2024年高考数学学霸纠错笔记三角函数含解析

不能正确理解三角函数的定义角α的终边落在直线y＝2x上，则sinα的值为A．－eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(2\r(5),5)【错解】选C.在角的终边上取点P(1,2)，∴r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，故选C．【错因分析】当角的终边在一条直线上时，应留意到角的终边为两条射线，所以应分两种状况处理，而错解中没有对两种状况进行探讨导致错误．【试题解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，∴，∴sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5).故选D．【参考答案】D1．定义设是一个随意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上随意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．留意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，则的值是A．2 B．−2 C． D．【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边在射线上，设终边上的点，依据三角函数的定义可得，故选A．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题．利用同角三角函数基本关系式时忽视参数取值已知cosθ＝t，求sinθ、tanθ的值．【错解】①当0<t<1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(1－t2),t)；θ为第四象限角时，sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(1－t2),t).②当－1<t<0时，θ为其次或第三象限角.θ为其次象限角时，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(1－t2),t)；θ为第三象限角时，sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(\r(1－t2),t).综上，，.【错因分析】上述解法留意到了θ的余弦值含有参数t，依据余弦函数的取值范围对t进行分类探讨，但上述探讨不全面，漏掉了许多状况，如t＝－1，t＝0，t＝1.【试题解析】①当t＝－1时，sinθ＝0，tanθ＝0；②当－1<t<0时，θ为其次或第三象限角.若θ为其次象限角，则sinθ＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(\r(1－t2),t)；若θ为第三象限角，则sinθ＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(－\r(1－t2),t).③当t＝0时，sinθ＝1，tanθ不存在或sinθ＝－1，tanθ不存在．④当0<t<1时，θ为第一或第四象限角.若θ为第一象限角，则sinθ＝eq\r(1－t2)，tanθ＝eq\f(\r(1－t2),t)；若θ为第四象限角，则sinθ＝－eq\r(1－t2)，tanθ＝－eq\f(\r(1－t2),t).⑤当t＝1时，sinθ＝0，tanθ＝0.综上得：【参考答案】见试题解析.1．①利用可以实现角的正弦、余弦的互化；②利用可以实现角的弦切互化．2．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）．3．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特殊留意推断符号．2．已知，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，又，，故选A.【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，易错点是忽视角所处的范围，造成符号错误．不能精确运用诱导公式进行化简求值若sinθ＝eq\f(\r(3),3)，求的值．A． B．C． D．【错解】选A.原式＝＋eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＝－eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＋eq\f(cosθ,cosθsinθ＋cosθ)＝0.【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(eq\f(3π,2)－θ)＝－cosθ，sin(eq\f(3π,2)＋θ)＝－cosθ，cos(π－θ)＝－cosθ，cos(π＋θ)＝－cosθ.【试题解析】原式＝＋eq\f(cosθ,－cosθcosθ＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,sin2θ)，因为sinθ＝eq\f(\r(3),3)，所以所求三角函数式的值为.【参考答案】C1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确推断．求随意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，详细步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．运用诱导公式时肯定要留意三角函数值在各象限的符号，特殊是在详细题目中出现类似的形式时，须要对k的取值进行分类探讨，从而确定出三角函数值的正负．3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式．利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简洁，能求值的要求出值．4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.3．若角的终边经过点，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由诱导公式可得，又角的终边经过点，所以，所以．故选C．要作出正确选择，需细致选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．不能正确理解三角函数图象变换规律为得到函数y＝cos(2x＋eq\f(π,3))的图象，只需将函数y＝sin2x的图象A．向左平移eq\f(5π,12)个长度单位 B．向右平移eq\f(5π,12)个长度单位C．向左平移eq\f(5π,6)个长度单位 D．向右平移eq\f(5π,6)个长度单位【错解】选B.y＝cos(2x＋eq\f(π,3))＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))＝sin2(x＋eq\f(5π,12))，因此向右平移eq\f(5π,12)个长度单位，故选B．【错因分析】没有留意到变换方向导致了错解，目标是y＝cos(2x＋eq\f(π,3))的图象．【试题解析】y＝cos(2x＋eq\f(π,3))＝sin(2x＋eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))＝sin(2x＋eq\f(5π,6))＝sin2(x＋eq\f(5π,12))，因此将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(5π,12)个长度单位即可．故选A．【参考答案】A函数图象的平移变换解题策略（1）对函数y=sinx，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.（2）留意平移前后两个函数的名称是否一样，若不一样，应用诱导公式化为同名函数再平移.4．函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是A．函数为奇函数B．函数为偶函数C．函数的图象的对称轴为直线D．函数的单调递增区间为【答案】D【解析】由函数（其中，）的部分图象.可知，由，得，所以，代入点得，解得，取，得可得，将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象，由函数解析式可以验证只有的单调递增区间为正确.故选D.【名师点睛】依据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：依据图象的最高点和最低点，即A=最大值-最小值②k的确定：依据图象的最高点和最低点，即k=最大值+最小值③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T=2πω(ω④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最起先与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-φω(即令ωx＋φ＝0，x＝-φ留意符号对三角函数性质的影响已知函数.（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若x∈[－π，π]，求f(x)的最大值和最小值．【错解】（1）由－π≤eq\f(π,3)－eq\f(x,2)≤0得，eq\f(2π,3)≤x≤eq\f(8π,3)，∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(8π,3))).（2）∵－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))≤1，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－2.【错因分析】（1）忽视了函数f(x)的周期性；（2）忽视了x∈[－π，π]对函数f(x)的最值的影响．【试题解析】（1）∵f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).由2kπ－π≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ得，4kπ－eq\f(4π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．故f(x)的单调增区间为[4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．（2）由－π≤x≤π⇒－eq\f(5π,6)≤eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6).当eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，即x＝eq\f(2π,3)时，f(x)max＝2，当eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(5π,6)，即x＝－π时，f(x)min＝－eq\r(3).【参考答案】（1）函数的单调递增区间为[4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)；（2）f(x)max＝2，f(x)min＝－eq\r(3).1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域事实上是解简洁的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略（1）已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简洁化原则，将解析式先化简，并留意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但假如ω<0，那么肯定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．（2）已知三角函数的单调区间求参数：先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）：形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴肯定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标肯定是函数的零点，因此在推断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行推断．（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.5．对函数的表述错误的是A．最小正周期为 B．函数向左平移个单位可得到C．在区间上递增 D．点是的一个对称中心【答案】D【解析】因为,所以最小正周期为，向左平移个单位可得到,因为,所以，即单调递增，因为时，，所以点不是的对称中心，综上，选D.【名师点睛】本题考查二倍角公式、协助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解实力，属基础题.三角恒等变换中忽视角的范围致误已知α、β为三角形的两个内角，cosα＝，sin（α＋β）＝，则β＝A． B．C． D．【错解】选C.∵0<α<π，cosα＝，∴sinα＝.又∵sin（α＋β）＝，∴cos（α＋β）＝－∴sinβ＝sin[（α+β）－α]＝sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα＝.又∵0<β<π，∴β＝.【错因分析】（1）不能依据题设条件缩小α、β及α＋β的取值范围，在由同角基本关系式求sin（α＋β）时不能正确推断符号，产生两角．（2）结论处应由cosβ的值确定β的取值，由sinβ确定结论时易出现两解而造成失误．【试题解析】因为0<α<π，cosα＝，所以sinα＝，故，又因为0<α＋β<π，sin（α＋β）＝，所以0<α＋β<或<α＋β<π.由<α<知<α＋β<π，所以cos（α＋β）＝－＝－，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝.又0<β<π，所以β＝.【参考答案】A利用三角函数值求角时，要充分结合条件，确定角的取值范围，再选取合适的三角函数进行求值，最终确定角的详细取值．1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但细致视察会发觉非特殊角与特殊角之间总有肯定的关系．解题时，要利用视察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）视察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，，，，，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.6．（1）在ΔABC中，sinA⋅sinB<A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形（2）若α∈0,π，且3A．-32 B．-35 C．32【答案】（1）B；（2）C.（1）【解析】∵在ΔABC中，sin∴cos∴A+B∈0,∴三角形是钝角三角形，故选B.【点睛】本题考查三角形的形态，两角和的余弦函数的应用，属于中档题.推断三角形态的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行推断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行推断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.（2）【解析】3sinα+2cosα=2⇒31-8cosα+7cos∵cos则sin则tanα故选C.求函数的性质时出错函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)的最大值为.【错解】eq\r(41)函数的最大值为eq\r(52＋42)＝eq\r(41).【错因分析】形如y＝asinx＋bcosx的函数的最大值为eq\r(a2＋b2)，而函数y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)不符合上述形式．【试题解析】y＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋50°)＝5sin(x＋20°)＋4cos[(x＋20°)＋30°]＝5sin(x＋20°)＋4cos(x＋20°)cos30°－4sin(x＋20°)sin30°＝5sin(x＋20°)＋2eq\r(3)cos(x＋20°)－2sin(x＋20°)＝3sin(x＋20°)＋2eq\r(3)cos(x＋20°)，∴.【参考答案】eq\r(21)1．三角恒等变换与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及协助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式求周期．（3）依据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，依据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，依据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）依据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．探讨y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t的性质时，肯定要先利用诱导公式把化为正数后求解.7．已知．（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；（2）若，求的值域．【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）.【解析】（1），令，则的对称轴为，最小正周期；（2）当时，，因为在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以．【名师点睛】本题考查正弦函数图象的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及协助角公式的应用，属于基础题.求三角函数的性质时，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再结合正弦函数y=sinx，y=cosx，y=tanx的性质探讨其相关性质．解三角形时忽视角的取值范围致误在中，若，则的取值范围为A． B．C． D．【错解】选A.由正弦定理，可得【错因分析】错解中没有考虑角的取值范围，误认为角的取值范围为.【试题解析】由正弦定理可得【参考答案】B1．利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）依据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中留意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．2．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．（2）三角形中的三角函数关系：；；；.8．在中，内角的对边分别为，且，则角A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由正弦定理得，得，得sinB，又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，故选：A．【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，常常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.一、三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1．角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）分类.（3）终边相同的角：全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合．终边与轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与坐标轴重合的角的集合为．2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.（2）公式角α的弧度数公式（弧长用l表示）角度与弧度的换算弧长公式弧长扇形面积公式3．随意角的三角函数（1）定义：设是一个随意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上随意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．（2）三角函数值在各象限内的符号：（3）各象限内的三角函数线如下：角所在的象限第一象限其次象限第三象限第四象限图形（4）特殊角的三角函数值：00100100101不存在0不存在04．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：．（2）商的关系：．5．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α（k∈Z）π+α−απ−α−α+α正弦sinα−sinα−sinαsinαcosαcosα余弦cosα−cosαcosα−cosαsinα−sinα正切tanαtanα−tanα−tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限二、三角函数的图象与性质1．正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性,奇函数，偶函数，奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.2．函数的图象与性质（1）图象变换：由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.五点作图法：找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.（2）函数（A>0,ω>0）的性质：①奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.②周期性：存在周期性，其最小正周期为T=.③单调性：依据y=sint和t=的单调性来探讨，由得单调增区间；由得单调减区间.④对称性：利用y=sinx的对称中心为求解，令，求得x.利用y=sinx的对称轴为求解，令，得其对称轴.三、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：公式的常用变形：（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）协助角公式：，其中，3．半角公式（1）（2）（3）此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：四、正、余弦定理及解三角形1．正弦定理（1）内容：在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对随意三角形都成立．（2）常见变形：①②③④正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.1．正弦定理解决的问题（1）已知两角和随意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．2．在中，已知，和时，三角形解的状况2．余弦定理（1）内容：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即（2）从余弦定理，可以得到它的推论：.1．余弦定理解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．2．利用余弦定理解三角形的步骤3．三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）(h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)．1．tan255°=A．−2− B．−2+C．2− D．2+【答案】D【解析】=故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解实力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，留意了基础学问、基本计算实力的考查．2．已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，又，，又，，故选B．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，推断正余弦的正负，运算精确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，探讨角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−，则=A．6 B．5C．4 D．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a，b，c关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.4．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C.【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解实力，考查的核心素养是数学运算.5．函数f(x)=在的图像大致为A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，解除A．又，解除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，实行性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先推断函数的奇偶性，得是奇函数，解除A，再留意到选项的区分，利用特殊值得正确答案．6．函数在[0，2π]的零点个数为A．2 B．3C．4 D．5【答案】B【解析】由，得或，，．在的零点个数是3，故选B．【名师点睛】本题考查在肯定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再依据x的取值范围可求得零点.7．在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满意，则下列等式成立的是A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，所以，选A.【名师点睛】本题较为简洁，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是常常用到的一个隐含条件，不容忽视.8．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则A． B．C． D．【答案】B【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.9．设为锐角，若cos（）＝，则sin的值为A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为锐角，且＝，所以，所以，故选B.10．已知函数的相邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数的图象，则A． B．C． D．【答案】C【解析】由函数的相邻对称轴之间的距离为，得，即，所以，解得，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故选C．【名师点睛】本题考查的学问要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算实力和转换实力，属于基础题型．解答本题时，首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．11．已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为A． B．C． D．【答案】B【解析】由图象易知，，，即，且，即，由图可知，所以，即，又由图可知，周期，且，所以由五点作图法可知，所以函数，因为，所以函数关于对称，即有，所以可得，所以的最小正值为.故选B.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象和性质，娴熟运用三角函数的图象和周期对称性是解题的关键，属于中档题.解答本题时，先由图象，求出，可得函数的解析式，再由易知的图象关于对称，即可求得a的值.12．在中，角的对边分别为，若，则A． B．C． D．【答案】D【解析】由正弦定理角化边可得：，且，结合余弦定理有：，则，利用两角和的余弦公式可得：.本题选择D选项.13．已知sinα+cosβ=1，cos【答案】-【解析】因为sinα+cosβ=1所以，因此sin【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.14．已知，且，则__________．【答案】【解析】由题意有，得，由，，有，得，则.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.由题意，依据三角函数的基本关系式，化简得，进而可得，代入即可求解.15．已知函数的部分图象如下图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数，则的单调递减区间为_________.【答案】【解析】由函数的图象可得，∴，∴，又依据“五点法”可得，∴，∴，由函数图象的平移可得．∵，∴，当，即时，函数单调递增，函数单调递减，∴函数的单调递减区间为．故答案为．【名师点睛】先依据图象求出函数的解析式，然后再依据图象的平移得到函数的解析式，最终依据所给区间得到所求．（1）已知函数的图象求解析式时，其中可由图象干脆得到，由图象得到函数的周期后可得的值，的求法有两种，一是依据代点法求解，二是依据“五点法”求解．（2）探讨函数的性质时，常把看作一个整体后结合正弦函数的相关性质求解，解题时留意的符号对结果的影响．16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.【答案】【解析】由正弦定理，得．，∴，即，【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．实行定理法，利用转化与化归思想解题．本题简洁忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变更求角．17．的内角A、B、C的