【经典含解析及考点卡片】2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数

一.选择题（共8小题）

1.（2018•深圳）二次函数y=a，+&x+c（“#0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A.abc>0

B.2a+b<0

C.3iz+c<0

D.a^+bx+c-3=0有两个不相等的实数根

2.（2021•深圳）二次函数y="W+bx+l的图象与一次函数），=2or+〃在同一平面直角坐标系

3.（2020•广东）如图，抛物线y=o?+/zr+c的对称轴是直线x=l,下列结论:

①abc>0；②川-4ac>0；③8a+cV0；④5a+>2c>0,

正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2020•深圳）二次函数y=o?+bx+c（aWO）的顶点坐标为（-1,〃）,其部分图象如图

所示.以下结论错误的是（）

B.4ac-b2<0

C.3〃+c>0

D.关于x的方程ax2+bx+c=n+l无实数根

5.（2020•广东）把函数y=（x-1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解

析式为（）

A.y=/+2B.y—（x-1）2+1C.y—Cx-2）2+2D.y—（x-1）2+3

6.（2021•广州）抛物线y=o?+bx+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,

则当x=2时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-1D.5

7.（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公

式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为①b,c,记p

=”产，则其面积s=4p（p-a）（p-b）（p-c）这个公式也被称为海伦-秦九韶公

式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为（）

A.娓B.4C.2粕D.5

8.（2021•广东）设。为坐标原点，点A、B为抛物线y=/上的两个动点，且OALOB.连

接点A、B,过。作OCLAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.AB.返C.返D.1

222

二.填空题（共4小题）

9.（2018•广州）已知二次函数y=/,当x>0时，y随x的增大而（填“增大”或

“减小”）.

10.（2017•广州）当》=时，二次函数了=/-2%+6有最小值_______.

11.（2021•广东）把抛物线），=2?+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度,

得到的抛物线的解析式为.

12.（2020•广州）对某条线段的长度进行了3次测量，得至IJ3个结果（单位：mm~）9.9,10.1,

10.0,若用。作为这条线段长度的近似值，当“=mm时，（a-9.9）2+（a-10.1）

2+（a-10.0）2最小.对另一条线段的长度进行了"次测量，得到"个结果（单位：mm）

XI,XI,Xn,若用X作为这条线段长度的近似值，当X=时，（X-XI）~+

（X-X2）2+-"+（X-Xn）2最小.

三.解答题（共8小题）

13.（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）

与销售量y（件）的关系如表所示：

x（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求），与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？

14.（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华

民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000

元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒

售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元（50WxW65）,y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位:

元），求y关于x的函数解析式并求最大利润.

15.（2018•广东）如图，已知顶点为C（0,-3）的抛物线》二/十方（QWO）与x轴交于A,

B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

（1）求加的值；

（2）求函数（aWO）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M,使得NMCB=150?若存在，求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

16.(2017•广州)已知抛物线yi=-7+MU+〃，直线*=丘+6,yi的对称轴与"交于点A

(-1,5),点A与川的顶点B的距离是4.

(1)求yi的解析式；

(2)若”随着x的增大而增大，且yi与"都经过x轴上的同一点，求"的解析式.

17.(2017•深圳)如图，抛物线3>=/+笈+2经过点4(-1,0),B(4,0),交y轴于点C：

(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；

(2)点。为)，轴右侧抛物线上一点，是否存在点。使SAABC=>|S"B。？若存在请直接

给出点。坐标；若不存在请说明理由；

(3)将直线BC绕点8顺时针旋转45°,与抛物线交于另一点£,求BE的长.

18.(2021•广州)已知抛物线y=7-(m+l)x+2,〃+3.

(1)当胆=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；

(2)该抛物线的顶点随着心的变化而移动，当顶点移动到最高处时、求该抛物线的顶点

坐标；

(3)已知点E(-l,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物

线顶点横坐标的取值范围.

19.(2020•广东)如图，抛物线丫=支返»+以+(;•与x轴交于A,8两点，点A,B分别位

6

于原点的左、右两侧，BO=3AO=3,过点8的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为

C,D,BC=y]"^CD.

（1）求6,c的值;

（2）求直线8。的函数解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上.当△AB。与△8PQ

相似时，请直接写出所有满足条件的点。的坐标.

20.（2018•广州）已知抛物线-4（〃〉0）.

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,8（点A在点B的右侧），与），轴交于点C,

4,B,C三点都在。尸上.

①试判断：不论加取任何正数，OP是否经过），轴上某个定点？若是，求出该定点的坐

标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x=-四的对称点为点E,点。（0,1）,连接BE,BD,DE,ABDE

2

的周长记为/,。尸的半径记为〃求工的值.

2017-2021年广东中考数学真题分类汇编之二次函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2018•深圳）二次函数），=/+fcv+c（a/0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）

A.ahc>0

B.2〃+Z?V0

C.3〃+cV0

D.ax^+hx+c-3=0有两个不相等的实数根

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点.

【专题】函数及其图象.

【分析】根据抛物线开口方向得“V0,由抛物线对称轴为直线》=一旦，得到6>0,由

2a

抛物线与>■轴的交点位置得到c>0,进而解答即可.

【解答】解：；抛物线开口方向得。<0,由抛物线对称轴为直线彳=-应，得到b>0,

2a

由抛物线与y轴的交点位置得到c>0,

A、abc<0,错误；

B、2a+b=0f不是2a+b<0,错误；

C、当x=-l时，y—a-Z?+c<0,.\3a+c=a-b+c<0f所以C正确；

D、由图可知，抛物线y=a/+Zu+c与直线y=3有一个交点，可得：a^+bx+c-3=0,

此方程有一个实数根，错误；

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=4+6x+c（aWO）,二次

项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线开口向上；当“VO时，抛

物线开口向下；一次项系数6和二次项系数“共同决定对称轴的位置，当a与b同号时

（即加>0）,对称轴在y轴左侧；当。与人异号时（即HV0）,对称轴在y轴右侧；常

数项C决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,C）；抛物线与X轴交点个数由△

决定，△=廿-4收>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=b2-4qc=0时，抛物线与x

轴有1个交点；△=/-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

2.（2021•深圳）二次函数），=/+云+1的图象与一次函数），=2以+6在同一平面直角坐标系

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象.

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观.

【分析】由二次函数），=以2+或+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y

=2"+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致.

【解答】解：A、由抛物线可知，b<Q,c=l,对称轴为直线x=-互，由直线

2a

可知，a>0,b<0,直线经过点（-旦，0）,故本选项符合题意；

2a

B、由抛物线可知，对称轴为直线x=-且，直线不经过点（一旦，0）,故本选项不符

2a2a

合题意；

C、由抛物线可知,对称轴为直线x=一旦,直线不经过点0),故本选项不符

2a

合题意;

。、由抛物线可知，对称轴为直线x=-也，直线不经过点-旦，0）,故本选项不符

2a2a

合题意;

故选：A.

【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数

性质.

3.（2020•广东）如图，抛物线y=a?+法+c的对称轴是直线x=l,下列结论:

①a〃c>0；②*-4ac>0；（3）8a+c<0；④5a+H2c>0,

正确的有（）

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特

殊点解答问题.

【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a<0,

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a,b异号,所以6>0,

根据抛物线与v轴的交点在正半轴可得：c>0,

abc<0,故①错误；

•.•抛物线与x轴有两个交点，

.'.b2-4ac>0,故②正确；

；直线x=l是抛物线yuaf+匕x+c（。£0）的对称轴，所以-上_=1,可得Z?=-2a,

2a

由图象可知，当x=-2时，y<0,HP4a-2h+c<0,

：.4a-2X（-2a）+c<0,

即8a+c<0,故③正确；

由图象可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0；当x=-l时，y=a-b+c>0,

两式相加得，5a+b+2c>0,故④正确；

结论正确的是②③④3个，

故选：B.

【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数

形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析

式.

4.（2020•深圳）二次函数y=o?+bx+c（aWO）的顶点坐标为（-1,〃）,其部分图象如图

所示.以下结论错误的是（）

B.4ac-b2<0

C.3a+c>0

D.关于x的方程ax2+Z?x+c=〃+l无实数根

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对A进行判断；根

据抛物线与x轴的交点情况可对B进行判断；x=l时，y<0,可对C进行判断；根据抛

物线y=ax2+bx+c与直线y—n+\无交点，可对D进行判断.

【解答】解：人•••抛物线开口向下，

."<0,

•.•对称轴为直线》=-且=-1,

2a

：.b=2a<0,

•.•抛物线与y轴交于正半轴，

/.c>0,

abc>Of

故A正确；

艮：抛物线与x轴有两个交点，

.'.b2-4ac>0,BP4ac-b2<0,

故B正确；

C.•••抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点在（-3,0）和（-2,

0）之间，

...抛物线与x轴的另一个交点在（0,0）和（1,0）之间，

；.x=l时，y<0,

即a+b+c<0,

b=2a,

3a+c<0,

故C错误；

•抛物线开口向下，顶点为（-1,〃），

，函数有最大值〃，

...抛物线y=ax2+fef+c与直线）,=〃+1无交点，

一元二次方程”/+法+，=〃+1无实数根，

故。正确.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=/+云+c（a,b,c是常数,

aWO）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性

质.

5.（2020•广东）把函数），=（x-1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解

析式为（）

A.y=7+2B.y—（x-1）2+1C.y—（x-2）2+2D.y—（x-1）2+3

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的

二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

【解答】解：二次函数、=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1,2）,

二向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2,2）,

所得的图象解析式为y=（x-2）2+2.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代

入函数解析式求得平移后的函数解析式.

6.（2021•广州）抛物线yuG?+fex+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,

则当x=2时，y的值为（)

A.-5B.-3C.-1D.5

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；几何直观.

【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称

性可求），=-5.

【解答】解：如图

,抛物线y=or2+bx+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与）,轴交于点（0,-5）,

可画出上图，

；抛物线对称轴x=~1+3=1,

2

.•.点（0,-5）的对称点是（2,-5）,

.•.当x=2时，y的值为-5.

故选：A.

【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出

图象利用对称性是解题的关键.

7.（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公

式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为“，b,c,记p

=*工，则其面积S=Mp（p-a）（p-b）（p-c）.这个公式也被称为海伦-秦九韶公

式.若p=5,c=4,则此三角形面积的最大值为（）

A.75B.4C.275D.5

【考点】二次函数的最值；代数式求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】根据公式算出"+匕的值，代入公式即可求出解.

【解答】解：・.・〃=史也，p=5,c=4,

2

•••qj—a-+--b-+4f

2

**•〃+b=6,

••〃=6-b,

•\S=A/P(p-a)(p-b)(p-c)

=5/5(5-a)(5-b)(5-4)

=，5(5-a)(5-b)

=V5ab-25

=V5b(6-b)-25

"V-5b2+30b-25

=V-5(b-3)2+20(

当匕=3时，S有最大值为技=2泥.

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形

的面积.

8.(2021•广东)设。为坐标原点，点A、8为抛物线y=)上的两个动点，且Q4_LO8.连

接点A、B,过。作OCL4B于点C,则点C到y轴距离的最大值()

A.AB.返C.返D.1

222

【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力；应用

意识.

【分析】分别作4E、BF垂直于x轴于点E、F,设OE=“，OF=b,由抛物线解析式可

得AE=J,BF=序,作AHJ_8H于”，交y轴于点G,连接A2交y轴于点£>,设点。

2

(0,加)，易证△AQGS/IAB”，所以幽望，即m-a=」_.可得m=ah再证

BHAHb2_a2a+b

2

明△AEOS/XOFB,所以迪工，B|ja_a,可得曲=1.即得点。为定点，坐标为

OFBFbb2

(0,1),得。。=1.进而可推出点C是在以。O为直径的圆上运动，则当点C到y轴

距离为此圆的直径的一半，即工时最大.

2

【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F,

设。OF=b,由抛物线解析式为y=f,

则AE=a1,BF=b1,

作b于H,交），轴于点G,连接48交丁轴于点。，

设点。（0,加，

•:DG〃BH,

：.AADGsRABH,

2

.•.理即

BHAHb2_a2a+b

化简得：m—ab.

'：ZAOB=90°,

：.ZAOE+ZBOF=90a,

又NAOE+NE4O=90°,

：.ZBOF=ZEAO,

又NAEO=NBFO=90°,

AAEOS^OFB.

•AEE0

••丽■

2

即3_=，_,

bb2

化简得cib=1.

则）2="=1,说明直线A8过定点£）,。点坐标为（0,1）.

VZDCO=90°,DO=1,

・••点C是在以。0为直径的圆上运动，

...当点C到y轴距离为£»0=*时，点C到y轴的距离最大.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周

角定理，此题难度较大，关键是要找出点。为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再

求最值.

二.填空题（共4小题）

9.（2018•广州）已知二次函数y=/,当x>0时，y随x的增大而增大（填“增大”

或“减小”）.

【考点】二次函数的性质.

【专题】常规题型.

【分析】根据二次函数的二次项系数。以及对称轴即可判断出函数的增减性.

【解答】解：•.•二次函数y=/,开口向上，对称轴为），轴，

.•.当x>0时，随x的增大而增大.

故答案为：增大.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴为y

轴，开口向上，此题难度不大.

10.（2017•广州）当工=1时,二次函数v=f-2x+6有最小值5.

【考点】二次函数的最值.

【专题】推理填空题.

【分析】把7-21-+6化成（x-1）2+5,即可求出二次函数），=7-2x+6的最小值是多少.

【解答】解：Tyd-2x+6=（x-1）2+5,

，当x=l时，二次函数y=/-2x+6有最小值5.

故答案为：1、5.

【点评】此题主要考查了二次函数的最值，要熟练掌握，确定一个二次函数的最值，首

先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；

当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从

而获得最值.

11.(2021•广东)把抛物线y=2/+i向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，

得到的抛物线的解析式为尸2f+4x.

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.

【解答】解：把抛物线y=2?+l向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得

到的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2+1-3,即y=2x2+4x

故答案为y=2x2+4x.

【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入

函数解析式求得平移后的函数解析式.

12.(2020•广州)对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果(单位：〃〃〃)9.9,10.1,

10.0,若用a作为这条线段长度的近似值，当a=10.0时,(a-9.9)2+(«-10.1)

2+(a-10.0)2最小.对另一条线段的长度进行了“次测量，得到"个结果(单位：〃师)

XI,必…，X"，若用x作为这条线段长度的近似值，当尸_」__2——论一如〃时，

n

(X-XI)2+(X-X2)2+…+(x-Xn')2最小.

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数图象及其性质；应用意识.

【分析】构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.

【解答】解：设丫=(a-9.9)2+ka-10.1)2+(a-10.0)2=3a2-60.0a+300.02,

'：a=3>0,

・,.当尸_-60・0=10.0时,y有最小值，

6

设w=(x-xi)2+(x-%2)…+(%-物)2=/-2(工1+也+・,・+即?)),

Vn>0,

,-2(Xi+x+'"+x„)Xi+X+'"+XML4口―

・•・当x=--------1__29-----------_2-----------9---------巴时，w有最小值.

2nn

,,心…，Xi+x尹…+Xn

故答案为］Q0,」_------巴.

n

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题.

三.解答题（共8小题）

13.（2021•深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）

与销售量y（件）的关系如表所示：

X（万元）10121416

y（件）40302010

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当销售单价为多少时;有最大利润，最大利润为多少？

【考点】二次函数的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函

数解析式用待定系数法求函数解析式即可；

（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的

性质求最值即可.

【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，

设旷=履+〃（ZW0）,

则［10k+b=40,

I12k+b=30

解得：上5,

lb=90

.'.y与x的函数关系式y=-5A+90；

（2）设该产品的销售利润为w,

由题意得：w=y（x-8）=（-5x+90）（x-8）=-5?+130x-720=-5（x-13）2+125,

：-5<0,

...当x=13时，w最大，最大值为125（万元），

答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元.

【点评】本题考查一次函数的性质及待定系数法求函数解析式，关键是根据销售利润等

于单件的利润与销售件数的乘积，列出函数关系式.

14.（2021•广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华

民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000

元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒

售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.

(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

(2)设猪肉粽每盒售价x元(50WxW65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：

元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润.

【考点】二次函数的应用；分式方程的应用.

【专题】二次函数的应用；应用意识.

【分析】(1)设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元，根据商家用8000

元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；

(2)由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元(50WxW65)

时，每天可售[100-2(x-50)]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x

元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值.

【解答】解：(1)设猪肉粽每盒进价”元，则豆沙粽每盒进价(a-10)元，

则80006000

aa-10

解得：a=40,经检验a=40是方程的解，

.•.猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，

(2)由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，

当猪肉粽每盒售价x元(50WxW65)时，每天可售[100-2(x-50)]盒，

.-.y=x[100-2(x-50)]-40X[100-2(x-50)]=-2?+280x-8000,

配方，得:y=-2(x-70)2+1800,

：x<70时，y随x的增大而增大，

...当x=65时，y取最大值，最大值为：-2X(65-70)2+1800=1750(元).

答：y关于x的函数解析式为y=-2』+28(k-8000(50WxW65),且最大利润为1750元.

【点评】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销

售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式.

15.(2018•广东)如图，已知顶点为C(0,-3)的抛物线(“/o)与x轴交于4,

B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.

(1)求相的值；

(2)求函数(aWO)的解析式；

(3)抛物线上是否存在点使得/MCB=15°?若存在，求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】函数及其图象.

【分析】(1)把C(0,-3)代入直线丫=工+加中解答即可；

(2)把y=0代入直线解析式得出点8的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可;

(3)分例在BC上方和下方两种情况进行解答即可.

【解答】解：(1)将(0，-3)代入y=x+〃?，

可得：m=-3；

(2)将y=0代入y=x-3得：x=3,

所以点8的坐标为(3,0),

将(0,-3)、(3,0)代入中，

可得：尸3,

l9a+b=0

，二

解得：a=7,

b=-3

所以二次函数的解析式为：y=l^-3；

3

①若M在3上方，设MC交x轴于点。，则NO£)C=45°+15°=60°,

OD=OC«tan30°=遍,

设。。为）=日-3,代入（«,0）,可得：k=a，

'y=V^x-3

联立两个方程可得：11,

y=T-x2-3

O

y1=-3y2=6

所以Mi(3Vs-6)；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E,则/OEC=45°-15°=30°,

AZ0C£=60°,

：.OE=OC・tan60°=3“,

设EC为y=H-3,代入（3^3，0）可得：k=返

3

联立两个方程可得:

所以“2（V3>-2）,

综上所述M的坐标为（3遥，6）或（遍，-2）.

【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式,

待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键.

16.（2017•广州）已知抛物线yi=-f+mx+zi,直线*=fcr+6,yi的对称轴与中交于点A

（-1,5）,点A与yi的顶点B的距离是4.

（1）求）”的解析式；

（2）若”随着x的增大而增大，且yi与”都经过x轴上的同一点，求”的解析式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析

式：二次函数的性质.

【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得，”、小从而求得

）-1的解析式；

（2）分两种情况讨论：当yi的解析式为户=-/-2x时，抛物线与x轴的交点（0,0）

或（-2,0）,y2经过（-2,0）和A,符合题意;

当），1=-/-2x+8时，解-/-2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的

坐标和"随着x的增大而增大，求得yi与”都经过x轴上的同一点（-4,0）,然后根

据待定系数法求得即可.

【解答】解：（1）•.•抛物线yi=-直线＞2=fcr+b,yi的对称轴与＞2交于点A

（-1,5）,点A与yi的顶点B的距离是4.

：.B（-1,1）或（-1,9）,

/.-------------=-],-4.x（二DL二总_,=1或9,

2X（-1）4X（-1）

解得m=-2,〃=0或8,

Ayi的解析式为yi=-/-2r或yi=-/-2r+8；

（2）①当）"的解析式为yi=-/-2x时，抛物线与x轴交点是（0,0）和（-2,0）,

的对称轴与”交于点4（-1,5）,

与”都经过x轴上的同一点（-2,0）.

把（-I,5）,（-2,0）代入得]-k+b=5,

I-2k+b=0

解得fk=5,

lb=10

.•.）?=5x+10.

②当y\=-f-2x+S时，解-/-2计8=0得x=-4或2,

•・・”随着x的增大而增大，且过点A（-1,5）,

与"都经过x轴上的同一点（-4,0）,

把（-1,5）.（-4,0）代入得1k+b=5,

I-4k+b=0

"=尹学

【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次

函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键.

17.（2017•深圳）如图，抛物线y=af+/?x+2经过点A（-1,0）,B（4,0）,交），轴于点C；

（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；

（2）点。为），轴右侧抛物线上一点，是否存在点。使S“BC=2^4BD?若存在请直接

3

给出点。坐标；若不存在请说明理由；

(3)将直线8c绕点3顺时针旋转45。，与抛物线交于另一点E,求BE的长.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)由A、8的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2)由条件可求得点。到x轴的距离，即可求得。点的纵坐标，代入抛物线解析式可

求得D点坐标；

(3)由条件可证得8CLAC,设直线AC和BE交于点尸，过F作尸轴于点则

可得BF=BC,利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直

线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长.

【解答】解：

(1)I•抛物线>=4』+云+2经过点4(-L0),B(4,0),

../a-b+2=0,解得「

I16a+4b+2=0h且

|b-2

.•.抛物线解析式为y=-¥+*+2；

(2)由题意可知C(0,2),A(-1,0),B(4,0),

：.AB=5,OC=2,

：.SAABC=』A8・OC=_1X5义2=5,

22

Sj\ABC——S^ABD<

3

S&ABD=2x5=15,

22

设D(x,y),

A_lABe|y|=Ax5|y|=—,解得|y|=3,

222

当y=3时，由-+2=3,解得工=1或x=2,此时D点坐标为（1,3）或（2,3）；

22

当y=-3时，由--+2=-3,解得％=-2（舍去）或x=5,此时D点坐标为（5,

22

■3）；

综上可知存在满足条件的点。，其坐标为（1,3）或（2,3）或（5,-3）；

（3）：AO=1,0C=2,0B=4,AB=5,

•''AC—yj|2+22=5/5,8c=422+42=2泥,

：.AC2+BC2=AB2,

...△ABC为直角三角形，即BCJ_AC,

如图，设直线AC与直线8E交于点F,过/作FMLx轴于点

由题意可知NFBC=45°,

.,.ZCFB=45°,

:.CF=BC=2娓,

.♦.迫=3£,即j_=1竺，解得0M=2,匹=££,即2=1星，解得FM=6,

ONCFOM2V5FMAFFM375

：.F(2,6),且B(4,0),

2k+m=6,解得k=-3

设直线BE解析式为y-kx+m,则可得

4ktm=0m=12

直线BE解析式为丫=-3x+12,

y=-3x+12

联立直线BE和抛物线解析式可得4y=-p4x+2，解得

：.E(5,-3),

；•B£=V(5-4)2+(-3)2=VIO-

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆

定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分

类讨论思想等知识.在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得O点的纵坐标是

解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键.本题考查知识点较

多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度.

18.（2021•广州）已知抛物线y=7-（m+1）x+2m+3.

（1）当"?=0时，请判断点（2,4）是否在该抛物线上；

（2）该抛物线的顶点随着机的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点

坐标；

（3）已知点E（-l,-1）、F（3,7）,若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物

线顶点横坐标的取值范围.

【考点】二次函数综合题.

【专题】综合题；函数思想；待定系数法：函数的综合应用；运算能力；应用意识.

【分析】（1）当m=0时，抛物线为y=7-x+3,将x=2代入得y=5,故点（2,4）不

在抛物线上；

22

（2）抛物线y=W-（〃?+1）x+2〃?+3的顶点为（三包，口飞处以）,而H+§咽］

244

=-1（nz-3）2+5,即得〃?=3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标

4

为：（2,5）；

v=2x+1

⑶求出直线EF的解析式为产2x+l,由|得直线y=2x+l与

y=x2-（m+l）x+2m+3

抛物线y=7-5+1）x+2m+3的交点为：（2,5）和（加+1,2m+3）,因（2,5）在线

段E尸上，由已知可得（机+1,2m+3）不在线段EF上，即是机+1<-1或机+1>3,或

（2,5）与（血+1,2,什3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点=空1<或x项点=空1

222

>茎或X项点=1.

2

【解答】解：（1）当加=0时，抛物线为y=/-x+3,

将x=2代入得y=4-2+3=5,

・,•点（2,4）不在抛物线上；

（2）抛物线y=/-（w+1）x+2祖+3的顶点为（处且，4（2m+3）-［-（m+l）］）,

24

2

化简得(Wtl,.Zjn+6m+U..),

24

顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，

2

而-m+6m+ll=-工(S-3)2+5,

44

；.皿=3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，

此时顶点坐标为：(2,5)；

(3)设直线E/解析式为将E(-1,-1)、尸(3,7)代入得：

卜卜-k+b,解得卜=2,

l7=3k+bIb=l

直线EF的解析式为y=2x+\,

由F=2x：l得"x=2或ym+1,

,y=x2-(m+l)x+2m+3Iy=5ly=2m+3

二直线y=2x+l与抛物线丫=/-(加+1)x+2,"+3的交点为：(2,5)和(m+\,2m+3),

而(2,5)在线段EF上，

若该抛物线与线段EF只有一个交点，则(〃计1,2〃?+3)不在线段EF上，或(2,5)

与(m+1,2m+3)重合，

：.m+]<-1或〃?+1>3或〃?+1=2(止匕时2"+3=5),

，此时抛物线顶点横坐标'顶点=三包<-』或工顶点=三包>3或》顶点=三包=上旦=1.

222222

【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与

线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标.

19.(2020•广东)如图，抛物线旷=老返岸+以+。与x轴交于A,B两点，点A,B分别位

6

于原点的左、右两侧，BO=3AO=3,过点8的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为

C,D,BC=^CD.

(1)求b,c的值；

(2)求直线BQ的函数解析式；

(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点。在射线84上.当△A8O与△BPQ

相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.

y

【考点】二次函数综合题.

【专题】二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力;

应用意识.

【分析】(1)先求出点A,点8坐标，代入交点式，可求抛物线