2024七年级数学上册第二章有理数的运算2.1有理数的加法与减法2.1.1有理数的加法课件新版新人教版

2.1有理数的加法与减法第二章有理数的运算2.1.1有理数的加法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2有理数的加法法则有理数加法的运算律知识点有理数的加法法则知1－讲11.有理数加法法则(1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.知1－讲(2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.同号两数相加：绝对不相等的异号两数相加：知1－讲(3)一个数与0相加，仍得这个数.知1－讲2.有理数加法运算的各种情况如下表和用字母表示符号绝对值同号两数相加取相同的符号取相同的符号若a﹥0，b﹥0，则a＋b=＋(|a|＋|b|)若a﹤0，b﹤0，则a＋b=－(|a|＋|b|)知1－讲异号两数相加绝对值不相等取绝对值较大的加数的符号相减(大减小)若a﹥0，b﹤0，且|a|﹥|b|，则a＋b=＋(|a|－|b|)若a﹤0，b﹥0，且|a|﹥|b|，则a＋b=－(|a|－|b|)互为相反数0若a﹥0，b﹤0，且|a|=|b|，则a＋b=0一个数与0相加仍得这个数a＋0=a知1－讲3.有理数加法运算的步骤知1－讲特别提醒1.若a＋b=0，则a=－b.2.若a＋b=0，且a≥0，b

≥0，则a=b=0.例：若|m－1|＋|n＋2|=0，则有m－1=0，n＋2=0.3.两个有理数相加，和是一个有理数.4.任何数加上一个正数，和都比原数大.知1－讲特别解读1.若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能：(1)两个都是正数；(2)一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；(3)一个是正数，一个是0.2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能：(1)两个都是负数；(2)一个是正数、一个知1－练例1

解题秘方：先确定两个数相加的类型，然后根据法则计算.知1－练

知1－练

B知1－练下列说法错误的是()A.两个有理数的和一定大于任何一个加数B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数中至少有一个是正数C.若两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反数D.两个异号有理数相加，和可能是正数也可能是负数或0例2知1－练解题秘方：结合有理数的加法法则进行辨析.解：A.错误，例如，(－3)＋1=－2，(－3)＋(－1)=－4，(－3)＋0=－3.答案：A知1－练特别提醒：有理数加法的结果：可正，可负，可为零，可能比两个加数都大，如3＋5=8；可能比两个加数都小，如(－3)＋(－5)=－8；可能比一个加数大，比另一个加数小，如(－3)＋5=2.知1－练2-1.[期中·杭州拱墅区]已知x

＞0，y

＜0，且|x|＜|y|，则x＋y

的值是(

)A．零 B．正数C．负数 D．非负数C知1－练2-2.[期中·北京西城区]已知两个有理数的和比其中任何一个加数都小，则一定是(

)A．这两个有理数同为正数B．这两个有理数同为负数C．这两个有理数异号D．这两个有理数中有一个为零B知2－讲知识点有理数加法的运算律21.有理数加法的运算律运算律文字叙述用字母表示加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a＋b=b＋a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变(a＋b)＋c=a＋(b＋c)知2－讲2.加法运算律的运用技巧(1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；(3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”；(4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”；(5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”.知2－讲特别提醒1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加.2.利用有理数的加法交换律交换加数位置时，各加数要连同其性质符号一起交换.3.根据需要灵活利用加法运算律，可以达到简化计算的目的.知2－练

例3解题秘方：先找相反数，然后利用加法交换律和结合律将相反数结合计算.

知2－练

知2－练计算：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)例4解题秘方：先把正数、负数分别结合，再计算.知2－练解：(＋13)＋(－12)＋(＋37)＋(－78)=(＋13)＋(＋37)＋(－12)＋(－78)=[(＋13)＋(＋37)]＋[(－12)＋(－78)]=(＋50)＋(－90)=－40.加法交换律加法结合律加法结合律同号两数相加同号两数相加异号两数相加知2－练4-1.计算：(1)41＋(－22)＋(－33)＋19；(2)(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4).解：41＋(－22)＋(－33)＋19＝(41＋19)＋[(－22)＋(－33)]＝60＋(－55)＝5；(－2)＋3＋1＋(－7)＋2＋(－4)＝[(－2)＋(－7)＋(－4)]＋(3＋1＋2)＝(－13)＋6＝－7.知2－练

例5解题秘方：将同分母的分数通过交换结合在一起，再计算.

知2－练方法点拨：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简便运算的效果，简称“同形结合法”.知2－练

知2－练

例6解题秘方：将能凑成整数的加数进行交换结合，再计算.

知2－练方法点拨：多个有理数相加时，把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便，这种方法简称“凑整法”.知2－练

原式＝[(－18.35)＋(－3.65)]＋[(＋6.15)＋(－18.15)]＝(－22)＋(－12)＝－34.知2－练

例7解题秘方：先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.知2－练

知2－练

知2－练方法点拨：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合相加，但拆数时应特别注意负的带分数应拆成负整数与负分数的和.•••••••知2－练

知2－练

有理数的加法有理数的加法转化两个数相加多个数相加加法法则加法运算律题型有理数加法与相反数、绝对值的综合1[期中·汕头潮南区]若a与b互为相反数，c的绝对值为1，则a＋b＋c的值为(

)A.0 B.1 C.－1 D.±1例8类型1与相反数、绝对值的代数意义相结合思路引导：解：因为a与b互为相反数，所以a＋b＝0.因为c的绝对值为1，所以c＝±1.当c＝1时，a＋b＋c＝0＋1＝1；当c＝－1时，a＋b＋c＝0＋(－1)＝－1.答案：D特别提醒1.解含绝对值的问题时，由于正负不定，因此要进行分类讨论.2.分类时，注意不要漏掉任何一种情况.已知|a＋4|＋|3－b|＝0，则a＋b＝________．例9类型2与绝对值的非负性相结合解题秘方：几个非负数的和为0时，这几个非负数都等于0.解：因为|a＋4|＋|3－b|＝0，所以|a＋4|＝0，|3－b|＝0，所以a＋4＝0，3－b＝0，即a＝－4，b＝3，则a＋b＝(－4)＋3＝－1．答案：－1解题关键绝对值具有非负性，在解题中起着关键的作用.题型有理数加法与数轴的综合2若有理数a，b，c在数轴上的位置如图2.1－1所示，则下列结论中错误的是()

图2.1－1A.a＋b<0 B.b＋c<0C.a＋b＋c<0 D.|a＋b|＝a＋b例10思路引导：解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置可知，a>0，b<0，c<0，且|c|>|b|>|a|，所以a＋b<0是正确的，b＋c<0是正确的，a＋b＋c<0也是正确的.因为|a＋b|>0，而a＋b<0，所以选项D是错误的.答案：D规律总结在数轴上，利用数形结合思想，一般可读出三个方面的信息：1.对应点所表示的数是正数还是负数；2.对应点到原点的距离，即绝对值的大小；3.对应点表示的数的大小关系，即数轴上的数从左往右越来越大.题型有理数加法与程序框图的综合3

[期末·重庆綦江区]按如图2.1－2所示的程序输入－2进行计算，输出的结果是(

)

A.4 B.5 C.6 D.7例11思路引导：解：由题意可得，当输入－2时，－2＋4＋(－3)＋1＝0<2，0＋4＋(－3)＋1＝2＝2，2＋4＋(－3)＋1＝4>2.即当输入－2时，输出的结果是4.答案：A方法点拨1.解决程序计算的关键是搞清计算的顺序和输出规则.2.本题也可以将中间3步简化为＋2进行计算判断.题型利用有理数加法法则解决实际问题4情境题飞行表演应我国邀请，俄罗斯特技飞行队在黄山风景区进行特技表演.其中一架飞机起飞后的高度变化如下表：(1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？(2)若飞机平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，则这架飞机在此时一共消耗多少升燃油？(3)某架飞机从地面起飞后先上升5km，然后做了两个特技动作表演，这两个动作产生的高度变化分别是0.6km和1.8km，求这两个特技动作表演结束后，飞机离地面的高度.例12高度变化上升5.5km下降3.2km上升1km下降1.5km下降0.8km记作＋5.5km－3.2km＋1km－1.5km－0.8km思路引导：解：(1)5.5＋(－3.2)＋1＋(－1.5)＋(－0.8)＝1(km).答：此时这架飞机比起飞点高了1km．(2)(5.5＋1)×4＋(3.2＋1.5＋0.8)×2＝26＋11＝37(L).答：这架飞机在此时一共消耗37L燃油．(3)5＋0.6＋1.8＝7.4(km)；5＋0.6＋(－1.8)＝3.8(km)；5＋(－0.6)＋(－1.8)＝2.6(km)；5＋(－0.6)＋1.8＝6.2(km).答：飞机离地面的高度为7.4km或3.8km或2.6km或6.2km．方法点拨1.对于运动型实际问题，画出线段图可以更加直观地分析问题.2.加上一个负数在实际问题中的意义等同于小学学习的减法.题型利用有理数加法法则解决实际问题5

例13

(2)两数同号或其中一数为0时，绝对值的和等于两数和的绝对值；两数异号时，绝对值的和大于两数和的绝对值.所以两数的绝对值的和大于或等于两数和的绝对值．即当a，b为有理数时，|a|＋|b|≥|a＋b|．(3)因为|x|＋5＝|x|＋|－5|＝|x＋(－5)|，所以x≤0．错题通法求两个数的绝对值的和，与这两个数的和的绝对值的关系的步骤:第一步：求出两数的绝对值的和；第二步：求出两数和的绝对值；第三步：比较绝对值的和与和的绝对值的大小.易错点已知和的情况判断加数的情况有误下列说法正确的是(

)A.两个有理数的和一定大于任何一个加数B.若两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反数C.若两个有理数的和为负数，则这两个有理数一定都是负数D.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数一定都是正数错解：A或C或D例14正解：结合有理数的加法法则进行辨析，也可以运用特殊值法进行判断，但是举例要全面.设两个有理数为a，b.当a＝2，b＝－1时，a＋b＝2＋(－1)＝1，1<2，故A，D错误；当a＝1，b＝－2时，a＋b＝1＋(－2)＝－1，故C错误；当a＋b＝0时，a＝－b，故B正确.答案：B诊误区由和的符号判断加数符号时，要分两数同号、异号和一个加数为0几种情况进行讨论.考法利用有理数加法直接运算1[中考·温州]如图2.1－3，比数轴上点A表示的数大3的数是(

)图2.1－3A.－1 B.0 C.1 D.2试题分析：本题考查有理数加法的应用，熟练掌握加法法则是解题关键.解：由数轴可得，点A表示的数是－1，则比数轴上点A表示的数大3的数是(－1)＋3＝2.答案：D例15考法利用数轴判断和的符号2[中考·新疆]有理数a，b在数轴上的位置如图2.1－4所示，下列结论中正确的是(

)

图2.1－4A.a＞b B.|a|＞|b|C.－a＜b D.a＋b＞0例16试题评析：本题主要考查数轴的特征在有理数的加法法则中的应用，正确结合数轴分析是解题关键.解：A.a<b，故此选项错误；B.|a|>|b|，故此选项正确；C.－a>b，故此选项错误；D.因为|a|>|b|，且a<0，b>0，所以a＋b<0，故此选项错误.答案：B1.[中考·武汉]温度由－4℃上升7℃是(

)A.3℃ B.－3℃ C.11℃ D.－11℃A2.新考法分类讨论法已知|a|＝1，b是2的相反数，则a＋b的值为(

)A.－3 B.－1C.－1或－3 D.1或－3C3.如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是(

)

A.a>b B.a＋b<0C.a＋b＝0 D.a＋b>0B4.新考法推理辨析法关于“三个有理数的和为0”这个话题，数学活动小组成员甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法：甲：这三个有理数可能都是0；乙：这三个有理数中一定有两个数互为相反数；丙：这三个有理数中最多有两个正数；丁：这三个有理数中最少有两个负数.其中看法正确的是(

)A.甲、乙、丙、丁 B.甲、乙、丙C.甲、丙 D.乙、丙、丁C5.新考法分组求和法计算：1＋(－2)＋3＋(－4)＋5＋(－6)＋…＋2023＋(－2024)＝_______.－10126.若a﹥0，b﹤0，且a＋b﹥0，则|a|_______|b|(填“﹥”“﹤”或“＝”).7.[期中·常州武进区]已知|x|＝2，|y|＝3，且x﹥y，则x＋y的值是________.＞－1或－5

原式＝(24＋7)＋[(－15)＋(－20)]＝31＋(－35)＝－4；

9.母题教材P29例3有一批食品罐头,标准质量为每瓶454g，先抽取10瓶样品进行检测，结果(单位：g)如下：求这10瓶罐头的总质量．瓶号12345678910质量444459454459454454449454459464解：方法一(直接计算)：这10瓶罐头的总质量为：444＋459＋45