新教材人教B版高中数学选择性必修第一册第二章第三节圆及其方程-课时练习题含答案解析

2.3圆及其方程文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。TOC\o"1-4"\h\z\u2.3.1圆的标准方程 12.3.2圆的一般方程 72.3.3直线与圆的位置关系 142.3.4圆与圆的位置关系 222.3.1圆的标准方程1.圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为()A.(x+3)2+(y-4)2=4B.(x-3)2+(y+4)2=4C.(x+3)2+(y-4)2=2D.(x-3)2+(y+4)2=2答案A2.方程y=9-x2表示的曲线是A.一条射线 B.一个圆C.两条射线 D.半个圆答案D3.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为()A.72 B.8 C.82 D.10答案A解析∵圆C经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由y=8,故圆的半径为(9-2)4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为()A.(x+2)2+(y-3)2=13B.(x-2)2+(y+3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52答案B解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=(2故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0答案D解析圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0.6.将圆x2+y2=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程为.

答案(x-2)2+y2=27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,5为半径的圆的标准方程是.

答案(x+1)2+(y-2)2=5解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.8.若圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为答案(0,-1)1解析∵圆的方程为x+k22+(y+1)2=1-∴r2=1-34k2>0,rmax=1,此时k=0∴圆心为(0,-1).9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.解设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有(2-即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.10.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:(1)线段AB的垂直平分线l的方程;(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).(1)∵A(-1,2),B(3,4),∴直线AB的斜率kAB=4-∵直线l垂直于直线AB,∴直线l的斜率kl=-1kAB∴直线l的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A(-1,2),B(3,4),∴|AB|=(3+1)2+∴以线段AB为直径的圆的半径R=12|AB|=5.又圆心为C∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.11.方程(x-1)x2+y2-3A.一个圆 B.两个点C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆答案D解析(x-1)x2+y2-3=0可化为x-1=0或x2+y2=3,∴方程(x-12.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=9答案B解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则2x+3y-1=0,3x∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=(-1-∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.13.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,在△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,则该圆的半径r为()A.1 B.2 C.2 D.22答案B解析在△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),可得BC边上的高线、垂直平分线和中线三线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线,可得BC的中点为32,12,直线BC则BC的垂直平分线的斜率为1,所以BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即为x-y-1=0,其“欧拉线”与圆(x-3)2+y2=r2相切,所以圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d=|3-014.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.

答案2解析设C(2+2cosα,2+2sinα),∴AC=(2+2cosα+a,2+2sinα),BC=(2+2cosα-a,2+2sinα),∵∠ACB=90°,∴AC·BC=(2+2cosα)2-a2+(2+2sinα)2=0,∴a2=10+42(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[2,32],∴a的最小值是215.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.

答案x2+(y+1)2=1解析由已知圆(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),则b解得a所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.解要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.17.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为214,求圆C的方程.解设圆心C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为|2由半径、弦心距、半弦长的关系得4y02=14+∴y0=±2.当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.18.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A-12,0,点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|答案10解析如图,取点K(-2,0),连接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=∴|OK||又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|MK|∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=(-219.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.解(1)设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=32则d=|3-1+m|2=32.3.2圆的一般方程1.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.(0,+∞) D.(1,+∞)答案B解析当a≠0时,方程为x-2a-2a2+y+2a2=4(a2-2a+2)a2当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).2.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.2 B.22 C.1 D.答案D解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=|1+23.方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)答案D解析原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0,∴x+a=0,y+b=04.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为x+a22+(y-a)2=-34a2-3a,故圆心坐标为-a2,a,r又r2>0,即-34a2-3a>0,解得-4<a<故该圆的圆心在第四象限.5.已知圆C:x2+y2+4x=0的圆心和圆上两点A,B间的连线构成等边三角形,则AB中点M的轨迹方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=3C.(x+1)2+y2=2D.(x+2)2+y2=3答案D解析圆C:x2+y2+4x=0⇒(x+2)2+y2=4,所以圆心C(-2,0),半径r=2,因为△ABC为等边三角形,且AC=BC=2,所以AB=2,MC=3,所以点M的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径为3的圆.所以AB中点M的轨迹方程是(x+2)2+y2=3.6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C':x2+(y-3)2=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程是.

答案x2+y2-8x+2y-1=0解析设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方程为x+y-3=0,设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则C点坐标为-D则-D2所以圆C的一般方程是x2+y2-8x+2y-1=0.7.已知直线与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为.

答案x-y+1=0解析易知圆心P的坐标为(-1,2).∵AB的中点Q的坐标为(0,1),∴直线PQ的斜率kPQ=2-1∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.8.若圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心C到直线l的距离为2,且l与直线3x+4y-1=0平行,则直线l的方程为.

答案3x+4y+5=0或3x+4y-15=0解析由题得圆心为(-1,2).设所求的直线方程为3x+4y+D=0,由点到直线的距离公式,得|3×(-1)+4×2+D|32+42=2,即|5+D|5=2,解得D=5或-9.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,①(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,②由①②可得a=2,r2=10.故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5.10.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解圆心C的坐标为-D因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-又r=D2+E2-122=2,所以由①②可得D又圆心在第二象限,所以-D2<0,即D>0,所以所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.11.若a∈-2,0,1,23,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3答案B解析根据题意,若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆,则有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得-2<a<23,又由a∈-2,0,1,23,则a=0.所以方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为1.12.(多选)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()A.圆M的圆心为(4,-3)B.圆M被x轴截得的弦长为8C.圆M的半径为25D.圆M被y轴截得的弦长为6答案ABD解析圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.13.已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是()A.4 B.2 C.22 D.答案B解析把点(a,b-2)代入直线方程得a2+b(b-2)-3=0,即a2+(b-1)2=4,即点P(a,b)在圆x2+(y-1)2=4上,∵02+(0-1)2<4,∴原点在圆x2+(y-1)2=4内,如图所示,圆x2+(y-1)2=4的圆心为C(0,1),半径为r=2,原点到点P的距离为|OP|,由三角不等式可得||PC|-|OC||≤|OP|≤|PC|+|OC|,即1≤|OP|≤3,∴B选项合乎要求.14.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1答案C解析设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),∵Q(3,0),∴x=x1+32,y=y1+02,又点P在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,故选C.15.已知圆x2+y2+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围是.

答案(-∞,8)解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆的方程化为标准方程为(x+2)2+(y-3)2=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F=.

答案0解析易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为0,52,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得17.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆M过点A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),所以a2+aE+F=0,3a所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+y=0,x2+y2+3y=0,解得18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.解(1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为|1+2所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为24-2=2(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,所以x1+x2=85,x1x2=4因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=0,所以54×4(m-4)5-85+19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题:①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件;②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1;③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标原点,则|OA-OB|④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为3π其中所有正确命题的序号是.

答案①③解析①圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0中,应有4+E2-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E2-4F>0,曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故①正确;②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则x1,x2是x2+2x+F=0的两根,Δ=4-4F>0,解得F<1,故②不正确;③由②知,|OA-OB|=|BA|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=4-4F,故当F=0,即x1=2,x2=0,④由于E=2F,则圆的半径的平方为14(4+E2-4F)=14(4+4F2-4F)=则圆面积有最小值,无最大值,故④不对.20.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W:x2+y4=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.解(1)由题意,t=-2.由于△ABC为锐角三角形,外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则4-2∴△ABC的最小覆盖圆的方程为x2+y2-3x-4=0.(2)∵DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,∴DB的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.又∵|OA|=|OC|=2<4,∴点A,C都在圆内.∴四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=16.(3)由题意,曲线W为中心对称图形.设曲线W上一点P的坐标为(x0,y0),则x02+∴|OP|2=x02+y02,且-2故|OP|2=x02+y02=∴当y02=12时,∴曲线W的最小覆盖圆的方程为x2+y2=6542.3.3直线与圆的位置关系1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切答案D解析圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1,由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由x+y=0,x+3y+2=0,代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.2.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为()A.32 B.1 C.3 D.2答案C解析根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l,其方程为y=tan30°(x-1),即y=33(x-1),变形可得x-3y-1=圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1,设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=|2-1|1+3=12,则3.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y-2=0 B.x+2y-5=0C.2x-y=0 D.x-1=0答案B解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-即x+2y-5=0.4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()A.0或4 B.0或3C.-2或6 D.-1或3答案A解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所以圆心到直线的距离d=22-2222=2.又d=|a-2|25.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍,则m等于()A.6 B.8 C.11 D.9答案D解析圆C:x2+y2+2x-2y-6=0可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为22,由题意可知,圆心到直线的距离d=|1+m|∵m>0,∴m=9.6.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为;由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为.

答案6解析圆C:x2+y2=2的圆心坐标为C(0,0),半径r=2.圆心C到直线x+y+1=0的距离d=|1∴直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为2(2)2-222=6.圆心C到直线x+y+3=0的距离d1=|3|2=7.已知对任意实数m,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m分别与圆C:(x-1)2+(y-m)2=1相交于A,C和B,D,则四边形ABCD的面积为.

答案2解析由题意,直线l1:3x+2y=3+2m和直线l2:2x-3y=2-3m交于圆心(1,m),且互相垂直,∴四边形ABCD是正方形,∴四边形ABCD的面积为4×12×1×1=28.过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是.

答案x+y-8=0解析将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.∵kAM=5-43-2=1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即9.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.解因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有|3b-b|22+(7)2=9b2,解得b=±1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+10.已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线l过原点O.(1)若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若AP⊥BP,求直线l的方程.解(1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,得|2k-2|k2+1=3,整理为k2-8(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线l的方程为y=kx.联立方程(消去y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1由PA=(x1+2,y1),PB=(x2+2,y2),则PA·PB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,代入化简得PA·PB=5k2+1-8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,由AP11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C解析化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,∵圆心到直线l:x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|1结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.12.(多选)已知点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,若∠PAQ的最大值为60°,则点A的坐标可以是()A.(4,6) B.(2,8)C.(6,4) D.(8,2)答案AD解析点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)2+(y-2)2=4上的动点,如图,圆的半径为2,所以直线上的A到圆心的距离为4,结合图形,可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意.13.设圆C:x2+y2-2x-3=0,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的最大值为()A.10 B.23 C.4 D.26答案C解析化圆C:x2+y2-2x-3=0为(x-1)2+y2=4,连接AC,BC,设∠CAB=θ0<θ<π2,连接PC与AB交于点D,∵AC=BC,△PAB是等边三角形,∴D是AB的中点,得PC⊥AB,在圆C:(x-1)2+y2=4中,圆C的半径为2,|AB|=4cosθ,|CD|=2sinθ,∴在等边△PAB中,|PD|=32|AB|=23cosθ∴|PC|=|CD|+|PD|=2sinθ+23cosθ=4sinθ+π314.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则圆心坐标为,四边形ABCD的面积为.

答案(1,3)102解析圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,易知点E在圆内,由圆的性质可知最长弦|AC|=210,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,且与AC垂直,设点F为其圆心,坐标为(1,3).故|EF|=5,∴|BD|=210-(5)2∴S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=10215.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=-x2-4x-3+1有公共点答案9解析曲线y=-x2-4x-3+1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.∵直线l∴在点B处有|k(-2-1)+4-1|k2+(-1)2=16.过点P(4,-4)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l的方程.解∵圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=52,∴圆心C(1,2),半径r=5.由圆的几何性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形,∴圆心到直线l的距离d=r2-|AB|22=5∵l过点P(4,-4),∴直线l的方程为x=4.点C(1,2)到直线l的距离d=|4-1|=3,满足题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0,∴|k-2-4k∴直线l的方程为y+4=-34(x-即3x+4y+4=0.综上所述,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.17.直线y=kx与圆C:x2+y2-6x-4y+10=0相交于不同的两点A,B,当k取不同实数值时,求AB中点的轨迹.解设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+y12-6x1-4y1x22+y22-6x2-4y2+①-②得(x12-x22)+(y12-y22)-6(x1-x设AB的中点坐标为(x,y),则x1+x2=2x,y1+y2=2y.代入上式,有2x(x1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0,即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0.所以x-3y-2=-又因为y=kx,④由③④得x2+y2-3x-2y=0.故所求轨迹为圆x2+y2-3x-2y=0位于圆C:x2+y2-6x-4y+10=0内的一段弧.18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,则实数k的取值范围是.

答案-解析∵|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为5,∴AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为(5)则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4.∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D',∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4.要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,则|k+1-5k|k2+1-2≥1,解得k≤4-619.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)和圆C:x2+y2-8x-6y+5=0.(1)求证:直线l恒过一定点M;(2)试求当m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最短;(3)在(2)的前提下,直线l'是过点N(-1,-2)且与直线l平行的直线,求圆心在直线l'上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程.(1)证明由直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+x+y-4=0,联立2x+y-7=0,x+y(2)解要使直线l被圆C所截得的弦长最短,则l⊥CM,化圆C:x2+y2-8x-6y+5=0为(x-4)2+(y-3)2=20,可得C(4,3),则kCM=3-14-3=2,∴-2m+1(3)解由(2)得,直线l':y+2=-12(x+即x+2y+5=0.如图,过C与直线x+2y+5=0垂直的直线方程为y-3=2(x-4),即2x-y-5=0.联立x+2y而C到直线x+2y+5=0的距离d=|4+6+5|5=35,∴所求圆的半径为35-故圆心在直线l'上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=5.2.3.4圆与圆的位置关系1.设r>0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切 B.相交C.内切或内含 D.外切或外离答案D解析两圆的圆心距为d=(1-0)2+(-3所以两圆不可能外切或外离,故选D.2.两圆C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析两圆C1:x2+y2=16,圆心C1(0,0),半径为4,C2:x2+y2+2x+2y-7=0,其标准方程为(x+1)2+(y+1)2=9,圆心C2(-1,-1),半径为3,圆心距|C1C2|=2,|4-3|<2<|4+3|,即两圆相交,所以公切线恰有两条.3.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B.42 C.8 D.82答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a-b4.过点M(2,-2)以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是()A.x2+y2-154x-12=0 B.x2+y2-154x+C.x2+y2+154x-12=0 D.x2+y2+154x+答案A解析设经过圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是x2+y2-5x+λ(x2+y2-2)=0,再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=13故要求的圆的方程为x2+y2-154x-12=5.若圆x2+y2=r2与圆x2+y2+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是()A.r<5+1 B.r>5+1C.|r-5|≤1 D.|r-5|<1答案C解析由x2+y2+2x-4y+4=0,得(x+1)2+(y-2)2=1,两圆圆心之间的距离为(-1∵两圆有公共点,∴|r-1|≤5≤r+1,∴5-1≤r≤5+1,即-1≤r-5≤1,∴|r-5|≤1.6.已知两圆(x+2)2+(y-2)2=4和x2+y2=4相交于M,N两点,则|MN|=.

答案22解析由题意可知直线MN的方程为(x+2)2+(y-2)2-x2-y2=0,即lMN:x-y+2=0,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d=22=2,所以|MN|=2r2-d2=7.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1外离,则a,b满足的条件是.

答案a2+b2>3+22解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2和(0,b),1.因为两圆外离,所以a2+b2>2+1,即a2+b28.若☉O1:x2+y2=5与☉O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.

答案4解析由题知O1(0,0),O2(m,0),半径分别为5,25,根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和,即5<m<35.又O1A⊥O2A,所以有m2=(5)2+(25)2=25,∴m=±5.再根据S△AO1O2=12·|AO1|·|AO2|=12|O1O2|·9.已知圆O1:x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=22,求圆O2的方程.解设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+r22-8=0,作O1H⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=12|AB|=2,所以|O1由圆心O1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=0的距离为|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)10.已知圆x2+y2-2x-6y-1=0和圆x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为11和两圆圆心之间的距离d=(5-1(1)当两圆外切时,5=11+解得m=25+1011.(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故只有61-m-11=5,解得m=25(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2(11)2-11.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是()A.1 B.-3 C.5 D.-7答案A解析圆C的方程为(x-3)2+y2=1,则圆心C(3,0).设y轴上一点A(0,b),当以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点时,满足3-1≤|CA|≤3+1,即2≤(0-所以2≤9+b2化简得b2≤7,∴-7≤b≤7,∴A的纵坐标可以是1.12.已知函数f(x)=bx-b2-14(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,则f(n)A.[-3,2] B.[3,2+3]C.[2-3,3] D.[2-3,2+答案D解析f(可以看作点(m,n)与点b+14b,b+14b连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)点b+14b,b+14b当过点(1,1)作圆(x+1)2+(y+1)2=2的切线,此时两条切线的斜率分别是f(n两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为π6,两条切线的倾斜角分别为π故所求直线的斜率的范围为[2-3,2+3].13.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆上存在点P,使得∠APB=90°,则m的取值范围是.

答案[4,6]解析设点P的坐标为(x,y),∵∠APB=90°,且坐标原点O为AB的中点,∴|OP|=12|AB|=m,则点P的轨迹方程为x2+y2=m2由题意可知,圆x2+y2=m2与圆C有公共点,且圆心C(3,4),则|m-1|≤|OC|≤m+1,即|m-1|≤5≤m+1.∵m>0,解得4≤m≤6.因此,实数m的取值范围是[4,6].14.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x2+y2=14上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为答案4解析∵P(t,t-1),∴P点在直线y=x-1上,作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1的方程为(x-1)2+(y+1)2=14,所以E'在圆O1上,∴设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.15.与圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+(y+4)2=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程是.

答案x-11解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圆半径为1.由已知可知所以所求圆的方程为x-11516.已知圆C1:x2+y2=5与圆C2:x2+y2-4x+3=0相交于A,B两点.(1)求过圆C1的圆心与圆C2相切的直线方程;(2)求圆C1与圆C2的公共弦长|AB|.解(1)已知圆C1:x2+y2=5的圆心坐标为(0,0),