2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数【课件】

第2课时分段函数分段函数1.分段函数的定义如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.2.分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.微练习

答案:A

微拓展几种常见的分段函数如下.取整函数:如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数).分段函数的求值

(2)若f(x)=2,求x的值.延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).分段函数的图象例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(2)y=|x+1|+|x-3|.分析先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.答案:C

解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A、B;当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.根据分段函数图象求解析式例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为

.

∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3).变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为

.

解析:∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得分段函数在实际中的应用例4某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N+.y<y(20)<y(15)=125.所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.反思感悟

分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个汽车站；(包括起点站和终点站),求票价y(元)关于路程x(千米)的函数解析式,并画出图象.解:设票价为y元,里程为x千米,根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.分段函数的理解与应用典例如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7cm,腰长为2cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=xcm,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2

cm,所以BG=AG=DH=HC=2

cm.又BC=7

cm,所以AD=GH=3

cm.函数图象如图所示.反思感悟求实际问题的函数解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量的等式,除此之外还需要考虑问题的实际意义,对于分段函数图象,作图时,要注意端点的取舍,遵循定义域优先的原则.A.0 B.π C.π2

D.9答案:B

解析:f(f(-3))=f(0)=π.答案:C

3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与路程x(千米)之间的函数关系式是