直线/,交椭圆C于M,N两点，

直线AM,AN分别与直线x="交于点尸，。，则。•尸Q是否为定值？请说明

理由.

【答案】（1）寸+?=1；（2）是定值，

434

【详解】

（3、19

（1）团。=2,点T,;7在椭圆C上，0—+—r=1,0Z?2=3）

2）44b~

团椭圆。的方程为：<4=,-

9

（2）是定值-彳，理由如下：

4

设M（金X）,N（%,%），直线/的方程为尸比卜一「（七0），

y=A:(x-1)

由，整理得(4-+3)f_sk2x+4/-12=0,

----r----I

43

8s43一12

团%+%=

止+3’

)'p5y=5Mxi-1)

设P(3»p),G(3,y),则

e3+2-x,+2,国力

\+2X]+2

同理可得％=5,：；）,

；5Mx「1）、5M/-1)、

^FP=FQ=2,

，%+2x24-2)

25A“X-i)(x-1)x.x,-(x.+x))+l

^FPFQ=4+/」I'-「=4+25.「'J~冬—

(%+2)(/+2)xtx2+2(x,+X2)+4

4^2-128%

+19

4+25/4公+34公+3

4/一1216k4

4公+3.422+3+4

9

团々，。为定值—

解题思路：设直线/的方程，与椭圆方程联立，设P（3,»）,由三点共

线可得力，力，结合韦达定理坐标表示口/。可得.

3、求某一个量为定值

r2v2

例7、（2021•江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆C:，+2=l（〃>b>0）离

a-b2

2

心率为§，点48,D,E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形AD5E的

面积为6石.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线AP,BQ

的交点为丁，求证：点7横坐标为定值.

*2V29

【答案】（1）—+^=1；（2）7•横坐标为定值证明见解析.

952

【详解】

c2

­二—

a3a=3

；,2a-2b=6币,解得小=石,

（1）设椭圆C的半焦距长为c,根据题意

2212c=2

c-a-Zr

故C的标准方程为=+2=1.

95

（2）由（1）知4（一3,0）,8（3,0）,尸（2,0）,

设7（而,％,）,「（演,弘）,。（%,%），

由2以=kpAn,①,

x0+3%+3

）'。_必

—，②

xo3x,-3

与一3_%9—3

①②两式相除得

x0+3%+3%

，)22

又立+汇=1,故五_I=_2L

9595

所以("-3)(%+3)工，故»__2内―3

95玉+39y

所以"二弋上=_("3)823)③

%+3%+3y29x%

由题意知直线PQ不平行于x轴，由于直线PQ经过F点,

所以设直线尸。的方程为户阳+2,

（直线PQ的方程为工=磔+2,可避免讨论直线2Q的斜率是否存在，简化计算,

提高正确率）

代入小1=1整理，得(5疗+9)y2+20/ny-25=0,

20m

5；,2”9代入③,

把

35

七一35(内一3)(/一3)5(my-l)(/ny-l)

所以=——•------------=—•iI2I

%+39X%9y^2

5加2乂%一加（？+必）+]

9

2/25、,-20m..

x—35’〃(-5〃『十95〃,十9十二］

所以Fa

%+3925-5

-5m2+9

9

解得小=子

9

所以点7■横坐标为定值不

解题思路：设7*0，加），尸（不凹），。（马，%），根据禽=：八，即8=%8可得

色1二卷,点口，根据在椭圆。上，代入方程化简整理可得

/3_y劣3_5*1-3)(~2-3)

设直线尸。的方程为4=四，+2,与椭

%+3玉+3y29y%

圆C联立，得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理，可得Y+%，M•必的表

达式，代入上式即可.

例8、（2021•湖北武汉市高三月考）己知椭圆C：方的左右

顶点分别为A,4,过椭圆内点。（：,0）且不与x轴重合的动直线交椭圆C于4

。两点，当直线尸。与x轴垂直时，|PDk忸D|=g.

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）设直线AP,A0和直线/：%=，分别交于点M,N,若MZ）_LND恒成

立，求f的值.

/烧210

【答案】（I）^-+^-=1;（II）1=一3或

【详解】

（I）由I叫得4=，《=2,故C的方程为t+上=1,此时「仔小.

3334b~"”

代入方程:+罢=1,解得从=2,故C的标准方程为《+目=1.

99b42

2

（II）设直线P。方程为：x=+与椭圆方程联立.

得/口（/"2+2）y2+—4〃zy-■3—2=0八.

-47n

•…2=3"+2)

①

设尸（％，yj、。（与必），则，1•

心9g2）

此时直线AP方程为y二一三(x+2),与x=f联立.

X1+2

得点同理，点N|7”弩、.

【内+2JIx2+2)

由M£>_LM9,kMDkND=-i.

(f+2)y______(f+2)%=]

即,_|1+2)(…|卜2+2)-

所以(f+2)2y%+。一*I(加y+1)(冲2+1)=°•

/、2厂,一

即«+2)2乂%+,一|)加〜力+.(,+%)+羡=0.

将①代入得：

-32«+2)2(2丫-32m232m2[64=0

9(W2+2)+1-3；9(m2+2)­9(/n2+2)+-9-"，

化简得：—32(f+2)2+,—g)[-32/W2-32/w2+64(/n2+2)]=0.

即0+2)2—4.—g)=o.

解得或2"学10

2

解题思路：设直线尸。方程为：x=my+^与椭圆方程联立，结合韦达定理得

乂+必，凹当，再联立AP方程得M同理得N坐标，结合恒成立得

%皿山版=-1，化简计算可得参数，值.

例9、（2021•陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆「：/+工=1（〃>1）与抛物

a~

线C:f=2py（p>0）有相同的焦点尸，抛物线C的准线交椭圆「于A,B两点,

且|阴=1.

（1）求椭圆「与抛物线C的方程；

（2）。为坐标原点，若尸为椭圆「上任意一点，以夕为圆心，OP为半径的圆尸

与椭圆「的焦点尸为圆心，以石为半径的圆尸交于M,N两点，求证：|肱V|为

定值.

【答案】（1）椭圆「的方程为：/+£=1,抛物线C的方程为：/=4石y；（2）

4

证明见解析.

【详解】

（1）椭圆「：溜+当可得焦点,

抛物线。:/=2外（〃>0）的焦点为0,§,所以后工=与①,

\）2

所以卜却=2

由①@可得：a2=4,p=24,

所以椭圆「的方程为：/+21=1,抛物线。的方程为：炉=46力

4

(2)设P(m,〃),则加2+幺=1,圆p的方程为:(x-m)2+(y-n)2=/M2+W2,

4

圆尸的方程为：x2+(y-73)2=5,

所以直线MN的方程为：〃出+5-6»-1=0,

设点尸到直线MN的距离为d,

,|麻-4||岛-4|2诉-4].

a="―="="=2

则J-2+5-6)2f萩-8技+16.

\MN\=275-J2=2.

所以|MN|为定值.

解题思路：设则疗+乙=1,写出圆p和圆尸的方程，两个圆的方程

4

相减可得直线MV的方程，计算点尸到直线MN的距离为“，再利用

|M/V|=计算弦长即可.

题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题

解答圆锥曲线的定点问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,

即确定题目中核心变量（通常为变量&）；②利用条件找到左过定点的曲线"*,y）=o之

间的关系,得到关于左与兄y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标：

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探

索出定点，再证明该定点与变量无关.

1、直线过定点问题

22

例10、（2020•江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆C:=十与=1（。＞人＞0）

a-h27

经过点尸（百,；），且离心率e邛.

（1）求椭圆。的方程；

（2）已知斜率存在的直线/与椭圆相交于A,8两点，点。个一,0总满足

\/

乙4。。=/8。。，证明：直线/过定点.

2

【答案】（1）—+/=1；（2）证明见解析.

【详解】

（1）因为椭圆C:「*+/=l（a>b>0）的离心率6=乎.

所以/=1一「=［曰］,即〃2=4",

+方=1（。>6>0）经过点尸（后；｝

又椭圆C：

31

代入椭圆方程可得弓+F=1,

---1----=1

联立方程组可得/4b2,解得/=4,从=1.

cr=4b2

所以椭圆C的方程为《+y2=i.

（2）设直线/的方程为广丘+加，A（5，x）,8（W,%），

*****tN1

联立方程组（［■+）'消去）'得（1+4公卜2+8幼优+4〉-4=0,

y=kx+m

22

A=16(4Z:-W+l)>0,即/2<4《+I,

W-4

因为NAQO=NBQO,所以阳。+软。=。,

..y.y,kx,+mkx3+m

kAn+kRn--------------7='H---------------尸=-------7=-H---------------T=

AQBQ#4G4A/3

得2M4疗一4）-85？TH-弓^左）一^^〃7（1+4攵2）=0,

化简得机=-&,直线/的方程为丁=%[-6），

所以，直线/恒过定点（6,0）.

解题思路：设直线/的方程为尸质+加，人冷乂），85,为），将直线方程与椭

圆方程联立，写出韦达定理，又因为乙4QO=NBQ。，所以^。+心。=0,将韦

达定理代入得出答案.

例11、（2021•湖北襄阳市高三期末）已知A,8分别为椭圆C：5+y2=i（a>i）

的左、右顶点，尸为C的上顶点，AP.尸8=8.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（6,0）作关于x轴对称的两条不同直线3％分别交椭圆于M（x，y）与

NgM，且王工超，证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标.

【答案】（1）y+y2=l;（2）证明见解析，定点停0）.

【详解】

解：⑴由题意得4(一。,0),B(a,0),P(0,l),则AP=(aJ),P月=(a,-l).由

AP・PB=8,得。2_I=8,即a=3

所以椭圆C的方程为三+丁=1

(2)由题易知：直线MN的斜率存在，且斜率不为零,

x=my+n

设直线MN方程为1=缈+〃，(加工0),联立，

x2+9y2-9=0,

得(>+9)/+2〃殴+"―9=0,由A>0得病一〃2+9>o,

.-2mn2-9

,・小=中，，跖=蕨n3

因为关于x轴对称的两条不同直线4，4的斜率之和为0,

，出+出二°，整理得2相通+5-6)(乂+必)=°，

即2"〃2-9)_2〃〃?(〃-6)=0,解得：n=3

+9trr+92

直线MN方程为：x=my^t所以直线MV过定点.

解题思路：设直线MV方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得y+%，,%，又

因为关于x轴对称的两条不同直线4,4的斜率之和为0,所以气+春二°,

X1—OX2一O

通过计算化简即可求得定点.

例12、（2021•山东德州市高三期末）已知点耳、K分别是椭圆C的左、右焦点，

离心率为乎，点户是以坐标原点。为圆心的单位圆上的一点，且PK.PE=O.

（1）求椭圆。的标准方程；

（2）设斜率为4的直线/（不过焦点）交椭圆于机N两点，若x轴上任意一点

到直线MG与NK的距离均相等，求证：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.

22

rv

【答案】⑴于2r"⑵证明见解析，

【详角吊】

2）

⑴设椭圆的标准方程为，+2=1,尸（乂），）

a"o

£=V2

a2a2=2

由题意可得f+y2=i

解得:b2=\

2

(x-c,y)(x+c9y)=Oc=\

b2+c2=a2

即椭圆C的标准方程：—+^=1.

21

(2)设直线hy=kx+m,M(x,iyi\N(x2,y2)

,.y.kx.+m,ykx.+m

则心M=3=七-，与巧7=3T丁

X)+1+1X,+1X2+1

22

有121,消去y得：(1+2/)冗2+4加履+2m2—2=o,

y=kx+m

A=16k2m2-8(w-1)(1+2-)>0

-4mk

所以百

2m2-2

中2二由记

因为X轴上任意一点到直线用耳与NK的距离均相等,

所以X轴为直线ME与的角平分线,

,kx.+mkx、+m八

f即2kxix2+(加+%)(X[+x)+2/n=0

所以吗+样=，T+=r=°'2

we,2m—2/，、一4mk〜八

所以2欠....-+(m+k)-----+2w=0

1+2F1+2公

整理化简得：m=2k

即直线J：y=kx+tn=kx+2k=k(x+2)

故直线恒过定点(-2,0).

解题思路：先用设而不求法表示出玉+/小/，然后分析得到%岫=。，代

入，求出帆=2%,即可证明直线过定点(-2,0).〃设而不求“是一种在解析几何

中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

2、动点在定直线上的问题

22

例13、(2021•山东威海市高三期末)已知椭圆C:£+5=l(〃>b>0)的离心

率为上A,B分别是它的左、右顶点，厂是它的右焦点，过点尸作直线与C交于

2

P,Q(异于A3)两点，当轴时，AAPQ的面积为19.

（1）求C的标准方程；

（2）设直线4P与直线BQ交于点M,求证:点M在定直线上

22

【答案】（1）—+^=1;（2）证明见解析.

43

【详解】

解：（1）由题意知£=!，所以a=2c,又/=廿+。2,

a2

所以b=

9

当尸Q_Lx轴时，©AR2的面积为大，

2

1z2b29

所rr以rI5（〃+c）x•工-=5

解得C?=l,

所以/=4,廿=3,

22

所以椭圆C的标准方程为三十汇=1.

43

（2）由（1）知产（1,0）,设直线尸。的方程为1=冲+1,

与椭圆[+[=1联立，得（3帆2+4）丁+6%，-9=0.

显然八〉0恒成立.

设尸（不））。（々,必）＞

所以有％+%=-舄，、"-3（*）

直线AP的方程为〉={7（"+2），直线80的方程为y=-^（x-2）,

+z%一乙

联立两方程可得，所以也（%+2）=黄万（工-2）

x+2x+2%_（加y+3）%—年跖+3%

九一2y/一2芦（根），2-1），孙必一凶

3

由（*）式可得"2=森3+R

"2_|(%+%)+3%_|乂+5%

代入上式可得=3,

I|(yl+v2)-yi

乙22

解得I,

故点M在定直线x=4上.

解题思路：设直线尸。的方程为工=冲+1,联立椭圆方程，设代小M）,。。％%），

由韦达定理，可知X+%=-T=，乂M=一丁工，将直线AP的方程

）'=卷（工+2）与直线8。的方程＞=一%"-2）联立，利用韦达定理，化简计

X|+Z%一乙

算，即可证明结果.

r2v2_1

例14、（2。21•福建高三模拟）椭圆。丁93"＞。）的离心35,

P化通

在C上.

2'4

\

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）匕”设为短轴端点，过例（。1）作直线/交椭圆。十4B两点（异于七/'）,

直线AE、8尸交于点T.求证：点7恒在一定直线上.

【答案】（1）—+^=1;（2）证明见解析.

43

【详解】

⑴因为点尸（;,乎）在「上，所以;（¥,_］，

a2b2

又6=£=《，a2=b2+c2»所以/=4,从=3,

a2

故所求椭圆C的方程为工=1.

43

（2）由题意知直线/的斜率存在，设其方程为y="+L

设A（%,y）,8（w，%），（石口。，%。0）.

3.；储；=0=（叱+3卜2+8米-8=。,

Sk—8

且有药+工2=烟々.

i.vR_y「6

1AE.)73-：x

1广(西工。，w。。)

/小>+石="+3<

x2

x

y-y/^_y\-y/^xx2_kX'+T-Cx2_3々+(1—G»2

y+^3XM+^3X]kx、+1+>/3kxix-i+(1+>/3)X|

y-y/3_kxxx2+(1-5/3)^2

——

25/3(1+V3)X|(1\/3)x7

2kxx+2(1-6)X+]

故y=6x122

(l+VJ)^—(1—>/3)X2

62kxxx2+(^+x2)+5/3(A(-x2)

(1+>/3)%]—(1—>/3)X2

KX3(;+S)+*%T)=3

+引+(西一々)

故点r恒在一定直线y=3上.

解题思路：设出直线y=E+L联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出4£B尸

的直线方程，联立求出交点纵坐标为3,进而可得结果.

3、圆过定点问题

2，

例14、（2021•湖北武汉市高三月考）设P是椭圆C：=1(4>/?>0)上异

于长轴顶点4M2的任意一点，过户作。的切线与分别过4,4的切线交于4,

员两点，已知|4幻=4,椭圆。的离心率为万.

(1)求椭圆。的方程；

(2)以56为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求

出定点；如果不过定点，说明理由.

【答案】(1)—+^-=1；(2)过定点，证明见解析，定点为(-1,0),(1,0).

43

【详解】

|A闺=2q=4

解：(1)由题可知|c1,解得。=2,c=l,由/=/+/得〃=3.

e=—=—

a2

椭圆C的方程为二十t=1.

43

(2)设P(x。,%),由于P是异于长轴顶点4,4的任意一点，故切线斜率存在.

y=kx+b

22

设过P的椭圆的切线为)，=奴+)，联立方程JJ'

43

得(3+4k2)x2+8kbx+4Z?2-12=0,△=(8幼尸,4(3+4k2)(4b2-12)=0,

y()=kxt)+b

得从=3+4公，

所以(%-线丫=3+4-,

2

则Go?-4)二一2yoMA+年一3=0,即16)广公+2yoxok+9x0=0

所以（4），0左+3.）2=0,则％=一说

解得过P点的切线方程为＞一.%=-科■（x-%）,即y=-学日+工~

4yo4%%

由于分别过A，4的切线分别为X=-2/=2,

解得张B2的坐标为B.（-2,笫4,员（2,守^）.

6-3%、

在x轴上取点M&0）,则M8=-2-r,,MB?--2+

。~wy

2

_______7A_Or

所以MBL=/T+

4%

当，=±1时，M4M瓦=0.

所以，以用鸟为直径的圆过x轴上的定点为6（-1,0）,玛（1,0）.

解题思路：设P（%,%），设过户的椭圆的切线为），=奴+6,月椭圆方程联立由

A=O,求出切线的斜率攵=-如，得出切线方程丫=一学+』，由条件求出

4%4yo?0

稣当坐标，在X轴上取点由“外加入=0得出答案.

【巩固训练】

1、（2020•广东高三一模）已知点打一2,-1）为椭圆C：4+4=l（。＞6＞0）上一

a~b

点,且椭圆C的一个焦点与抛物线丁=4瓜的焦点重合,过点P作直线PA,PB,

与椭圆C分别交于点A,B.

(1)求椭圆。的标准方程与离心率；

(2)若直线Q4,P8的斜率之和为0,证明：直线A8的斜率为定值.

【答案】⑴=1,离心率为变；(2)证明见解析.

632

【详解】

(1)由题设，得,+,=1，①且J。?一从=6，②

由①②解得/=6,b2=3,

所以椭圆C的标准方程为兰+廿=1,

63

椭圆C的离心率为e=£=，匹员=也.

a\a22

(2)直线45的斜率为定值1.

证明：设直线24的斜率为攵，则直线总的斜率为-3

记4(芭,升),B(x2,y2).

设直线PA的方程为y।1=Mx।2),

与椭圆。的方程联立，并消去了得(1+2/)/+(8公-4Z)X+8E-8Z—4=0,

则-2,须是该方程的两根，

8A2—8A-4-4/+4k+2

,即玉二

1+2k21+2公

设直线所的方程为y+1=-Hr+2),

同理得母胃-4d-卡41-4-.2

因为y+1=%（玉+2）,旷2+1=—左（冬+2）,

以

所以心8二乂一必=”"+2）+”（3+2）=M3+W+4）=]+2如=],

%1-x2x{-x2%!-x28Z

\+2k2

因此直线A8的斜率为定值.

2、（2021•山西阳泉市高三期末（理））已知圆C:/+y2=4,点产为圆。上的

动点，过点尸作工轴的垂线，垂足为0,设〃为尸。的中点，且〃的轨迹为曲线

£（图9三点可重合）.

（1）求曲线后的方程；

（2）不过原点的直线/与曲线£交于MN两点，已知〃仅直线/,OV的斜率占

、&网成等比数列，记以〃队〃斗为直径的圆的面积分别为S，S，试探究4+02

是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.