猜想08锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练）

猜想08锐角三角函数（易错必刷30题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义（共4小题）二．同角三角函数的关系（共2小题）三．特殊角的三角函数值（共5小题）四．解直角三角形（共4小题）五．解直角三角形的应用（共2小题）六．解直角三角形的应用仰角俯角问题（共9小题）七．解直角三角形的应用方向角问题（共4小题）一．锐角三角函数的定义（共4小题）1．（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A． B． C． D．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．2．（2022秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cosA＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2022秋•城关区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∠B的余弦值为．【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，CB＝5，∴cosB＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．（2022秋•济南期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinB＝．【分析】先根据已知条件，得出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出本题的答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinB＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据锐角三角函数的定义找出相应的对应边是解题的关键．二．同角三角函数的关系（共2小题）5．（2022秋•西安期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，则tanA＝（）A． B． C． D．【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝5，然后利用勾股定理求出AC＝4，最后利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝＝＝5，∴AC＝＝＝4，∴tanA＝＝，故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（2022秋•兴化市期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值为（）A． B． C． D．2【分析】先利用正切的定义得到tanA＝＝2，则设AC＝x，BC＝2x，利用勾股定理表示出AB＝x，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：如图：∵∠C＝90°，∴tanA＝＝2，设AC＝x，则BC＝2x，∴AB＝＝x，∴sinA＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．三．特殊角的三角函数值（共5小题）7．（2022秋•云州区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值，判断即可．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝60°，故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．（2022秋•郑州期末）若sin（x+15°）＝，则锐角x＝45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：∵sin（x+15°）＝，∴x+15°＝60°，解得：x＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（2022秋•永定区期末）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cosA＝，tanB＝1，则∠C＝105°．【分析】根据特殊角的三角函数值可得∠A＝30°，∠B＝45°，然后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，故答案为：105°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．10．（2022秋•甘井子区校级期末）cos45°tan45°＝1．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．【解答】解：cos45°tan45°＝××1＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．11．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算，即可解答．【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．四．解直角三角形（共4小题）12．（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【分析】根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，从而在Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义即可求出cos∠BAD＝，即可判断D．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合题意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合题意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．13．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝4，则AC＝4．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后在Rt△ADC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝AB•sin45°＝4×＝2，在Rt△ADC中，∠ACB＝30°，∴AC＝2AD＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（2022秋•烟台期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则tanB＝．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数是定义进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AB2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，CB2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝，AB＝2，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（2022秋•桐柏县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，．则sin∠DBE的值为．【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB＝50，从而利用勾股定理求出BC＝40，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝AB＝25，再利用面积法求出CF＝24，从而在Rt△CDF中，利用勾股定理求出DF＝7，进而利用锐角三角函数的定义求出sin∠DCF的值，最后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠DCF，即可解答．【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝30，，∴AB＝＝＝50，∴BC＝＝＝40，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝25，∵△ABC的面积＝AB•CF＝AC•CB，∴AB•CF＝AC•CB，∴50CF＝30×40，∴CF＝24，在Rt△CDF中，DF＝＝＝7，∴sin∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．五．解直角三角形的应用（共2小题）16．（2022秋•承德县期末）消防车是救援火灾的主要装备．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面的高度AE为4米．（1）当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE＝120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米．（2）某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）【分析】（1）过点A作AG⊥CF，垂足为F．先在Rt△AGC中求出CG，再利用直角三角形的边角间关系求出CF；（2）先计算当AC长30米、∠CAE＝150°时救援的高度，再判断该消防车能否实施有效救援．【解答】解：（1）如图，过点A作AG⊥CF，垂足为F．由题意知：四边形AEFG是矩形．∴FG＝AE＝4米，∠EAG＝∠AGC＝∠AGF＝90°．∵∠CAE＝120°，∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝30°．在Rt△AGC中，∵sin∠CAG＝，AC的长度为24米，∴CG＝AC×sin30°＝24×＝12（米）．∴CF＝CG+GF＝4+12＝16（米）．答：云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为16米；故答案为：16；（2）如图，过点C作CH⊥AE，交EA的延长线于点H．当AC＝30米，∠CAE＝150°时，∠HAC＝30°．在Rt△AHC中，∵cos∠HAC＝，∴AH＝cos∠HAC×AC＝cos30°×30＝×30＝15≈1.7×15＝25.5（米）．∴HE＝AE+AH＝4+25.5＝29.5（米）．由题意知，四边形HEFC是矩形，∴CF＝HE＝29.5米，∵29.5＞26，∴该消防车能够实施有效救援．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系及线段的和差关系是解决本题的关键．17．（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC与AB的张角为α，为保证安全，α的调整范围是30°≤a≤60°，BC为固定张角α大小的绳索．（1）求绳索BC长的最大值．（2）若α＝40°时，求桑梯顶端D到地面BC的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后结果精确到0.01米）【分析】（1）根据题意可得：当∠BAC＝α＝60°时，绳索BC的长最大，然后根据已知易得△ABC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得BC＝AB＝AC＝1.5米，即可解答；（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝70°，再根据已知可得DC＝2.7米，然后在Rt△DEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：当∠BAC＝α＝60°时，绳索BC的长最大，∵AB＝AC＝1.5米，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝1.5米，∴绳索BC长的最大值为1.5米；（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，∴∠DEC＝90°，∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∵AD＝1.2米，∴DC＝AD+AC＝2.7（米），在Rt△DEC中，DE＝DC•sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），∴桑梯顶端D到地面BC的距离约为2.54米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．六．解直角三角形的应用仰角俯角问题（共9小题）18．（2023春•怀化期末）如图，为了测量古塔的高，小明在点A测得看古塔顶点C处的仰角为30°，然后向古塔方向前进到40米的点B处测得古塔顶点C的仰角是60°，A、B、D在同一直线上，那么古塔CD的高是34.6米．（≈1.414，≈1.732，结果保留一位小数）【分析】根据题意可得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠A＝∠ACB＝30°，从而可得AB＝BC＝40米，最后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：CD⊥AD，AB＝40米，∠A＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝30°，∴∠A＝∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝40米，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝40×＝20≈34.6（米），∴古塔CD的高约为34.6米，故答案为：34.6．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．19．（2022秋•宜宾期末）如图，斜坡OM的坡角∠MON＝30°，在坡面B处有一棵树BA，小彭在坡底O处测得树梢A的仰角为45°，沿坡面OM上行30米到达D处，测得∠ADB＝30°．（1）求DA的长；（2）求树BA的高度（结果保留根号）．【分析】（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，从而可得∠AOD＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠OAD＝15°，然后利用等角对等边即可解答；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，从而利用平行线的性质可得∠BDH＝∠MON＝30°，进而可得∠ADH＝60°，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出AH，DH的长，再在Rt△BDH中，利用锐角三角函数的定义求出BH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AON＝45°，OD＝30米，∵∠MON＝30°，∴∠AOD＝∠AON﹣∠MON＝45°﹣30°＝15°，∵∠ADB是△AOD的一个外角，∴∠OAD＝∠ADB﹣∠AOD＝15°，∴∠AOD＝∠OAD＝15°，∴OD＝AD＝30米，∴DA的长为30米；（2）过点D作DH∥ON，交AB的延长线于点H，∴∠BDH＝∠MON＝30°，∵∠ADB＝30°，∴∠ADH＝∠ADB+∠BDH＝60°，由题意得：∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，AD＝30米，∴AH＝AD•sin60°＝30×＝15（米），DH＝AD•cos60°＝30×＝15（米），在Rt△BDH中，BH＝DH•tan30°＝15×＝5（米），∴AB＝AH﹣BH＝15﹣5＝10（米），∴树BA的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（2022秋•大连期末）数学兴趣小组测量建筑物AB的高度．如图，在建筑物AB前方搭建高台CD进行测量．高台CD到AB的距离BC为6米，在高台顶端D处测得点A的仰角为40°，测得点B的俯角为30°．（1）填空：∠ADB＝70°；（2）求建筑物AB的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73）【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；（2）根据题意可得：DE＝BC＝6米，然后分别在Rt△ADE和Rt△DEB中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得：∠ADE＝40°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝40°+30°＝70°，故答案为：70；（2）由题意得：DE＝BC＝6米，在Rt△ADE中，∠ADE＝40°，∴AE＝DE•tan40°≈6×0.84＝5.04（米），在Rt△DEB中，∠BDE＝30°，∴BE＝DE•tan30°＝6×＝2≈3.46（米），∴AB＝AE+EB＝5.04+3.46≈9（米），∴建筑物AB的高度约为9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】根据题意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BC，CD的长，最后根据BD＝10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，∴DC＝AC•tan45°＝AC，在Rt△ABC中，∠BAC＝53°，∴BC＝AC•tan53°≈1.33AC，∵BD＝10.6米，∴BC﹣CD＝10.6，∴1.33AC﹣AC＝10.6，∴AC≈32.1米，∴此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（2022秋•碑林区校级期末）某市在地铁施工期间，相关部门在施工路段设立了矩形安全警示牌ABCD（如图所示），小东同学在距离安全警示牌8米（EF的长）远的建筑物上的窗口P处，测得安全警示牌顶端A点和底端B点的俯角分别是30°和45°，求安全警示牌宽AB的值．（结果保留根号）【分析】延长BA交PH于点G，根据题意可得：EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，在Rt△PAG中，利用锐角三角函数的定义求出GA的长，再在Rt△PGB中，利用锐角三角函数的定义求出GB的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：如图：延长BA交PH于点G，由题意得：EF＝PG＝8米，∠PGA＝90°，在Rt△PAG中，∠GPA＝30°，∴AG＝PG•tan30°＝8×＝（米），在Rt△PGB中，∠GPB＝45°，∴GB＝PG•tan45°＝8×1＝8（米），∴AB＝GB﹣GA＝（8﹣）米，∴安全警示牌宽AB的值为（8﹣）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（2022秋•槐荫区期末）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，求MN的长．（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）【分析】根据题意可得：∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，然后在Rt△AON中，利用锐角三角函数的定义求出NO的长，再利用线段的和差关系求出BO的长，最后在Rt△MBO中，利用锐角三角函数的定义求出MO的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：∠ANO＝43°，∠BMO＝35°，AO⊥MN，在Rt△AON中，AO＝135m，∴ON＝≈＝150（m），∵AB＝40m，∴BO＝AO﹣AB＝95（m），在Rt△MBO中，MO＝≈≈135.7（m），∴MN＝NO+MO＝150+135.7≈286（m），∴MN的长约为286m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．24．（2023春•零陵区期末）2023年“水州陆港杯”中国龙舟公开赛（湖南一水州站）在冷水滩潇湘平湖举行，为确保此次龙舟竞赛水域安全，特别是谨防青少年在观赛时溺水，某单位在一处观赛台后方小山坡上竖立了“防溺水”宣传牌．小刚为了测得宣传牌的高度，他站在山坡底端C处，测得宣传牌顶端A的仰角∠DCA＝45°，然后小刚从山坡底端C沿着倾斜角为30°的斜坡走了20米，到达E处平台，与宣传牌底端B水平，此时测得宣传牌顶端A的仰角∠BEA＝60°，求“防溺水”宣传牌的高度．【分析】延长AB交CD于点F，根据题意可得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，然后在Rt△EDC中，利用含30度角的直角三角形性质求出DE和CD的长，再设BE＝DF＝x米，则CF＝（x+10）米，最后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AF的长，再在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：延长AB交CD于点F，由题意得：AF⊥CF，ED⊥CD，BF＝DE，BE＝DF，在Rt△EDC中，CE＝20米，∠DCE＝30°，∴DE＝CE＝10（米），CD＝DE＝10（米），∴BF＝DE＝10米，设BE＝DF＝x米，∴CF＝DF+CD＝（x+10）米，在Rt△ABE中，∠AEB＝60°，∴AB＝BE•tan60°＝x（米），∴AF＝AB+BF＝（x+10）米，在Rt△AFC中，∠ACF＝45°，∴AF＝CF•tan45°＝（x+10）米，∴x+10＝x+10，解得：x＝10，∴AB＝x＝10（米），∴“防溺水”宣传牌的高度为10米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．（2022秋•商河县期末）如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m）（1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD．（2）求旗杆的AC高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】（1）在Rt△DEG中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据题意可得：DB＝32m，则EH＝GB＝48m，然后在Rt△CEH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m，∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12（m），DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16（m），∴斜坡ED的铅直高度EG约为12m，水平宽度GD约为16m；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，由题意得：DB＝32m，∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m），在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，∴CH＝EH•tan30°＝48×＝16（m），∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m），∴旗杆的AC高度约为2.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26．（2022秋•北碚区校级期末）如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3：2的扶梯AB，扶梯总长为米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC、DE两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平台CD形成的∠ACD为135°，从E点看D点的仰角为30°，AC段扶梯长20米．（参考数据：，）（1）求点A到BE的距离．（2）DE段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）【分析】（1）过点A作AF⊥EB，垂足为F，根据已知可设AF＝3x米，则BF＝2x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AB＝x米，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）延长DC交AF于点G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：DG⊥AG，DH＝GF，再利用平角定义可得∠ACG＝45°，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出DH，FG的长，最后在Rt△DEH中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AF⊥EB，垂足为F，∵扶梯AB的坡度为3：2，∴＝，∴设AF＝3x米，则BF＝2x米，在Rt△ABF中，AB＝＝＝x（米），∵AB＝10米，∴x＝10，∴x＝10，∴AF＝3x＝30（米），∴点A到BE的距离为30米；（2）延长DC交AF于点G，过点D作DH⊥EF，垂足为H，由题意得：DG⊥AG，DH＝GF，∵∠ACD＝135°，∴∠ACG＝180°﹣∠ACD＝45°，在Rt△ACG中，AC＝20米，∴AG＝AC•sin45°＝20×＝10（米），∵AF＝30米，∴DH＝GF＝AF﹣AG＝（30﹣10）米，在Rt△DEH中，∠DEH＝30°，∴DE＝2DH＝60﹣20≈31.8（米），∴DE段扶梯长度约为31.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．七．解直角三角形的应用方向角问题（共4小题）27．（2023春•桥西区期末）学校在小明家南偏东30°方向上，距小明家6km，以小明家所在位置为坐标原点建立直角坐标系，1km为一个单位长度，则学校所在位置的坐标为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在Rt△AOB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AB和OB的长，即可解答．【解答】解：如图：过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在Rt△AOB中，AO＝6km，∠AOB＝30°，∴AB＝AO＝3（km），OB＝AB＝3（km），∴点A的坐标为（3，﹣3），∴学校所在位置的坐标为（3，﹣3），故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．28．（2023春•厦门期末）如图所示的四边形ABCD是正在建设的某景区示意图，A—B—C—D—A是环绕景区的道路，点D在点A的北偏西45°方向，点B在点A的正东方向，点C在点B的正北方向，经测量AD＝2km，AB＝1km．设计单位计划在该景区内修建一个观景平台P，并铺设若干条小路连接景区道路．其中点P在点A的正北方向，在点D的正东方向．（1）求AP的长度；（2）延长DP与BC交于点E，测得CE＝2km，设计单位设计了两种铺设小路的方案：方案1：铺设小路DE和AP；方案2：铺设小路CP和AP．要使得铺设小路的总长度更短，应选择哪种铺设方案，并说明理由．【分析】（1）根据题意可得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，然后在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，即可解答；（2）在Rt△ADP中，利用锐角三角函数的定义求出DP的长，然后根据题意可得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE＝AB＝1km，AP＝BE＝km，从而可得DE＝（+1）km，再在Rt△CPE中，利用锐角三角函数的定义求出CP的长，最后分别求出方案一和方案二铺设小路的总长度，比较即可解答．【解答】解：（1）由题意得：AP⊥DP，∠DAP＝45°，在Rt△ADP中，AD＝2km，∴AP＝AD•cos45°＝2×＝（km），∴AP的长度为km；（2）要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二，理由：在Rt△ADP中，AD＝2km，∠DAP＝45°，∴DP＝AD•sin45°＝2×＝（km），由题意得：DE⊥BC，AB⊥BC，PE＝AB＝1km，AP＝BE＝km，∴DE＝DP+PE＝（+1）km，在Rt△CPE中，CE＝2km，∴CP＝＝＝（km），∴方案一：DE+AP＝+1+＝（2+1）km；方案二：CP+AP＝（+）km，∵（2+1）km＞（+）km，∴要使得铺设小路的总长度更短，应选择铺设方案二．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．29．（2023春•丰都县期末）在奥林匹克运动的故乡古希腊，奥林匹亚阿尔菲斯河岸的岩壁上保留着古希腊人的一段格言：“如果你想聪明，跑步吧!如果你想强壮，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人对聪明、强壮、健康的奔跑追求，至今仍然在爱跑步的人群中得到传承．跑步已经成为一种大众化运动，越来越多的人从跑步中受益．如图，四边形ABCD是一个环湖公园的步行道，AB＝AD＝4km，B在A正东方；C在D正东方，D在A的东北方，C在B北偏东60°方向．（1）求BC的长度（结果保留根号）；（2）小强和小刚同时从A出发，小强沿A→D→C方向跑，小刚沿A→B→C方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点C？（参考数据：，【分析】（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点