专题65图形的相似（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（苏科版）

专题6.5图形的相似（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【要点1】比例线段定义：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【要点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：⇔＝；（3）等比性质：；【要点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则，.【要点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若∥，则，.【要点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．【要点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点7】相似多边形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【要点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例．（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．【要点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.【要点10】位似图形的定义性质与画法定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2015·山东东营·统考中考真题）若，则的值为（）A．1 B． C． D．2．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知，，若，则（

）A．4 B．6 C．8 D．163．（2020·甘肃武威·统考中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米4．（2019·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，，则的值是（

）A． B．1 C． D．5．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（

）A． B． C． D．6．（2011·湖南怀化·中考真题）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．17．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（

）

A．4 B．6 C．8 D．108．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（

）

A． B． C． D．9．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（

）

A． B． C． D．10．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2010·江苏南通·中考真题）已知，相似比为，则与的周长比为．12．（2023·北京·统考中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为．

13．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则．

14．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是．

15．（2021·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为．16．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若，则GE的长为．17．（2021·云南·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是．18．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知（1）证明：．（2）求线段的长．20．（8分）（2020·贵州遵义·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．21．（10分）（2013·广东·中考真题）如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1,Rt△BFC的面积为S2,Rt△DCE的面积为S3,则S1S2+S3（用“>”、“=”、“<”填空）；（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.22．（10分）（2019·湖北省直辖县级单位·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（12,0）,B（8,6）,C（0,6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向OA终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ=y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ=3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．23．（10分）（2013·湖北武汉·中考真题）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．24．（12分）（2016·浙江湖州·中考真题）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．参考答案：1．D解：∵，∴==，故选：D2．A【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可．解：∵，∴，即，解得．故选：A．【点拨】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．A【分析】根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．故答案为：A【点拨】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．4．A【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，即可解决问题．解：∵，∴，∴，∴，故选A．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．C【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.解：∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.【点拨】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.6．B【分析】首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD．解：∵AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线；故①正确；∴∠BDC＝180°−∠DBC−∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴△BCD是等腰三角形，故②正确；∵∠C＝∠C，∠BDC＝∠ABC＝72°，∴△ABC∽△BCD，故③正确；∵△AMD中，∠AMD＝90°，△BCD中没有直角，∴△AMD与△BCD不全等，故④错误．故选：B．【点晴】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．C【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．解：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，设为x，∵，，∴，，∴，，∴，即，得，∴．故选：C．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．8．C【分析】根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可．解：根据题意，补图如下：

∵，∴，∴，∴，∴，∴侧面展开图的面积为，故选C．【点拨】本题考查了圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．9．B【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可．解：如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，∴，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上要点．10．D【分析】先求解再证明可得解：＝，DE∥BC，故选D【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．11．【分析】相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．解：∵，相似比为，∴与的周长比等于相似比．故答案为：．【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键．12．【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.解：，

，，，，，，；故答案为：.【点拨】本题考查了平行线分线段成比例的要点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.13．【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案为：【点拨】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．14．27【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．15．【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．解：∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系．16．【分析】因为折叠，则有，从而可知，利用线段比求出DG的长，即可求出EG．解：如图,四边形ABCD是正方形，，因为折叠，，设垂足为H，，，，，，，，DE=，，，故答案为．【点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，找到是解题的关键．17．9【分析】根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE．解：∵点D，E分别为BC和AC中点，∴DE=AB，DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴，∵BF=6，∴EF=3，∴BE=6+3=9，故答案为：9．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．18．【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．19．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．解：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．（1）见分析；（2）【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．解：（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，为⊙的直径，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝【点拨】本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD是解题关键．21．解：（1）=．（2）△BCD∽△CFB∽△DEC．选择证明△BCD∽△DEC：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD．又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．试题分析：（1）、根据题意得出三个面积之间的关系；（2）、△BCD∽△CFB∽△DEC，根据同角的余角相等得出∠EDC=∠CBD，然后根据垂直得出三角形相似.解：（1）、．（2）、△BCD∽△CFB∽△DEC．可任选一对，如：△BCD∽△DEC；∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠EDC=∠CBD，又∵∠BCD=∠DEC=90°，∴△BCD∽△DEC．考点：三角形相似的证明22．（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于点，由点，的出发点、速度及方向可找出当运动时间为秒时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理即可求出关于的函数解析式（由时间路程速度可得出的取值范围）；（2）将代入（1）的结论中可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接，交于点，过点作于点，利用勾股定理可求出的长，由可得出，利用相似三角形的性质结合可求出，由可得出，在中可求出及的值，由，可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，此题得解．解：（1）过点作于点，如图1所示．当运动时间为秒时时，点的坐标为，点的坐标为，，|，，．故答案为．（2）当时，，整理，得：，解得：．（3）经过点的双曲线的值不变．连接，交于点，过点作于点，如图2所示．，，．，，，．，．在中，，，，，点的坐标为，经过点的双曲线的值为．【点拨】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ=时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出点D的坐标．23．（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；（2）当∠B+∠EGC＝180°时；（3）．试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．根据平行线的性质可得∠A＝∠CDM，再结合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，即可证得△ADE∽△DCM，从而证得结论；（3）根据相似三角形的性质结合图形特征求解即可.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）．考点：相似三角形的综合题点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.24．（1）y=﹣x2+2x+4；M（1，5）；（2）2＜m＜4；（3）P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．【分析】（1）将点A、点C的坐标代