22人教版高中数学新教材选择性必修第二册-5.1.2-导数的概念及其几何意义

5.1.2导数的概念及其几何意义课标解读课标要求素养要求1.了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达;⒉.通过函数图象直观理解导数的几何意义.1.数学抽象——能通过瞬时变化率了解导数的概念;2.直观想象——能根据图形和导数的几何意义求切线斜率.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量为我们把比值ΔyΔx，即ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(要点二导数的概念与表示如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处的②导数(也称为瞬时变化率),记作③f'(x要点三切线如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0自主思考1.自变量的变化量Δx能否为0?答案：提示由平均变化率的定义可知,|Δx|可以很小,但是Δx≠0.2.已知函数y=2x2,当x=a,Δx→0时，答案：提示当x=a时，ΔyΔx∵Δx→0,∴ΔyΔx无限趋近于名师点睛1.关于导数的概念的理解基于瞬时速度与切线斜率的计算公式具有共同点,即瞬时速度是平均速度的极限,切线斜率是割线斜率的极限,所以导数概念是瞬时速度与切线斜率的数学抽象与概括,表示为f'2.导数的物理意义与几何意义（1）导数的物理意义就是位移时间函数s=s(t)在t=t0时刻的瞬时速度,同理也是速度时间函数v=v(t)在（2）导数的几何意义就是曲线y=f(x)在x=x割线斜率k(P切线斜率k0（切点Pk=Δyk03.导数定义公式的两种等价形式导数的定义公式为f'若令x=x0+Δx,得Δx=x−互动探究·关键能力探究点一变化率与导数的概念精讲精练例1已知函数f(x)=2x+3,则f(−1)=1，的值为()A.1B.2C.3D.-3答案：C解析：因为f(x)=2x+3,所以f(−1)=1,f'=lim=lim所以f(−1)+f例2（多选）下列关于函数f(x)=xA.f(x)在[1,2]的平均变化率为1B.f(x)在x=1处的导数为2C.f(x)在x=1处的瞬时变化率为1D.f(x)在[x1,答案：B;D解析：因为函数y=f(x)在[x1,所以函数f(x)=x2在[1,函数f(x)在x=1处的瞬时变化率即f'解题感悟导数是瞬时速度与切线斜率的数学抽象,其本质是极限思想.解决导数问题运用了由“平均变化率"逼近“瞬时变化率”的思想方法.迁移应用1.（2020辽宁省实验中学高二质检）函数y=1x在x=1到A.23B.−C.−13D.答案：C解析：当x=1时,y=11=1;当x=3时,y=13,所以函数y=1x2.(★)（山东菏泽一中高二质检）已知曲线y=13x3+1上一点A(1,43答案：1;3x−3y+1=0解析：由Δy=1=1=Δx+(Δx)得ΔyΔx则limΔx→0ΔyΔx=lim探究点二求函数在某点处的导数精讲精练例求y=2x2+4x答案：∵Δy=2(3+Δx)∴Δy即y'变式求f(x)=2x2+4x在x=答案：∵Δy=2(xΔyΔx∴limΔx→0Δy由f'(x解题感悟计算函数y=f(x)在x=x（1）先计算函数值的增量：Δy=f(x（2）再计算函数的平均变化率：ΔyΔx（3）最后计算极限：f'迁移应用1.求函数y=x2+1答案：∵Δy=(−3+Δx)ΔyΔx∴lim∴y探究点三导数的几何意义与应用精讲精练类型1求函数的图象在某点处的切线斜率与切线方程例1函数y=x2+x的图象在点P(1,2)处的切线斜率为答案：3;3x−y−1=0解析：解法一：根据导数的几何意义,曲线y=x2+x在点P(1,2)所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.解法二：设曲线y=x2+x在点P(1,2)处的切线斜率为k,则切线方程为y−2=k(x−1),即y=kx+2−k,将其代入y=依题意,Δ=(1−k)2−4(k−2)=(k−3所以切线方程为y−2=3(x−1),即3x−y−1=0.变式若本例函数不变,如何求此抛物线在顶点处的切线方程？过此抛物线顶点的切线有什么特点？答案：函数y=x2+x解法一：函数y=x2+x的图象在顶点(−，所以抛物线在顶点处的切线方程为y=−1解法二：结合图象(图略)可知,抛物线在顶点处的切线是水平的直线,切线方程为y=−1解题感悟导数的几何意义及其应用1.曲线的切线与曲线至少有一个公共点,其中必有一个公共点是切点,所以曲线必过切点,切线必过切点,斜率等于切点处的导数值.2.若曲线的切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以化为一元二次方程,则可以运用一元二次方程的根的判别式等于0求切线斜率.类型2求函数的图象过某点的切线斜率与切线方程例2已知函数y=x3−x（1）求曲线C在点(1,0)处的切线方程;（2）求曲线C过点(1,0)的切线方程.答案：（1）函数y=x3−x=lim=lim所以曲线C在点(1,0)处的切线方程为y=2x−2.（2）设函数y=x3−xk=lim=lim=lim=3x所以切线方程为y−(x所以0−(x03−x所以2(x0−1)(x02+所以P(1,0)或P(−12,38解题感悟过点P(x（1）设切点坐标为Q(x（2）求出函数y=f(x)在x=x0。处的导数（3）利用Q在曲线上和f'(x0)=（4）根据直线的点斜式方程,得切线方程为y−y迁移应用1.求曲线y=x（1）平行于直线y=4x−5;（2）垂直于直线2x−6y+5=0;（3）倾斜角为135∘答案：（1）f'设P(x因为切线与直线y=4x−5平行,所以2x0=4,得x（2）因为切线与直线2x−6y+5=0垂直,所以2x0⋅13（3）因为切线与x轴成135∘的倾斜角,故其斜率为-1,即2x0=−1,解得2.求过曲线y=13x答案：曲线y=13xk=lim若点P(2,83)所以切线方程为y−83=4(x−2)若点P(2,83)不是切点,则设切点为Q(x0,1整理得x03−3x02+4=0,故切线方程为3x−3y+2=0.综上所述,所求切线方程为12x−3y−16=0或3x−3y+2=0.评价检测·素养提升课堂检测1.函数f(x)=3x+2在x=1处的导数为()A.0B.2C.3D.5答案：C2.设函数f(x)在x=1处的导数为2,则limΔx→0A.23B.6C.13D.答案：A3.（★）已知函数y=f(x)的图象在x=3处的切线方程为3x+y−15=0,则f(3)−f'(3)=答案：9解析：由于函数y=f(x)的图象在x=3处的切线方程为3x+y−15=0,所以切线斜率k=f'(3)=−34.已知函数f(x)=2x+5,求f'答案：解法一：∵Δy=[2(x+Δx)+5]−(2x+5)=2Δx,∴Δy∴f'(x)=解法二：因为函数f(x)=2x+5的图象是斜率为2的直线,该直线上每一个点处的切线都是这条直线,所以f'素养演练直观想象——利用数形结合法计算三角形的面积1.求曲线y=1x和y=x解析：审：已知曲线y=1x和y=x联：将曲线方程联立得方程组求交点坐标,利用导数定义求切线斜率和切线方程,也可以运用判别式法求切线斜率,确定切线与x轴围成的三角形的顶点坐标再求面积.答案：解法一：联立两曲线方程y=1解得{x=1,曲线y=1x在点(1,1)处的切线斜率为y'所以曲线y=1x在点(1,1)处的切线方程为y−1=−(x−1),即同理,曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y−1=2(x−1),即两条切线与x轴所围成的图形如图所示（阴影部分）,所以所求三角形的面积S=1解法二：联立两曲线方程y=1x,设曲线y=1x在点(1,1)处的切线斜率为k,切线方程为②y−1=k(x−1),即代入y=1x,得1x依题意,得Δ=(1−k)2+4k=(1+k所以曲线y=1x在点(1,1)处的切线方程为同理,曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为③所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y−1=2(x−1),即两条切线y=−x+2和y=2x−1与x轴所围成的图形如图所示（阴影部分),所以所求三角形的面积S=1思：已知切点求曲线的切线方程的方法：（1）如果切线方程与曲线方程联立所得的方程组可以转化为一元二次方程,那么可以由根的判别式等于零求切线斜率.否则,就利用导数的几何意义计算导数求得斜率.（2）解题时要灵活运用函数图象或几何图形进行计算.迁移应用1.（2021山东枣庄高二质检）已知函数f(x)=x2−2x+1的图象为抛物线C,点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为C（1）求点P的坐标与直线l1（2）若f(x1)=f(x2答案：（1）依题意,切线l1的斜率为k=所以函数f(x)=(x−1)2在f'解得x1=32,则f(x1)=14,所以点P（2）因为f(x1)=f(x2),所以抛物线C：f(x)=(x−1)2在点Q(12,14)处的切线斜率为显然,切线l1与切线l2互相垂直,△PQM为等腰直角三角形,∠PMQ=90∘,|PQ|=1课时评价作业基础达标练1.已知函数f(x)=−x2+xA.3B.0.29C.2.09D.2.9答案：D2.若一质点按位移时间方程s=3+2t做直线运动,则在t=3 sA.1 m/sB.2 C.3 m/sD.4 答案：B3.已知函数f(x)=x2+4x,则f(x)A.1B.2C.3D.4答案：B4.如图,函数f(x)的图象在点P(1,2)处的切线为直线l,且直线l经过原点,则f(1)+fA.1B.2C.3D.4答案：D5.设函数f(x)的导数为f'(x),则A.f'(1)B.C.12f'答案：C6.已知y=x+4,则yA.x+4B.2x+4C.1x+4D.1答案：D解析：Δy=x+Δx+4ΔyΔxlimΔx→0=lim∴y7.（多选）已知函数y=f(x)=3x2−1的图象上一点(1,1)及该点的邻近一点(1+Δx,1+Δy),函数f(x)在x=1A.ΔyΔx=2+ΔxB.C.f'(1)=2D.答案：B;D解析：ΔyΔxf'8.（多选）下列关于导数f'A.f'B.f'C.f'D.f'答案：A;D解析：f'(3)表示函数f(x)在x=3处的瞬时变化率,即令x=3+Δx,得Δx=x−3,由Δx→0,得x→3,于是f'9.（多选）（2020山东济南一中高二期末）过点(2,0)作曲线f(x)=x3的切线l,则直线A.y=0B.x=0C.12x−y−24=0D.27x−y−54=0答案：A;D解析：∵f(x)=x∴f=lim设切点坐标为(x0,∴k=f解得x0=0或当x0=0时,切线方程为当x0=3时,切点为(3,27),斜率k=27,故切线方程为y−27=27(x−3),即10.设函数f(x)=ax+2,若f'(1)=3,则a=答案：311.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8,则f(5)+f'(5)=答案：2解析：由函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=−x+8,得切线斜率k=f'(5)=−1,又由切点P既在函数y=f(x)的图象上又在切线上,得f(5)=312.若f(x)=x3,f'(x0)=3,则x答案：±1;±3解析：∵f=lim∴x由f'(x)=3x2=x0素养提升练13.函数y=x2+x在x=1A.Δx+2B.Δx+3C.2Δx+(Δx)2D.答案：B解析：Δy=(1+Δx)2+(1+Δx)−14.已知函数f(x)=2x2+1A.0B.3C.-6D.7答案：D解析：因为f(x)=2x2+1,所以f(−1)=3=lim所以f(−1)−f15.（2021山东日照一中高二质检）如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f'(3)=,limΔx→0答案：1;-2解析：由导数的概念和几何意义知,f'limΔx→016.设函数f(x)=1x,求答案：解法一：令x−a=Δx,则x=a+Δx,所以limx→a=lim解法二：limx→alimx→a17.求曲线y=x2+x答案：解法一：设曲线y=x2+x过点P(1,1)的切线的斜率为k,则切线方程为y−1=k(x−1),即y=kx+1−k,代入y=x2+x,整理得x2+(1−k)x+k−1=0,依题意,Δ=(1−k)解法二：由于曲线y=x2+x不过点P(1,1),所以设切点坐标为(x0,x=lim=lim所以切线方程为y−(x02+x0)=(2x0+1)(x−x