2020-2021学年人教版高二年级上册册数学期末数学试卷带答案

2020-2021学年高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.）

1.设集合4={x|（x-7）（x+12）<0},B={x\x+6>0},则4nB=（）

A.{x|-6<x<12}B.{x|-6<x<7}C.{x|x>—12}D.{%|6<x<7}

2.“四边形4BCD是菱形"是"四边形48CD的对角线互相垂直，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.双曲线一一4y2=-8的渐近线方程为（）

c,i

A.y—±2xB.y—±~xC.y—+V2xD.y=±yx

4.“一尺之日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子・天下篇》，其意思为"一根一尺

长的木槐，每天截取其一半，永远都取不完设第一天这根木植被截取一半剩下四尺,

第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则

a5一（）

A.18B.20C.22D.24

5.已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2,则C的方程可能为（）

A.y2=4%B.y2=-3xC.x2=6yD.y=-8x2

6.如图，在正方体ZBCC—aB1C1D1中，E为8当的中点，若。为底面的中心,

则异面直线GE与4。所成角的余弦值为（）

22

7.P为椭圆C：卷=1上一动点，&,尸2分别为左、右焦点，延长&P至点Q,使得

|PQ|=IPFzl，则动点Q的轨迹方程为()

A.(x+2)2+y2=34B.(x+2)2+y2=68C.(x—2)2+y2=34

D.(x—2)2+y2=68

8.如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在4处的俯角为30。，该小车在公

路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45。.已知小车的速度是

20km/h,且cos乙4OB=-延，则此山的高P0=()

8

A.l/cmB.—kmC.^SkmD.V2/cm

2

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.）

9.设命题p:VneN,6n+7为质数，则（）

A.-ip为假命题B.-ip:3nGN,6n+7不是质数

C.-ip为真命题D.-ip:VneN,6n+7不是质数

10.设Sn是等差数列｛即｝的前般项和，且%=2,a3=8,则（）

A.a5=12

B.公差d=3

C.S2n=n（6n+1）

D.数列的前n项和为34

lanan+1J6n+4

11.已知且Q+3b=1,则（）

A.ab的最大值为点B.ab的最小值为高

C.i+［的最小值为16D.a2+15b2的最小值为J

ab8

12.已知椭圆Q总+y2=i的左、右顶点分别为4B,点P为。上一点，且P不在坐标

试卷第2页，总13页

轴上，直线4P与直线y=-3交于点C,直线BP与直线y=-3交于点D.设直线4P的斜

率为匕则满足|CD|=36的k的值可能为()

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线

上.)

13.设向量/=(1,2,4),CD=ABLCD,则实数m=.

14.若双曲线营-丝=1的虚轴长为6&，则该双曲线的离心率为

6m---------------

15.在△2BC中，若B=ptanC=2遮，AC=2,则28=.

16.已知点P(m,n)是抛物线/=-8y上■—动点，则Um?+n2+4n+4+

Vm2+n2-4m+2n+5的最小值为.

四、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步

骤.)

17.△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知炉+c?-a?=Jbc,sinC=

8

2sinB.

(1)求cos/；

(2)若△ABC的周长为6+同，求△ABC的面积.

18.如图，在直三棱柱ABC—ABiG中，AC1BC,AC=AAy=2BC,E,尸分别为侧

棱BBi，CG的中点.

(1)证明：BF〃平面&GE;

(2)求BiC与平面4GE所成角的正弦值.

19.已知数列｛斯｝的首项为4.

(1)若数列271｝是等差数列，且公差为2,求｛a“｝的通项公式;

(2)在①&3—0.2~48且a2>01=64且。4>0，^3)ci202i=16a2a2017这二个条

件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.

问题：若｛即｝是等比数列，，求数列｛(3n—l)an｝的前n项和

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

20.如图，平面4BCDE1平面CEFG,四边形CEFG为正方形，点8在正方形4CDE的外

部，且AB=BC=瓜AC=4.

(1)证明：AD1CF-.

(2)求平面BFG与平面2BCDE所成锐二面角的余弦值.

丫2

21.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与双曲线^^一丫？=1有相同的焦点F.

(1)求C的方程，并求其准线，的方程;

(2)如图，过尸且斜率存在的直线与C交于不同的两点4(Xi，yD，S(x2,y2),直线04与准

线/交于点N,过点4作，的垂线，垂足为M.证明：为丫2为定值，且四边形为梯

形.

试卷第4页，总13页

22.已知椭圆C：圣+\=l(a>b>0)的离心率为雪，且焦距为8.

(1)求C的方程；

(2)设直线，的倾斜角为或且与C交于4,B两点，点。为坐标原点，求AAOB面积的最

大值.

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】

B

【解析】

可求出集合4B,然后进行交集的运算即可.

2.

【答案】

A

【解析】

利用充分条件和必要条件的定义，结合平面几何知识进行判断，即可得到答案.

3.

【答案】

B

【解析】

根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及或b的值，利

用双曲线的渐近线方程计算可得答案.

4.

【答案】

D

【解析】

设这根木梗的长度为1尺，分别计算每一次截取的量可得剩余的量，可得答案.

5.

【答案】

C

【解析】

利用已知条件推出p>2,然后判断选项的正误即可.

6.

【答案】

D

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量夹角计算公式即可得出.

7.

【答案】

B

【解析】

由椭圆的方程求出a,b,c的值，由此可得IPF/+IPF2I=2a=2VT7,再由已知可

|QFi|=2V17,进而可以求解.

8.

【答案】

A

【解析】

试卷第6页，总13页

设。P=x,由题意可得：Rt△OBP^,NPBO=45。；在RtAOAP中，/LPAO=30°,即

7.5

可得出OB,OA.AB=60x20=2.5.在AOAB中，利用余弦定理即可得出.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.

【答案】

B,C

【解析】

先判断命题p为真命题，然后利用含有一个量词的命题的否得到「p,利用命题的否定

与原命题的真假相反得到答案.

10.

【答案】

B,C,D

【解析】

本题先设等差数列｛。工的公差为d,根据已知条件即可计算出d的值，判断选项8,然

后根据通项公式计算出as的值，判断选项4,再根据等差数列的求和公式计算出S2n的

表达式，判断选项C,最后计算出等差数列包工的通项公式，进一步计算出数列

｛&!12什1｝的通项公式，运用裂项相消法计算出数列｛4112什1｝的前几项和，判断

选项D.

11.

【答案】

A,C,D

【解析】

根据基本不等式的性质分别判断4B,C,根据二次函数的性质判断。即可.

12.

【答案】

A,D

【解析】

设出点P的坐标，求出直线P4PB的斜率的乘积，然后再设出直线P4P8的方程，

进而可以求出点C,。的横坐标，进而可以求出|CD|,即可求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线

上.

13.

【答案】

-6

【解析】

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得小的值.

14.

【答案】

2

【解析】

利用双曲线的虚轴长，求解匕，然后求解c,即可求解离心率.

15.

【答案】

8\/13

13

【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据正弦定理即可求解的

值.

16.

【答案】

3

【解析】

抛物线的准线为y=2,焦点F坐标为(0,-2),

Ym2+n2+4n+4Wm?+n2-4m+2n+5表示点p(m,2与点尸(o,—2)的距离

与点P(zn,n)与点4(2,-1)的距离之和，由抛物线的定义和两点之间线段最短可得最小

值，进而可得结论.

四、解答题.本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤.

17.

【答案】

解:(1)/b2+c2-a2=-be,

.4b2+c2-a2淞s

.・cos>l=-----------=--=——.

2bc2bc16

(2),.,sinC=2sinB,

c—2b.

由余弦定理，得Cl?=+©2-2bcCOsA=受力2,

4

.Vis,

..CL=­b.

2

•••△ABC的周长为6+同,

3b+半b=6+同,

解得b=2,

S3ABe=知csinA=：xbx2bjl-舄产

V231

x2x4x

16

—•

4

【解析】

(1)由已知利用余弦定理即可求解cos力的值.

(2)由已知利用正弦定理化简可得c=2b,由余弦定理得a=^b,根据△ABC的周

长，可求b的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解.

18.

【答案】

试卷第8页，总13页

(1)证明：在三棱柱ABC—4BiG中，

VBBi=CCi，BB[〃CC\,E,F分别为侧棱B/,CC]的中点,

BE//FG，BE=FC。

.1,四边形BECiF是平行四边形，

BF//ECX.

■-GEu平面&GE,BFC平面&QE,

BF〃平面&GE.

(2)解：以C为坐标原点，入的方向为x轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,

设BC=1,

则4(2,0,2),G(0,0,2),E(0,l,l),Bi(0,1,2),C(0,0,0),

G4=(2,0,0),Eg=(0,-1,1)，CBi=(0,1,2).

设平面AGE的法向量为蔡=(x,y,z),

TT

则n•QAi=2x=0,

n-EC1=-y+z=0,

令y=l,得n=(0,1,1),

则sin<CB]•TI>=|cosVCB^,n>|=/&=,

故BiC与平面&QE所成角的正弦值为誓.

【解析】

(1)推导出BE』=GF,从而四边形BEC#是平行四边形，进而BF〃EC「由此能证

明BF〃平面&GE.

(2)以C为原点，CA为工轴，C8为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出昆。与平面4GE所成角的正弦值.

19.

【答案】

解：(1)因为的=4,

所以的-2=2.

因为数列｛的,-271｝是等差数列，且公差为2,

所以a”—2n=2+2(n—1)=2n>

所以斯=2n+2n.

(2)选①：。3—a?=48且a2>0;

由题意，设数列的公比为勺・

由(13—&2=48,得4q2-4q=48,

解得q=4或q=-3,

又。2>°，

所以q=4.

所以即=4x4“T=471,

n

所以(3n—1)0n=(3n—l)4,

所以%=2x4+5x42+…+(3n—1)x小，

23n+1

4Sn=2X4+5X4+-+(3n-1)x4,

2nn+1

两式相减,得一3Sn=8+3(4+43+•••+4)-(3n-l)4,

即-3S“=8+3X+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以％=所-2)：…+8.

选②：a3=64且6X4>0；

由题意，设数列｛a"的公比为q.

由(23=64,得4q2=64,

解得q=±4,

又Cl2>0,

所以q=4.

所以即=4x4"-1=4n,

n

所以(3n—1)0n=(3n-l)4.

所以%=2x4+5x42+-+(3n-1)x4n,

45.=2x42+5x43+…+(3n-1)x4n+1,

两式相减，得一3Sn=8+3(42+43+…+4n)-(3n-l)4n+1,

即-3S"=8+3x4：：：'+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以％=所2):+8

选③：a2021=16a2a2017；

由题意，设数列｛an｝的公比为q.

由。2021=16a2a2017，得“2021=16。1。2018=64。2018，

则q3=64,

解得q=4,

所以an=4x4九-1=空，

n

所以(3几-l)an=(3n-l)4.

所以Sn=2x4+5x42+…+(3九一1)x4〃，

n+1

4szi=2x42+5x43+…+(3n-1)x4,

2nn+1

两式相减，得—3Sn=8+3(4+4，+…+4)—(3n—l)4,

即一3Sn=8+3X+(1-3n)4n+1=(2-3n)4n+1-8,

所以Sra=(37：+8.

【解析】

试卷第10页，总13页

—叫

(1)直接利用已知条件求出数列InJJ的通项公式，再得到｛a"的通项公式;

(2)根据条件分别求出数列的通项公式，然后利用错位相减法，求出数列｛(3n-

1)L｝的前n项和.

20.

【答案】

(1)证明：・•・四边形4C0E为正方形，

AD1CE.

■：平面4BCDE_L平面CEFG,平面4BC0En平面CEFG=CE,

AD1平面FECG.

又CFu平面尸ECG,

AD1CF.

(2)解：以C为坐标原点，而的方向为x轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

1,"AB=BC=V5,AC=4,

点B到AC的距离为1,

G(0,0,4®,F(4,4,4©,B(-1,2,0),

GF=(4,4,0),BG=(1,-2,4V2).

设平面BFG的一个法向量为1=(x,y,z),

则/后=二薪=0,

即4%+4y=x—2y+4az=0,

令y=4^2,得1=(-4V2,4V2,3).

取益=(0,0,1)为平面4BCDE的一个法向量,

mn33\/73

cos(m,n)=

平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为鸳.

【解析】

(1)由四边形4CDE为正方形，可得4。1CE,再由面面垂直的性质可得4。1平面

FECG,从而得到4DJ.CF；

(2)以E为坐标原点，建立空间直角坐标系4-xyz,利用向量法能求出平面BFG与平

面4BCDE所成锐二面角的余弦值.

21.

【答案】

(1)解：；双曲线?一y2=1的右焦点为“2,0),

卫=2,

2

解得p=4,

C的方程为y2=8x,其准线，的方程为x=-2.

(2)证明：由题意可知，直线4B过点尸且斜率存在,

设直线48的方程为y=fc(x-2)(k*0),

联立”牛.2)，

U=8x,

整理，-8y-16fc=0,

则』=64+64k2>0恒成立，

—16ky/

=一16，

故为〉2为定值.

由题意，得点N在准线［上，设点N(—2,m),

^k=k得瓷=g

0A0N9xi一/

T716

又二yi=

—yi，

.E2月2为16

..m=----=----T~=------

与Z1%

8

BN"x娴"AM.

又；xx^x2,\AM\^\BN\,

,1,四边形力MNB为梯形.

【解析】