（沪教版2020必修三）2021学年高二数学讲义-第12讲 空间几何体的表面积与体积（提高）

第12讲空间几何体的表面积与体积（提高）

一、填空题

I.在三棱锥P-ABC中，E4,面ABC,ABLAC,PA=\,AB=AC=2,求三棱锥P-ABC外接球的表

面积为.

【答案】9万

【分析】

将三棱锥P-ABC补成长方体PEFG-ABZ）C,计算出长方体的体对角线长，可得出三棱锥的外接球半径，

利用球体的表面积公式即可得解.

【教师】

在三棱锥P—A8C中，％_1_面45。，AB1AC,PA=1,AB=AC=2,

将三棱锥P-ABC补成长方体在FG-ABDC,

.______________3

则三棱锥P一ABC外接球的直径为2R=y/PA2+AB?+AC?=3，则尺=彳，

因此，三棱锥P-ABC外接球的表面积为5=4%/?2=9万.

故答案为：9万.

2.已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与

■z.也.64万

【答案】—

【分析】

首先根据三视图，还原被截圆锥的内接三棱锥，即可计算球的半径，即球的表面积.

【教师】

3.已知空间四边形ABC。的各边长及对角线80的长度均为6,平面平面C8。,点M在AC上，且

AM=2MC,过点M作四边形A8CD外接球的截面，则截面面积最大值与最小值之比为

【答呜

【分析】

取8。中点为反连接AE,CE,球心。在平面88的投影△BCO为外心。1,

在4E上，作O”_LAE于E,依题意可证AEJ.8。,由面面垂直的性质得到AEJ_平面CB£>,求出OH、AH,

从而求出外接球的半径，再连接。加，即可得到4,0,M三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从

而得解;

【教师】

解：由题知和△BCD为等边三角形，取80中点为E,连接AECE,

贝ljAE±BD,

由平面_L平面CBD,平面ABDc平面CBD=BD,

故AEJ_平面C8。，AE=yjAlf-DE2=762-32=3^>

易知球心。在平面5c。的投影为△88的外心。|,

在AE上，作OH_LAE于H,

易得OH//O、E,OOJ/HE,

则在中，OH=6,AH=2。

所以外接球半径/=JOH?+AH?=岳,连接OM,

因为A”=2HE,OHIICE,AM=2MC,

所以〃,0,M三点共线，所以OM=Ma-OH=6,

当截面过球心时截面面积最大为15%，

当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，（用『-（6）2=2®,面积为127，所以截面面积

最大值与最小值之比为是之.

4

故答案为：7

4

4.如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径AB折成直二面角（如图2）

后发现，E在半圆弧（不含A、B点）上运动时，三棱锥E-ABD的外接球始终保持不变，若AB=3,4）=4,

则该三棱锥外接球的表面积为.

【答案】25%.

【分析】

设半圆的圆心为M,设外接球的球心为。，则面4为，取AO的中点尸，则。尸垂直平分A£),即

为外接球的半径，由勾股定理可得半径的长，从而得到外接球的表面积.

【教师】

由题意，如图，将半圆沿直径AB折成直二面角，设半圆的圆心为M,

可得AD_L半圆面AES,设外接球的球心为0,则。0_1_面/1£®,

取45的中点F，则OF垂直平分AD,即为外接球的半径，

且四边形AMOF为长方形，

△但是直角三角形，所以半径AM=gAB=|,

三棱锥E—/WD的高/?=AT>=4不变，

三棱锥外接球的半径OA=｛用+AM?=l|J+22=|,

从而可得该三棱锥外接球的表面积S=4TTR2=25乃.

故答案为：25万.

E

5.已知菱形A8CO的边长为2月，ZBAD-1,若沿对角线8。将48c。折起，所得的二面角C-BO-A的

大小为y，则A8,C,。四点所在球的表面积为.

【答案】287

【分析】

由条件确定球心的位置，再根据平面图形，建立等量关系，求球的半径，再由球的表面积公式求球的表面

积.

【教师】

如图，设外接球的球心为0,

,：四边形ABCD为菱形，NBAD=',

二三角形BCQ为等边三角形，设其中心为。'，

取的中点F,连接AF,CF,00',OB,O'B,

由A8=4O=8c=8D=OC,^AFlBD,CF±BD,

所以8。_L平面AFC,又AF=CF=3,AC=35

，ZAFC=120°.

过点4作CF的垂线，交CF的延长线于点E,

由8O_L平面AFC,AEu平面AFC,

,BDA.AE,AEA.CF,BDC\CF=F

：.AE_L平面BC£>,

过点。作OGLAE于点G,

则四边形O'EGO是矩形，

•；O'fi=BCsin60x|=2,O'F=}-O'B=\,AF=ABsin600=3,.AE=AFsin60=—,

322

3

EF=AFsin30o=-

29

设外接球的半径为七OO'=x,

「OO'2+O'B2=OB2,=AG2+GO2,

X2+22=7?2,一x)2+(g+l)2=片，

解得x=G，B2=7,

故其外接球的表面积S=4—=28%.

故答案为：28乃.

6.已知正方形A3C£＞中，AB=2,M,N分别是。C,BC的中点，将AADM沿AM折起,使得£>N=1,

则折起后四棱锥D-43cM的体积为.

2

【答案】|

【分析】

由勾股定理逆定理证得从而得证">J"平面OWN,再证得然后由匕=^D-AMN求

得点。到平面ABCN的距离为人，从而求得体积.

【教师】

由题意，ADYMD,AD2+DN2=22+}=5,AN2=AB2+BN2=22+]=5,

AD2+DN2=AN2,：.AD1.DN,MDCDN=D,MD,NDu平面MND,

：.AE>_L平面DWN.

""+•=1+1=2,MN-=MC'+NC2=1+1=2,/.DM2+DN2=MN2,

：.MDIND.

设点D到平面ABCM的距离为h,VA.MDN=,

BP-x2x—xlxl=-^x2

/?x|22--x2xlx2--xlxl,解得

22

VD-ABCM=^xhxSABCM=~^X2><1

,2

故答案为：—.

7.如图，在六面体ABC一尸EDG中，BG_L平面A8C,平面ABC〃平面FEQG,AF//BG,FE//GD,NFGD

=90°,AB=BC=BG=2,四边形AEDC是菱形，则六面体ABC—FEDG的体积为

【分析】

根据所给条件求得各边长，再分割匕吟的0=匕4的+V-，即可得解•

【教师】

由平面ABC〃平面FEDG且同时和平面A3FG相交，可得AB//FG,

由BGJ_平面ABC可得BGJ_平面FEDG,

所以AF_L平面FEDG,

由NFGO=90。则NA8C=9（1,所以AC=2&,

所以AE=2应，由BG=2得AF=2,

所以£F=2,由E£>=2则GO=4,

所以VABC-FEDG=^A-FEDG+匕-BCDG=§EFGD'BCDG'

=1X（214）X2X2+1X（214）X2X2=8

3232

故答案为：8.

8.曲线x?=2y,f=-2y,x=2,x=-2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为匕；满足

X2+/<4,x2+(y-l)2>l,/+(>+1)2*1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为匕，通

过考查匕与匕的关系，可得乂的值为.

【答案】

87t

【分析】

设截面与原点的距离为|引，求出两个截面的面积相等，由祖胞原理知乂=匕，通过球的体积公式计算匕即

可得匕的值.

【教师】

设截面与原点的距离为|y|,此时所得截面面积为B=71*22-70?=4兀-2兀|y|,

S兀-

2=7tx(4-y2)_7t[]_(3_])[=427tly|,

所以，=邑，即两个几何体在等高处的截面面积相等，

由祖晒原理知：两个几何体的体积相等即乂=匕，

匕表示半径为2的球挖去两个半径为1的球余下的体积，

4,4,

所以匕=—71X23-2X—71X13=8兀，

■33

所以匕=匕=8兀，

故答案为：871.

9.球。的球面上有四点S、A、8、C,其中。、A、B、C四点共面，AAfiC是边长为2月的正三角形,

平面SAB1平面ABC,则棱锥S-ABC体积的最大值为

【答案】3

【分析】

由于面543_1面43<7,所以点S在平面A3C上的射影//落在A5上，根据球体的对称性可知，当S在“最高

点”,也就是说“为A3中点时，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大.

【教师】

解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB_L面ABC,所以点S在平面ABC上的射影//落在A8上，根据球体的对称性可知，

当S在“最高点”，也就是说H为A3中点时，，SH最大，棱锥S-ABC的体积最大.

^ABC是边长为的正三角形，

，球的半径r=OC=2cH=2x@x2招=2,

332

在RASHO中,OH=^OC=^OS=\,

^HSO=30°,求得SH=OScos300=6,

体积V/=N=W2GX2GX3x&=3.

3322

故答案为：3.

10.如图，在三棱锥A-8C。中，AB±AD,AC±AD,ABAC=30°,AB=AC=AZ)=4,点P、2分别在侧

面ABC、棱A。上运动，PQ=2,M为线段PQ的中点，则点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部

分的体积之比等于.

第12号面因

【答案】y=-iwc+\.

【教师】

分析：在三棱锥A—BCO中，AB±AD,AC1AD,ABAC=30°,A3=AC=A£>=4,易计算出三棱锥A—BCO

的体积，又由点尸、。分别在侧面ABC、棱AD上运动，「。=2,M为线段尸。的中点，可以判断用的轨

迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案.

详解：：••,三棱锥A—88中，AB±AD,AC±AD,ABAC=30°,AB=AC=仞=4,

贝ij棱锥4一8C£>的体积V=；x；x4x4xgx4=?.

又•：点、P、。分别在侧面48C、棱A。上运动，PQ=2,历为线段尸。的中点，，

二点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上

则点M的轨迹把三棱锥A-BCD分成上、下两部分的体积之比为：小1弓4乃：(1与6-小1=4或=7^匚71，

243324396—7

故答案为;

点睛：本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出/的轨迹在以A为球心以1半径的球面上

是解答本题的关键.

11.如图，在水平面上放置两个边长为1的正三角形A5C与DEF,将ADER沿垂直于水平面的方向向上平

移至△。£尸，得到多面体ABC—D'E'F',已知各侧面(AZXBC,Z\DEC,^E'AC,^E'F'A，

△尸B4及△FD'8)均为正三角形，则多面体ABC-O'E'F'的外接球的体积为.

【分析】

将几何体旋转，可以发现几何体是由上下两个完全相同的正四棱锥组成，且侧棱与底面边长相同，所以几

何体外接球的球心为底面正方形的中心，半径为底面对角线的一半，从而求出外接球的体积

【教师】

根据题意可得：DE//AB,且=DB=AB，所以四边形ABDE,是菱形，所以AD'_L8E'，如上

图所示，将几何体进行旋转，使得面A80E.位于水平位置，连接A。,BE相交于点。，所以。为AZ),8E'的

中点，连接尸0,CO；因为尸力=/区,尸4=尸。，所以尸O_L8E',F'O，AZ>,所以三角形尸0£>.和三角形

F0E'为直角三角形，且=尸D，所以直角三角形FOD和直角三角形F0E‘全等，所以OE'=。。，所

以A£>=BE'，所以四边形A3Z)E’是正方形，所以上下为两个正四棱锥，且所有棱长均为1,可得：

OE=OD=OF=显,。到所有顶点的距离都相等，所以。为外接圆圆心，且外接圆半径『=受，所以

22

外接圆的体积V=—nr3=—

3343

故答案为：

3

【点睛】

本题目考察多边形的外接球问题，求外接球体积的重点主要在于确定球心位置，求出半径的值；本题目的

难点主要由两点，一是要发现多面体旋转之后，由上下两个四棱锥组成，二是通过辅助线可以证明四棱锥

底面为正方形，从而得到球心的位置以及外接球的半径

12.如图所示五面体A8CDEF的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中AB//0C//E尸，“羡除”形似“楔

体“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长“，b,c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离相、“袤”

是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离〃.已知“=3,b=2,c=l,机=2,〃=2,则此“羡除”的体积为

【答案】4

【分析】

将该几何体分成一个三棱柱与一个四棱锥即可求得.

【教师】

如图1,将该几何体分成一个三棱柱PQE-BCP与一个四棱锥E-APQZ）,

_.11+2

VE-APQD=§,-2-.2,2=2,

如图2,将三棱柱尸0E-8CF进行割补，使得新三棱柱PQ/?-8CE是高为1的直三棱柱

.•.几何体的体积为4.

故答案为：4.

二、单选题

13.如果球、正方体与等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的体积相等，那么它们的表面积之,S正方体，S桂

的大小关系为（）.

A.%＜5正方体＜S柱B.S球＜5柱＜$iE方体

C.$柱＜5球＜$正方体D.S正方体＜S桂＜S球

【答案】B

【分析】

根据球、正方体与等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的体积相等列方程，分别求得它们的表面积的表达

式，由此比较出队,S正方体，/的大小关系.

【教师】

设球的半径为，，正方体的棱长为。，等边圆柱的底面半径为R、母线长为2R,

Ajr

贝它们的体积分另I」为％=yX方体=/,%=%x六X2R=2兀R3,

依题意可知子/="=2兀K①.

它们的表面积分别为%=4万尸S正方体=6/,5柱=2万代+2兀Rx2R=6兀N②.

由①得r3=即-=＞r=7?1=—=＞/?=，代入②得

,3

=（41）5xVxa2=（36%）5xa2,

4万

S正方体=6。2=（216）5xa2,

2

兀兀乂xa?=3x（2万产xJ=（54万）3xa，

S）i；=6E=6

由于36万＜54乃＜216＞所以S球＜S在＜$正方体.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查球、正方体、圆柱的体积和表面积的计算，属于中档题.

14.已知正方体ABCO-AMGR的棱长为G，E为A4的中点，尸为面ABCE＞的中心，现将正方体绕直

线AG旋转一周，得一几何体。，则（）

A

D

A.E在。内B.F在。内

C.C的体积小于与乃D.。的表面积等于2（收+

【答案】C

【分析】

所得的几何体实际为两个直角三角形绕其公共斜边旋转一周得到的几何体，根据正方体棱长计算出组合体

各参数，验证及F所在位置，并计算体积和表面积.

【教师】

直角三角形绕其斜边旋转，得到的是两个同底圆锥在一起的组合体,

则旋转后的截面图如图所示：

CQ、=AB=AA1=A^D=CCt=B©=G>

AD,=BCt=ABt=AC=C,D=\C[=y/6,AC,=3,

则函-x)2=f+(何,解得x=近,

4

1苧=&,4=（逐一务白萍

〃7（我2_诋2=］,饱=|一1=；,

即所得的几何体实际为两个直角三角形绕其公共斜边旋转一周得到的几何体，

点E位于AAAG外侧，旋转后，位于几何体的外侧，故A错误；

点尸位于AC上，旋转后，位于几何体上，故B错误；

几何体体积为丫=!叫?+，；+化阿="（2x1+马=竽＜孚，故C正确；

3331683

表面积为s=2［万储2一切+孙赤6+乃（｛一9）册+（3_〃2）］=号+2与兀,故D错误.

r\4

故选：C

15.运用祖晅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一

个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的

圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底

面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的

两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆《+，=1绕y轴旋转一周后得一橄榄

状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖随原理可求得其体积等于（）

图1图2图3

A.64JtB.48兀C.167tD.327t

【答案】B

【分析】

构造一个底面半径为3,高为4的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖胞原理可得橄榄球形

几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥体积.

【教师】

解：构造一个底面半径为3,高为4的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，

则当截面与顶点距离为万（成女4）时，小圆锥的底面半径为r,则。

43

3,

故截面面积为94-萼，

10

把y=〃代入椭圆《+£=1可得x=±刈正，

9164

•••橄榄球形几何体的截面面积为"2=9"-号，

16

由祖唾原理可得橄榄球形几何体的体积V=2（%柱-%1tt）=2卜乃X4-gX9乃X4）=48万.

故选：B.

【点睛】

本题考查类比推理，涉及了立体几何知识，祖胞原理等，属于中档题.

16.在长方体ABCO-AAG。中，底面ABCO是边长为4的正方形，侧棱的=/。>4）,点£是BC的中点,

点P是侧面ABB|A内的动点（包括四条边上的点），且满足tanNAP£）=4tan/EPB,则四棱锥P-ABED的体

积的最大值是（）

A.延B.16^C.应1D.如叵

439

【答案】C

【分析】

由题意画出图象，根据tanN4P£>=4tanZEPB,求出=设PN=h,AN=X,则BN=4-x,xe[0,

4],由PA=；PB,得尸牙=；*即川+X2=：H+（4-X）2],求出好的教师式，可得/r的最大值，再由棱锥

体积公式求解.

【教师】

解：作PNLA8于N,在长方体ABCO-A用GR中，

D4，平面\ABB,,CB_L平面AtABBt,

A。BE

在RtAPAD和RtAPBC中，tanZAPD=——，tanNEPB=一,

APPB

。.•tanZAP£>=4tanZEP8,BE=—BC——AD,PA=—PB,

222

设PN=h,AN=x,则8N=4-x,xe[0,4],

由=1尸B,得PA22P82,BPh2+X2=-[/z2+(4-x)2],

244

整理得好一g+与，xe[O,4],开口向下，对称轴为x=-g,

.•.在xe[O,4]单调递减，则*=0时，/取到最大值?，即人的最大值为生叵.

33

四棱锥尸-/WED的体积的最大值是gx；(2+4)x4x[L印.

【点睛】

考查棱柱、棱锥的体积的计算，利用了构造函数法及单调性和最值，属于中档题.

三、解答题

17.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是多少？

俯视图

【答案】S表=2石+2

【分析】

根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥P-ABC,其中底面AABC中，取AB棱的中点。，则CQLAB,

PD±AB,结合图形的特征，不难算出该三棱锥的表面积.

【教师】

根据三视图恢复成三棱锥P-ABC如图所示,

其中PCJL平面ABC,取AB棱的中点。，

连接CD,PD,有CDVAB,

底面ABC为等腰三角形，底边A8上的高CO为2,AD=BD=\,PC=\.

贝!|PZ)=逐，S^ABC=-1x2x2=2.S^PAB=^-X2XA/5=A/5,

AC=BC=旧,S,PAC=SJBC=1亚xl=去.

棱锥表面积S表=2+石+2x曰=2遥+2.

【点睛】

该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，求几何体的表面积，属于简

单题目.

18.如图，在棱台ABCQ-A4GA中，底面A8CO与A/CR互相平行且相似，底面ABC。为菱形,

ZB4D=60°,A3=2Ag=2,CC|_L平面ABC。，tanZ<41AB=l.

(1)平面44网flCDD£=1,求证：/〃平面ABCD；

（2）求三棱锥C-AQR的体积.

【答案】（1）证明见教师；（2）叵.

4

【分析】

（1）利用线面平行的性质定理可以解决；（2）先将待求的体积转化，变成容易求底面积的三棱锥，最后解

决求高的问题即可.

【教师】

（1）证明：因为底面ABCO与A/CQi互相平行且相似，且A8CO为菱形，

所以AB〃C£）,且平面C/X>C，所以AB〃平面CDRG.

又AB1平面AABB,,平面AABB,nCDD、G=',

所以45〃/,又/<Z平面43cO,

所以〃/平面ABC。.

（2）解：依题意，AD=2AIDI,所以匕9卬=5"A-ACD»

因为Zfl4£>=60。，AB==2,

延长侧棱交于点P,设尸C=/7,易知5c=2,AC=2后,

所以P8=j4+",PA=J12+h2，

在△PA8中，因为tanNAA8=l，所以NPAB=45。,

由余弦定理得8S〃"=容票探

442+万2

所以〃=",所以三棱锥A-AC。的高为“=迈，

22

所以L4c0=,X石*—=—,

4一""322

所以三棱锥C-AtDDt的体积为它.

4

19.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面

周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周

长为24万。加，高为30c〃?，圆锥的母线长为20c〃z.

（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到01cn?）；

（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元?

1104n-

【答案】（1）11158.9；（2）

【分析】

（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；

（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价.

【教师】

设圆柱的底面半径为"，高为〃；圆锥的母线长为/,高为九，

根据题意可知：

（1）2万厂=247,r=12cm,/?,=-*/202-122=16cm,

23

所以“笼具”的体积V=7rrh-^7tr-h}=3552i®11158.9cm.

（2）圆柱的侧面积*=2乃泌=720万,圆柱的底面积S2=%产=1441加2,

圆锥的侧面积S3=nrl=240万cm2,所以“笼具”的表面积为1104万cm?,

1104^x50x811047一

故造50个“笼具”的总造价:兀・

10425

答：这种“笼具”的体积约为11158.9生产50个“笼具”的总造价为；寿元.

【点睛】

本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.

20.下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径。4=1,母线&1=3,

(1)4、8是圆。的一条直径的两个端点，母线S3的中点。，用软尺沿着圆锥面测量A、。两点的距离,

求这个距离的最小值;

(2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的

一个面内’求原工件材料的利用率.(材料利用率二春瑞黯)

【答案】⑴乎；⑵*

【分析】

(1)根据题意，可得在"S。中，根据余弦定理，即可求得答案.

(2)作出过对角面的轴截面，设新正方体工件的棱长为x,根据相似，可求得x,即可求得正方体的体积和

圆锥的体积，进而可得答案.

【教师】

解：(1)如图，将圆锥5。的侧面自母线SA处展开，得到扇形ASA,S8'为母线SB在侧面展开图中相应的

线段,

•.•弧A4'=2万，/.ZASA'=—^—

SA3

.•.NAS8'=。，取S9的中点小，则以为。在侧面展开图中的相应点;

77

连47,在^ASD'中，由余弦定理得AD'2=SA2+SD2-2SAxSD'xcosZAS。=—

4

故AD的最小距离为逑;

2

（2）设新正方体工件的棱长为x,沿正方体对角面切圆锥，得到一个轴截面，如图所示:

所以历=岳，FG=x,

因为ABFGSABSO

]_也》2万

所以X_2，解得x=2色

7^7・13

16x/2

故/=1

27

又/城=!乃xyx"-F='

16五

故利用率为-—=

2V29兀

n

3

21.如图所示，在平面五边形ABCOE中，AB=AE=CD=2,BC=1,DE=6，NABC=90。ZAED=90°,

分别沿AC,A£＞将"BC与"DE折起使得B,E重合于点P.试求:

（1）三棱锥A-尸8的体积；

（2）三棱锥A-PCD的外接球的表面积.

【答案】(1)—;(2)8n.

3

【分析】

(1)先判断出三棱锥A-尸8的高，进而求得三棱锥A-PCZ)的体积.

(2)通过补形的方法求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【教师】

(1)PD=g,PC=\,CD=2,则PC、P£>2=C£)2n/>C_LP£>,

又叱_LP£),APVPC,PCcPD=D,AP_L平面PCD.

所以%i8=gsA/>8.AP=gx；.pC.PO.PA=gxgxlx^x2=¥；

(2)将三棱锥补成长方体知三棱锥A-PCD的外接球的直径即为长方体的体对角线长，

即2R=加+(可+2,=2夜=>/?=收，所以球的表面积为《成、8兀.

22.如图，A3是圆柱OO1的一条母线，BC过底面圆心。，。是圆0上一点.已知A8=BC=5,CD=3.

(2)求点8到平面AC。的距离；

(3)将四面体ABC。绕母线A8所在的直线旋转一周，求△AC。的三边在旋转过程中所围成的几何体的体

积.

【答案】(1)50万；(2)生匣；(3)151.

41

【分析】

根据题意，结合圆的面积和圆柱的侧面积公式，即可求解；

(2)根据题意，证得。C,平面谢，得到。CLAD,求得设点8到平面AC。的距离为4,结合

VA-BCD=^B-ACD，即可求解；

(3)根据线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以8c为底面半径，以AB为高的圆锥，线段AD绕旋转

一周所得的儿何体为8£＞为底面半径，以AB为高的圆锥，结合圆锥的体积公式，即可求解.

【教师】

由题意知A3是圆柱OO'的一条母线，8c过底面圆心0,且A3=3C=5,

可得圆柱的底面圆的半径为R=g,

则圆柱的底面积为，=1叱=%x(¥=日乃，

525

圆柱的侧面积为/=^/?/=^x-x5=—

所以圆柱的表面积为S=2R+邑=2x亍25%+］25万=50).

(2)由BC过底面圆心。，。是圆。上一点，可得8。！.DC,

因为8c=5,OC=3,所以BD=\IBC2-DC?=4,

所以三棱锥A—BCD的体积为匕,o=gSveA8=gxgx4x3x5=10,

又由A8J_平面BCD,且。Cu平面BCD,所以。C_LA8,

又由且所以。C_L平面AB。，

因为AOu平面ABD,所以Z)CJ_AZ),

在直角△AB。中，AB=5,BD=4,所以AO=5/5?+4?="T，

所以S*rn=LxA£＞.OC='x5/?lx3=^i,

iACD222

设点B到平面ACD的距离为d,

由匕l-BCD=%-ACD,可得！乂SAC0以xd=10,解得d=2。"^.

3a3241

(3)由线段AC绕A8旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，

线段AE＞绕AB旋转一周所得的几何体为BD为底面半径，以A8为高的圆锥，

所以以“8绕A8旋转一周而成的封闭几何体的体积为：

1,1,1,1,

V=-7tBC2AB--7tBD2■AB^-TT-51-5--^-42-5=15^.

3333

23.如图，圆柱。。中，AB、。。分别为圆0、圆。।的直径，AD为母线，钻=4)=2,点尸在上底面

的圆。内，点2在弧。C上.

(1)求三棱锥P-QC。的体积的最大值；

(2)求三棱锥P-DCQ的外接球的体积的最小值.

【答案】(1)(2)等.

348

【分析】

(1)设DQ=x,CQ=y,则/+丁=4,进而利用均值不等式求出S^co的最大值，进而可求出结果；

⑵设球M的半径为R,MO,=x,0P=f(0W),结合图形可得炉=9+i以及以_3"然后根据r的

范围求出x的范围，进而可以求出/?的最值，从而求出结果.

【教师】

(1)设OQ=x,CQ=y,则x?+y2=4,

三棱锥P-DC。的体积V=；S--hp(%为点P到底面DCQ),

h=AD=2,=^xy<^-(x2+y2)=l,当且仅当x=y=艰时，等号成立，

p5AOC(?

197

所以V4：xlx2=；,故当x=y=0时，三棱锥尸-。。。的体积取得最大值

(2)

易知三棱锥P-OCQ的外接球球心M在线段0。1上.

设球M的半径为R,MO、=x,OP=t（0<t<］）,

在RMMOC中，MC?=MO；+CO；,即R2=d+i；

在必AMOP中，MP2=MO2+OP2,即R2=（2-X）2+/；

联立两式，可得4x-3=/，

3?5

又因为04rvl,所以0K4x—3vl,-<x<l,—<R2<2.

416

故当X时，R取得最小值W，三棱锥尸-OC。的外接球的体积取得最小值等.

24.（1）求一个棱长为正的正四面体的体积，有如下未完成的解法，请你将它补充完成.解：构造一个棱长

为1的正方体一我们称之为该四面体的“生成正方体”，如左下图：则四面体为棱长是

的正四面体,且有%面侬tea=匕£方体—匕?-祀8,一匕\-M4一—%-ACDJ=-

（2）模仿（1）,对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为%面体和七成平行六面体，

试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；

（3）如1图，一个相对棱长都相等的四面体（通常称之为等腰四面体），其三组棱长分别为石，岳，回，

类比（1）（2）中的方法或结论，求此四面体的体积.

【答案】（1）§；⑵%而体生成平行四面体；⑶2.

【分析】

（1）根据生成正方体的棱长计算出四面体4c用。的棱长，并根据割补法计算出四面体ACq。的体积；

（2）直接根据棱锥与棱柱的体积关系得到对应结论；

（3）根据条件得到“生成长方体”，结合条件计算出长方体的长宽高，由此可计算出四面体AC4R的体积.

【教师】

(1)因为构造的正方体棱长为1,所以面对角线长度为正,所以四面体为棱长是亚，

且%面体=匕£方体一%--匕一一

14c44AC41T4A4cA%-ACR

(2)*川面体="七成平行四面体；

(理由供参考：“生成平行六面体”由四面体和四个三棱锥组成，每个三棱锥的底面积等于

“生成平行六面体”的底面积的一半且高相等，所以三棱锥的体积等于“生成平行六面体”

体积的,，由此可得结果)

(3)类似(1),构造该四面体的“生成长方体”，

x2+y2=5x=\

设棱长分别为x，y，z,则有f+z'io,<y=2

z2+y2=13z=3

则有％面体SA=V长方体一人CB)—匕-—%一与eq一%.ACA

=1x2x3--x4xlx2x3=2.

6

25.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5,该纸片上的等边三角形A8C的中心为。，点。，E,尸为圆O

上的点，ADBC,AEC4,AE4B分别是以BC,CA,A8为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以8C,

C4,A3为折痕折起ADBC,AEC4,AMB,使得。，E,尸重合于P,得到三棱锥尸-ABC.

(1)当48=4百时，求三棱锥P-A3C的体积；

(2)当AASC的边长变化时，三棱锥P-ABC的侧面和底面所成二面角为。，求的取值范围.

【答案】(1)4715(2)(0,5拘

【分析】

(1)先求斜高，再求高，最后根据锥体体积公式求结果；

(2)先根据二面角定义确定。，再用AABC的边长表示cos。，最后根据边长取值范围确定结果.

【教师】

在圆形纸片上连OF交AB与M,则M为AB中点,折后图形如下:其中「〃，丹氏。"_1/18/0，平面43。

(1)因为48=4道，所以0加=2,尸知=5-2=3，流0=,32—22=6,

匕-=gP0.Swcjx&*4后=4屈

(2)因为PM±ABQM±AB,所以NPM。为三棱锥p-A8C的侧面和底面所成二面角的平面角，即

/PMO=6

x

设4ABe的边长为x,贝ij0M=；,PM=5--^=:.cos0=2G=_%_

2,32，q-I0J3—1

2

由OM<PM^0<x<5y/3ABcos6>=—1—,(0<、<56)

10V3-X

设10G-x=f.〔AB-cos0-7r)2,(5^<r<10^)

...12^1-Vre(0,75^)AB-cos6»e(0,5向

yjt

【点睛】

本题考查二面角、锥体体积公式以及分式函数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.

26.如图，四棱锥P-4BC£>中，24，底面48。£),48,4。,8。//4。，点后在线段4£>上，且CE//AB.

(1)求证：。£，平面皿)；

(2)若PA=AB=1,AD=3,CD=O，求四棱锥P-ABCD的体积;

(3)若R4=AC=2,作尸B于尸，作AGLPC于G,NGAF=O,当。变化时，求三棱锥P—AFG体积的最

大值.

【答案】(1