必修二课后作业第一章　立体几何初步131

空间几何体的表面积学习目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.知识点一直棱柱和正棱锥的表面积思考1直棱柱和正棱锥的特征是什么？答案直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面中心.思考2下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？答案S直棱柱侧面积＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.思考3下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正n棱锥的侧面面积公式吗？答案S正棱锥侧面积＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f(1,2)ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半.思考4如何求多面体的表面积？答案一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积.梳理(1)直棱柱的侧面积①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch.③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(2)正棱锥的侧面积①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.知识点二正棱台的表面积思考1什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？答案正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形.思考2如图是正四棱台的展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正n棱台的侧面面积公式吗？答案S正棱台侧面积＝eq\f(1,2)n(a＋a′)h′＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.思考3正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？答案可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出.棱台的表面积等于侧面积与底面积的和.梳理正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台.与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积思考1圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).思考2圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案底面周长是2πr，利用扇形面积公式得S侧＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).思考3圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？答案由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇环＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).梳理图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底＝2πr2侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)，表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)类型一求多面体的侧面积和表面积例1正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.解(1)如图所示，设O1、O分别上、下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC，连结C1F，则C1F为正四棱台的斜高.由题意知∠C1CO＝45°，CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝eq\f(\r(2),2)(b－a).在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝eq\f(\r(2),2)(b－a)，又EF＝CE·sin45°＝eq\f(1,2)(b－a)，∴C1F＝eq\r(C1E2＋EF2)＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)b－a))2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))2)＝eq\f(\r(3),2)(b－a).∴S侧＝eq\f(1,2)(4a＋4b)×eq\f(\r(3),2)(b－a)＝eq\r(3)(b2－a2).(2)∵S侧＝S底，S底＝a2＋b2，∴eq\f(1,2)(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝eq\f(a2＋b2,2a＋b).又EF＝eq\f(b－a,2)，∴h＝eq\r(h\o\al(2,斜)－EF2)＝eq\f(ab,a＋b).引申探究若四棱台的高是12cm，两底面边长之差为10cm，表面积为512cm2，求底面的边长.解如图，设上底面边长为xcm，则下底面边长为(x＋10)cm，在Rt△E1FE中，EF＝eq\f(x＋10－x,2)＝5(cm).∵E1F＝12cm，∴斜高E1E＝13cm.∴S侧＝4×eq\f(1,2)(x＋x＋10)×13＝52(x＋5)，S表＝52(x＋5)＋x2＋(x＋10)2＝2x2＋72x＋360.∵S表＝512cm2，∴2x2＋72x＋360＝512，解得x1＝－38(舍去)，x2＝2.∴x2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2cm、12cm.反思与感悟(1)求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数.(3)棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积也可由大小棱锥侧面积作差得到.跟踪训练1已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高为3，求它的表面积.解如图，设PO＝3，PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2，∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE，∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))2＝PE2，∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12，S侧＝2S底＝2×12＝24，∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.类型二求旋转体的表面积例2圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2.(结果中保留π)答案1100π解析如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π×SA＝2π×10，所以SA＝20.同理可得SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)×AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2).故圆台的表面积为1100πcm2.引申探究若本例条件改为：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求圆台较小底面的半径.解设圆台较小底面的半径为r，则另一底面半径为3r，由题意知母线长l＝3，∵S侧＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7.反思与感悟(1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面.(2)解答旋转体的侧面积与表面积问题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积.(3)旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系.在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用.跟踪训练2若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2πcm，则圆锥的表面积为________cm2.答案3π解析因为底面圆的周长为2πcm，所以底面圆的半径为1cm，所以圆锥的底面积为πcm2，圆锥的侧面积为eq\f(1,2)×2×2π＝2π(cm2)，所以圆锥的表面积为3πcm2.类型三简单组合体的表面积例3牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01m2)解上部分圆锥体的母线长为eq\r(1.22＋2.52)m，其侧面积为S1＝π×eq\f(5,2)×eq\r(1.22＋2.52)(m2).下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8(m2).∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为S＝S1＋S2＝π×eq\f(5,2)×eq\r(1.22＋2.52)＋π×5×1.8≈50.05(m2).反思与感悟(1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用.(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有.跟踪训练3有两个相同的直棱柱，高为eq\f(2,a)，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.解两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2＋28.三棱柱有三种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2＋32；边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a2＋48.最小的是一个四棱柱，即24a2＋28<12a2＋48，即a2<eq\f(5,3)，又a>0，∴0<a<eq\f(\r(15),3).∴a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(15),3))).1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________.答案2π解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.2.已知一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________.答案4解析∵l＝eq\f(R＋r,2)，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.3.若正三棱锥的斜高是高的eq\f(2,3)eq\r(3)倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍.答案2解析∵eq\f(h′,h)＝eq\f(2\r(3),3)，eq\f(OM,h′)＝eq\f(\r(h′2－h2),h′)＝eq\r(1－\f(h2,h′2))＝eq\r(1－\f(1,\f(h′,h)2))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2).设底面边长为a，正三棱锥的侧面积为3·eq\f(1,2)h′a，正三棱锥的底面积为3·eq\f(1,2)·OM·a，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h′∶OM＝2，故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍.4.已知一个正四棱柱的对角线的长是9cm，表面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为________cm2.答案112或72解析设底面边长、侧棱长分别为acm、lcm，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋a2＋l2)＝9，,2a2＋4al＝144，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,l＝7))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,l＝3.))∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72(cm2).5.以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径.解如图所示，设圆柱底面圆的半径为R，高为h，则圆锥的底面半径为R，高为h，设圆锥母线长为l，则有l＝eq\r(R2＋h2). ①依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πRh＝6，,πRl＝5，)) ②由①②，得R＝eq\f(2\r(π),π)，即圆柱的底面半径为eq\f(2\r(π),π).1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).课时作业一、填空题1.正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(3),3)a，则此棱锥的侧面积为________.答案eq\f(\r(15),4)a2解析如图，在正三棱锥S—ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于点O，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝eq\r(\f(\r(3),3)a2＋\f(\r(3),6)a2)＝eq\f(\r(15),6)a，所以侧面积S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2.2.若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是________.答案4πS解析设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，r＝eq\r(\f(S,π)).又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S侧＝(2πeq\r(\f(S,π)))2＝4πS.3.正六棱台的上，下两底面的边长分别是1cm,2cm，高是1cm，则它的侧面积为________cm2.答案eq\f(9\r(7),2)解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm，下底长为2cm，高为正六棱台的斜高.又边长为1cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\f(\r(3),2)cm，边长为2cm的正六边形的中心到各边的距离是eq\r(3)cm，则梯形的高为eq\r(12＋\r(3)－\f(\r(3),2)2)＝eq\f(\r(7),2)(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(9\r(7),2)(cm2).4.圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则该圆锥的表面积为________.答案3π解析设圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.5.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________.答案160解析设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，所以leq\o\al(2,1)＝152－52，leq\o\al(2,2)＝92－52.又leq\o\al(2,1)＋leq\o\al(2,2)＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8，所以S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.6.一个长方体的长，宽，高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________.答案3解析由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.答案1∶eq\r(3)解析设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1—AB1C为正四面体，每个面都是边长为eq\r(2)的正三角形，其表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝2eq\r(3)，所以三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶eq\r(3).8.若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于______.答案3eq\r(5)π解析∵圆台的母线长为eq\r(2－12＋22)＝eq\r(5)，∴S圆台侧＝π(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.9.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.答案2∶1解析∵S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋2π·eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.10.如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________.答案(2＋eq\r(2))a2解析由已知可得正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，新几何体的表面积为S表＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＝(2＋eq\r(2))a2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________.答案36解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，eq\r(2)，1，∴S表＝2×22＋4×[22＋(eq\r(2))2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.二、解答题12.如图所示，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足为点D.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积.解在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5知，AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.所以CD＝eq\f(12,5)，记为r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB所在直线为轴旋转所得的旋转体是两