江西省吉安一中北师大版高中数学选修2-1教案第三章圆锥曲线复习

第三章圆锥曲线复习考点一圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如：(1)在求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决．例1.设F1、F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．练习1．已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过点M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1(x＞1)B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x＜－1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x＞0)D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x＞1)考点二圆锥曲线简单性质的应用有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．例2.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为eq\f(b,\r(7))，求椭圆的离心率e.练习2．已知椭圆eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和双曲线eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±eq\f(\r(15),2)yB．y＝±eq\f(\r(15),2)xC．x＝±eq\f(\r(3),4)yD．y＝±eq\f(\r(3),4)x考点三直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定：直线l：f(x，y)＝0和曲线C：g(x，y)＝0的公共点坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，y＝0，,gx，y＝0))的解，l和C的交点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l和C的交点问题转化为代数的问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，尤其在双曲线中要注意渐近线的特殊性．2．弦长公式：(1)斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2·[x1＋x22－4x1x2])或当k存在且不为零时，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，(其中x1＋x2、x1x2(或y1＋y2、y1y2)根据根与系数的关系求得)．(2)抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的弦长|AB|＝x1＋x2＋p.例3.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)．①若|AB|＝eq\f(4\r(2),5)，求直线l的倾斜角；②若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且eq\o(QA,\s\up12(→))·eq\o(QB,\s\up12(→))＝4，求y0的值．练习3．在抛物线y2＝16x内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在的直线的方程是________．考点四曲线方程的求法求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程，例4.设直线y＝ax＋b与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求P(a，b)的轨迹方程．练习4．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．考点五圆锥曲线中的最值与定值问题1.圆锥曲线中的最值问题(1)平面几何法：平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法：建立目标函数来解与圆锥曲线有关的最值问题是常规方法，其关键是选取适当变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式来求最值．2．圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题的证明可以运用函数的思想方法解决．其证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作为：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．例5如图所示，过抛物线y2＝2px的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A、B两点．(1)证明直线AB过定点；(2)求△AOB面积的最小值．练习5．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，B为椭圆短轴的一个顶点，过B点作椭圆的弦BM，求弦长的最大值．考点六数形结合思想解析几何的本质是用方程来研究平面几何，故既要考虑曲线的形，又要考虑表示曲线的数，利用数来解形的同时，要关注用形来助数．例6已知P(x0，y0)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切．练习6．曲线x2＋y2＝4与曲线x2＋eq\f(y2,9)＝1的交点个数为()A．1B．2C．3 D．4高考链接(全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＜0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))2．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.eq\f(\r(3),3)B．eq\f(2,3)C.eq\f(\r(2),2)D．13．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．4．(安徽高考)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为eq\f(\r(5),10).(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，