2020-2021学年西藏林芝某中学高二（上）期末数学试卷（文科）（附详解）

2020-2021学年西藏林芝第二高级中学高二（上）期末数

学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.不等式工（久+2）20的解集为（）

A.{x\x>0或x<-2}B.{x|-2<%<0]

C.{x|0<x<2]D.{x|x<0或x>2]

2.观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,…中，其中¥是（）

A.12B.13C.14D.15

3.命题p：3x0eR,以一Xo+1W0的否定是（）

A.VxG/?,x2—%4-1>0B.VxG/?,x2—x4-1<0

C.3x0€/?.XQ-xo+l>0D.3x06R,XQ-x0+1<0

4.若％,y为正数，贝1」3?+12?+13的最小值是（）

y”

A.24B.28C.25D.26

5.在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在等差数列｛%｝中,S10=120,那么的+的0的值是（）

A.12B.24C.36D.48

7.在AABC中，内角4、B、C的对边分别为a、b、c,若4=135°,B=30°,a=V2>

则b等于（）

A.1B.V2C.V3D.2

8.企+1与&—1的等差中项是（）

A.1B.—1C.V2D.±1

9.下列求导运算正确的是（）

A.Q+力=1+专B.。吟丫=熹

xX2

C.（3y=3-log3eD.（xcosxY=—2xsinx

10.已知等比数列中,a=l,q=10九=3则项数九=（）

rL04,

A.4B.5C.6D.7

11.△4BC的内角4、B、C的对边分别为a、b、c.己知a=V5，c=2,cos4=I，贝Ijb=()

A.y/2B.V3C.2D.3

12.椭圆C：式+g=1的左右焦点分别为Fi，F2,过F2的直线交椭圆C于4、B两点,

2516

则AFi/lB的周长为()

A.12B.16C.20D.24

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知｛厮｝为等差数列，a4+a7=2,则%+%()=.

14.曲线y=x2+;在点(1,2)处的切线方程为.

15.双曲线式一艺=1的焦距为.

32

%-y>0

x4-y-2<0,则z=3%-4y最小值为.

1y>0

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.等差数列｛an｝中，a7=18,a20=2a18.

(1)求｛时｝的通项公式；

(2)求数列的前n项和Sn；

(3)求出数列｛an｝前几项和右的最大值.

18.求下列函数的导数.

(l)y=x2sinx；

(2)y=Inx+i；

/o、COSX

⑶y=k

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19.解下列不等式：

(l)x2+x-12<0；

(2)-4x2+4x—1<0；

(3)5x2-7x+3<0.

20.设Fi，F2分别是椭圆E：捻+，=1(£1>6>0)的左、右焦点，E的离心率为争点

(0,1)是E上一点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F］的直线交椭圆E于4,8两点，且瓯=2不，求直线BF2的方程.

21.三角形4BC的内角4B,C的对应边分别为a,b,c且a=2,bcosA=acosB.

(1)求b的大小；

(2)若NC=150°,解三角形.

22.已知函数/(%)=ex-1-x-ax2

(1)当Q=0,求证：/(%)>0

(2)当％20时，若/(%)之0恒成立，求Q的取值范围

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解法，属基础题.

解方程x(x+2)=0,得X]=0,x2=-2,由此能求出不等式的解集.

【解答】

解：解方程x(x+2)=0,得%=0,%2=—2,

所以不等式x(x+2)>0的解集为｛x|x>0或x<-2]；

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,…，

可知I：1+1=2,1+2=3,2+3=5,.•-5+8=x.

得到x=13.

故选：B.

观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,X,21,34,55,可知：1+1=2,1+2=3,

2+3=5,即可得到5+8=X.

本题考查了数列的通项公式的性质，属于基础题.

3.【答案】4

【解析】

【分析】

本题主要考查全称量词命题与存在量词命题的相互转化问题.这里注意全称量词命题的

否定为存在量词命题，反过来存在量词命题的否定是全称量词命题.

根据命题就-Xo+IWO”是特称量词命题，其否定为全称量词命题，将

'勺”改为“V"，"<"改为">”即可得答案

【解答】

解：,••命题€R，蜉—与+1<0”是存在量词命题

•••命题的否定为VxGR,x2-x+l>0.

故选：A.

4.【答案】C

【解析】解：X,y为正数,

则3工+12、+1322隹•邑+13=25.

yxyx

当且仅当x=2y时取等号,

所以3?+12>13的最小值是：25.

y“

故选：C.

直接利用基本不等式，求解表达式的最小值即可.

本题考查基本不等式在最值中的应用，是基本知识的考查.

5.【答案】A

【解析】解：由正弦定理知号==2R,

stnAsinB

vsinA>sinB,

a>b,

・•・A>B.

反之，A>B,・,.a>b,

va=2RsinA,b=2RsinB,・•・sinA>sinB

故选：A.

由正弦定理知J：=由sirh4>si九8,知a>b,所以A>8,反之亦然，故可得结

sinAsinB

论.

本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形.

6.【答案】B

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【解析】解：510=|x10(ai+«10)=120,

所以a】+ciio=24

故选：B.

根据等差数列的求和公式，即可求出%+%。的值.

本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

由力与B的度数求出sinA与sinB的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值即可.

此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

【解答】

解：•••4=135。，B=30°,a=V2.

•••由正弦定理啖=心得：。=需=萼=1.

2

故选：A.

8.【答案】C

【解析】解：设x为夜+1与夜-1的等差中项，

则四一l-x=x一a+1，即x=#+15件1=V2

2

故选：C

由等差中项的定义易得答案.

本题考查等差中项，属基础题.

9.【答案】B

【解析】解：4(%+力=1一专，故A错误，

A(l°g2X)'=意，故8正确，

C.(3x)'=3x•m3,故C错误，

£>.(x2cosx)f=2xcosx-x2sin%,故D错误，

故选：B

根据函数的导数公式进行判断即可.

本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础.

10.【答案】D

【解析】解：二,等比数列｛每｝中,%=l,q=、Qn=,,

,ii

Cl=1X=—,

n2n~164

解得n=7.

故选：D.

利用等比数列的通项公式直接求解.

本题考查等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质

的合理运用.

11.【答案】。

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理，属于基础题.

由余弦定理可得cos4=吐巴贮,利用已知整理可得3b2-8b-3=0,从而解得b的值.

2bc

【解答】

2

解：・.・a=遍,c=2,cosA-

由余弦定理可得：

2

b2+c2_a2b+4-52

cosA=-------------=-----=一,

2bc2xbx23

整理可得：3/一助一3=0,

解得：b=3或一家舍去）.

故选D.

12.【答案】C

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【解析】解：由椭圆的方程为：a2=25,可得a=5,

△&AB的周长为：\AB\+|4&|+\BF2\=\AF2\+\BF2\+\AFr\+|BFJ=(\AF2\+

MF/)+(\BF2\+=2a+2a=4a=20,

故选：C.

由椭圆的定义可直接得三角形的周长为4a,进而由椭圆的方程可得其值.

本题考查椭圆的性质，属于基础题.

13.【答案】2

【解析】解：•；｛须｝为等差数列，a4+a7=2,

%+a10=%+%+9d=(ax+3d)+(%+6d)=a4+a7=2.

故答案为：2.

由已知条件利用等差数列的通项公式求解.

本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性

质的合理运用.

14.【答案】x-y+1=0

【解析】

【分析】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可.

【解答】

解：曲线丫=/+：,可得y，=2x-•9，

切线的斜率为：k=y'\x=1=2-1=1.

切线方程为：y—2=x—1,即：x—y+1=0.

故答案为x—y+1=0.

15.【答案】2V5

【解析】解：由双曲线方程可得，a2=3,炉=2,c2=a2+b2=5,

则其焦距2c=2V5.

故答案为：2遍.

由题意确定a，b,c的值，然后确定其焦距即可.

本题主要考查双曲线焦距的计算，属于基础题.

16.【答案】-1

x-y>0

【解析】解：作出实数x,y满足x+y-2W0对应的可行

.y>0

域（阴影部分），

由z=3x-4y,得丫=3%-（，平移直线y=[x-：，

由平移可知当直线y=白一：，

经过点时，直线y=的截距最大，此时z取得最小值，

将B的坐标代入z=3x—4y=3—4=—1,

即目标函数z=3x-4y的最小值为一1.

故答案为：—1.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x-4y的

最小值.

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是

解决此类问题的基本方法.

17.【答案】解：由题可知：(1)设等差数列｛Qn｝的首项为的,公差为d,

mil..[a7=18，伊+6d=18

1a20=2al81al+19d=2(%+17d)f

(ar+6d=18q=30

=&+15d=0=td=—2'

口九=%+(ri—l)d=-2n+32.

(2)由(1)可得：Sg=7ml+Dd=—九2+31

2

(3)由(2)可得：Sn=—n+3In,

b31

15.5

2a2x(—1)

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所以当n=15或16时，取得最大值(SQmax=-152+3115=-162+31-16=240.

【解析】(1)求出数列的首项与公差，然后求｛%;｝的通项公式；

(2)利用等差数列求和公式求数列｛an｝的前n项和Sn；

(3)利用二次函数的性质求出数列｛即｝前71项和Sn的最大值.

本题考查等差数列的通项公式以及求和的方法，函数与数列相结合，考查转化思想以及

计算能力.

18.【答案】解：(l)y'=(^sinx)'=2xsinx+/cosx；

(2)y=(inxy+(］=,一*=妥；

/fcos%、,(cosx)rex-cosx(ex')rsinx+cosx

(3)y=(—)=--------西-=----厂

【解析】根据导数的公式即可得到结论.

本题主要考查导数的基本运算，属于基础题.

19.【答案】解：(1)解方程/+x—12=0,

其中a=1,b=1,c=-12,

△=b2-4ac=1—4x1x(—12)=49,

•••不等式/+x-12<0的解集为［-4,3］；

(2)不等式两边同乘一1得：4x2-4x+1>0,

解方程4/-4x+1=0,

其中a=4,b=­4,c=1,

△=b2—4ac=16—4x4x1=0,

-4_1

-%2

2X4-2

・,・不等式一4/4-4%-1<0的解集为｛%|xH1)；

(3)解方程5%2一7%+3=0,

其中Q=5,b=—7,c=3,

且4=b2—4ac=-11<0,

不等式5K2-7x+3<0的解集为。.

【解析】(1)先解方程M+x-12=0,由此写出不等式/+%一12W0的解集;

(2)不等式化为4/-4x+1>0,求出对应方程的解，再写出不等式的解集；

(3)利用判别式△<0,判断不等式的解集为。.

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题.

20.【答案】解：(1)由椭圆的斜率e=(==¥，则。=鱼6,

由点(0,1)是E上一点得b=1,a=①

椭圆E的方程/+y2=i；

(2)设直线AB的直线方程y=k(x+l),4(%,%)，B(x2,y2),

y=fc(x+1)

则过2=i，整理得：(1+2/c2)%2+4fc2x+2fc2-2=0,

3y-

由韦达定理可知…+犯=-恚，①,3=琮,②

BF]=2F]A，则(一1一血，一丫2)=2Qi+1,%),则2%1+%2=-3，③

_-2k2-3_3-2k2

由①③可知:%=

代入②整理得：2k2=7,

则B(—g土亨)，

则直线BF?的斜率k=土包，

6

•••直线BF2的方程：丫;手尢一警或y:一华工+半.

【解析】(1)由题意的离心率公式，求得a=&b,由椭圆过点(0,1),求得a和b的值，

求得椭圆方程；

(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得B点坐标,

求得直线HF2的斜率，即可求得直线的方程.

本题考查椭圆的标准方程及椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向

量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.

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21.【答案】(本小题满分12分)：解:(1)由题可知(l)bcosA=acosB,

由余弦定理：Z?"=aa+c~b,a2=b2=>a=6,：・a=b=2,

2bc2ac

(2)由(1)可得三角形ABC为等腰三角形，

又NC=150°,48=44=15°,

又c?=a2+b2-2abcosC=22+22-8x(-j)，

c2=8+4A/3=c=鱼+V6.

【解析】(1)直接利用余弦定理，推出a=b,即可求b的大小；

(2)利用三角形是等腰三角形，结合NC=150。，然后解三角形4B,c的大小即可.

本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力.

22.【答案】解：(1)证明：当a=0时，/(x)=e*-1-x,/'Q)=e*-1

二当x6(—8,0)时