2025届山东省青岛市第二中学数学高三第一学期期末预测试题含解析

2025届山东省青岛市第二中学数学高三第一学期期末预测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B． C． D．2．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）A． B． C． D．3．已知等比数列满足，，等差数列中，为数列的前项和，则（）A．36 B．72 C． D．4．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知复数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．66．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为()A． B．0 C． D．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．8．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．19．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，则等于（）A． B．C． D．11．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（）A． B． C． D．12．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为______________．14．已知函数为奇函数，则______.15．已知关于空间两条不同直线m、n，两个不同平面、，有下列四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若，且，则.其中正确命题的序号为______.16．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.18．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求与的回归直线方程；②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值参考数据和公式：，19．（12分）已知满足，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下：等级不合格合格得分频数624（1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；（2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；（3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望．22．（10分）已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得．故选：D．【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．2、C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．3、A【解析】

根据是与的等比中项，可求得，再利用等差数列求和公式即可得到.【详解】等比数列满足，，所以，又，所以，由等差数列的性质可得.故选：A【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.4、B【解析】

画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围.【详解】由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是.故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.5、B【解析】

设，，利用复数几何意义计算.【详解】设，由已知，，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故.故选：B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.6、D【解析】

运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7、A【解析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.8、A【解析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.9、C【解析】

由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.10、B【解析】

求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.11、C【解析】

根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.【详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12、D【解析】

设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

连续掷两次骰子共有种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解【详解】由题意知，连续掷两次骰子共有种结果，而满足条件的结果为：共有11种结果，根据古典概型概率公式，可得所求概率．故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.14、【解析】

利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数，则，即，，整理得，解得.当时，真数，不合乎题意；当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.15、③④【解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断．【详解】①若且，的位置关系是平行、相交或异面，①错；②若且，则或者，②错；③若，设过的平面与交于直线，则，又，则，∴，③正确；④若，且，由线面垂直的定义知，④正确．故答案为：③④．【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础．16、【解析】

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【详解】解：（1）由题意知甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为.众数为330.（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则当时，当时，当时，当时，当时，的分布列为204219228273291（元）；（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元)由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为(元).【点睛】本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.18、（1）见解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.【详解】解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列为期望为（2）因为所以，，；②，设，所以当递增，当递减所以约惠值最大值时的值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.19、见解析【解析】

选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.【详解】选择①时：,，故.根据正弦定理：，故，故.选择②时，，，故，为钝角，故无解.选择③时，，根据正弦定理：，故，解得，.根据正弦定理：，故，故.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）见解析；（2）【解析】

(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：如图,取的中点,连接.又为的中点,则是的中位线.所以且.又且,所以且.所以四边形是平行四边形.所以.因为,为的中点,所以.因为,所以.因为平面,所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为,所以点.则.设平面的法向量为,由,得,令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；设二面角的大小为,则.故二面角的余弦值是.【点