高考数学一轮难题复习计数原理与概率统计典型解答题(学生版+解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习计数原理与概率统计典型解答题1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n称加法原理)．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0！＝1，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).5．二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.6．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.8．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件数m,基本事件总数n).(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)对立事件的概率计算公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．9．条件概率（1）条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)（2）条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．10．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).11．贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).12．离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为eq\r(DX).(5)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(6)相互独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B)．(7)独立重复试验的概率计算公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.例题1．已知函数.（1）指出的单调区间；（不要求证明）（2）若满足，且，求证：；（3）证明：当时，不等式对任意恒成立.例题2．已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.试卷第=page11页，共=sectionpages33页一轮难题复习计数原理与概率统计典型解答题1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n称加法原理)．2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0！＝1，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).5．二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.6．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递增的；当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.8．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件数m,基本事件总数n).(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)对立事件的概率计算公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．9．条件概率（1）条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)（2）条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．10．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－)))；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PBAi)＝eq\o(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai).11．贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝eq\f(PAPB|A,PB)＝eq\f(PAPB|A,PAPB|A＋P\o(A,\s\up6(－))PB|\o(A,\s\up6(－))).(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝eq\f(PAjPB|Aj,PB)＝eq\o(\f(PAjPB|Aj,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))PAiPB|Ai)).12．离散型随机变量(1)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.(2)期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(3)期望的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(4)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为eq\r(DX).(5)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X)；②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．(6)相互独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝P(A)P(B)．(7)独立重复试验的概率计算公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n