浙江省杭州市（含周边）重点中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

绝密★考试结束前2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题命题：萧山中学王建国、沈建刚审校：临平中学（余高）盛立忠缙云中学潜艳蕾考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷.第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，三个内角成等差数列，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由条件可知，结合求得，从而代入得解.【详解】因为成等差数列，所以；又，所以，即，所以，所以.故选：C.2.已知，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据条件概率公式计算即可．【详解】因为，，所以，即，故选：B．3.与直线关于轴对称的直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把方程中的换成即可得到所求直线方程.【详解】直线关于轴对称的直线为：，即.故选：B.4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm，则该次降水的降雨量最接近（）A.60mm B.65mm C.70mm D.75mm【答案】B【解析】【分析】如图，根据相似三角形的性质求得mm，由圆台的体积公式求出收集到的雨水量，利用等体积法，结合圆柱的体积公式建立关于h的方程，解之即可求解.【详解】如图，分别为上底面、下底面的半径，且，，则，当mm时，在中，，即，解得mm，所以mm，所以圆的面积为，又圆的面积为，所以收集到的雨水量为，设此时量杯的刻度为，则，解得.故选：B5.展开式中常数项为（）A.28 B. C.7 D.【答案】C【解析】【分析】利用二项式的展开式的通项即得.【详解】由题意得展开式通项为：,令，得，所以常数项为.故选：C.6.若函数有两个零点，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】由直线与有两个交点，利用导数求出的极值，作出图象，数形结合求出即可.【详解】令，则，令，则由题意可得直线与有两个交点，因为，令，解得或1，所以当和时，单调递减；当时，单调递增；所以极小值为，极大值为，作出图象：所以或，故选：D.7.将双曲线绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴），所以我们也称反比例函数的图象为双曲线.同样“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出旋转后实轴所在直线方程，求出双曲线的两个顶点坐标，再由两点间的距离公式可得解.【详解】旋转后两条渐近线分别为和，夹角为，旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为，联立，解得或，所以旋转后的双曲线的两个顶点为或，所以实轴长为.故选：D.8.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为.则满足“对任意，必存在，使”的五位数的个数为（）A.120 B.160 C.164 D.172【答案】C【解析】【分析】满足条件的五位数分为两类：一类是只由一个数字组成，另一类是由两个数字组成，其中由两个数字组成又分为入选与不入选，入选时可以是包含2个或3个，结合不能放在万位求解即可.【详解】由题意知，满足条件的五位数分为两类：一类是只由一个数字组成，另一类是由两个数字组成.①只由一个数字组成，如、等共4个；②由两个数字组成，可分为入选与不入选，不入选，则从1,2,3,4中选择两个数组成满足条件的五位数，如、、等，共有个，入选，则从1,2,3,4中选择一个数组成满足条件的五位数，且不能放在万位，如、、等，共有个，所以满足条件的五位数共有个.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是（）A.对向量，，若，则或B.对复数，，若，则或C.对向量，，若，则D.对复数，，若，则【答案】BC【解析】【分析】由平面向量数量积公式计算可判断A项，设出、，结合计算即可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项.【详解】对于A项，因，所以或或，故A项错误；对于B项，设（），（），则，所以，解得或，即或，故B项正确；对于C项，因为，所以，所以，故C项正确；对于D项，若，，则满足，但此时，故D项错误.故选：BC.10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，且，，下列结论正确的是（）A. B.C.数列无最大值 D.是数列中的最大值【答案】ABD【解析】【分析】根据题中，分析出公比，得出等比数列为正项的递减数列，再根据等比数列的性质逐项判断即可.【详解】根据题意，等比数列的公比为，，所以.又因为，所以，所以等比数列的各项均为正数.由可知，，则必有，所以等比数列为正项的递减数列.依次分析选项：对于A，，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，D，根据，可知是数列中的最大值，故C错误，D正确.故选：ABD.11.已知抛物线上有两点､，焦点为F，下列选项中是“直线AB经过焦点F”的必要不充分条件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意设过抛物线的焦点的直线为，代入抛物线的方程得关于的方程，利用根与系数的关系以及平面向量的运算法则，判断题目中的命题是否正确即可．【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为，，将直线的方程与抛物线的方程联立，得，则，，对于，，即，解得或，∴“”是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于，得，此时直线过抛物线的焦点，∴“”是“直线经过焦点”的充要条件；对于，解得，∴“”是“直线经过焦点”的必要不充分条件；对于，化简得，得，∴““是“直线经过焦点”的必要不充分条件．故选：．第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数在区间上的最大值为____________.【答案】##【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出最大值.【详解】因为，所以，当时，所以在上单调递减，又，所以在上的最大值为.故答案为：13.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若，，，则点到平面的距离为____________.【答案】【解析】【分析】求出平面的法向量后，再计算到平面的法向量的投影即可得.【详解】由题意可得，，设平面的法向量为，则有，即，可取，则、，即，则点到平面的距离为.故答案为：.14.已知数列满足，，则____________，___________.【答案】①.0②.2023【解析】【分析】分别令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.【详解】令可得：，所以，令可得：，所以，由可得：，所以，，……，，以上个式子相加可得：，所以，则.故答案为：0；2023.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.如图，在平面四边形中，，，为的平分线，且.（1）求线段的长；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和二倍角的余弦公式可得，再由余弦定理可求出线段的长；（2）由二倍角余弦公式可得，再由同角三角函数的平方关系和面积公式求解即可.【小问1详解】在中，由，，则：，，所以，由余弦定理得：，所以.【小问2详解】因为为的平分线，所以，在直角中，得，因为，所以,所以.16.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）要使恒成立，则需成立，借助导数，分、、讨论，得其单调性即可得解.小问1详解】当时，，，所以，，曲线在处的切线方程为；【小问2详解】要使恒成立，则需成立，，当时，，所以在递增，而，不合题意；当时，恒成立，符合题意；当时，令得，则在递减，在递增，所以，解得.综上所述，.17.如图，四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是矩形，且.（1）若点是的中点，（i）求证：平面；（ii）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（2）存在，【解析】【小问1详解】（ⅰ）设矩形的中心为，则是的中点，而是的中点，所以.而是矩形的中心，故也是的中点，所以在平面内，又因为不在平面内，所以平面；（ii）由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.所以直线与平面所成角的正弦值等于.下面证明一个结论：在中，若的长分别为，则边上的中线长为.证明：设为的中点，，则由余弦定理，结合得.所以，即，故.回到原题.由于平面，而在平面内，故，.从而，这得到，.而，故根据之前证明的结论，我们有，，从而.这表明，所以直线与平面所成角的正弦值等于.【小问2详解】在平面内过作，交于，在平面内过作，交于.由于平面平面，平面和平面的交线为，，在平面内，故平面.而在平面内，故.又因为，在平面内交于，故平面.由平面，在平面内，知.由，，且在上，知二面角等于.从而条件即为，即，即.设，则，故，.同时，.故条件即为，即.解得，所以.综上，存在满足条件的点，.18.已知抛物线：，点为抛物线外一点（如图），过点D作的两条切线，切点分别为A，B.（1）求证：直线的方程为；（2）若在直线上，以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用导数几何意义分别求出在，两点处切线方程，再分别代入点即可发现A，B两点都在直线上，进而得到直线的方程.（2）由（1）得直线的方程，与抛物线联立，求出线段的中点为，再根据圆的性质所得建立方程进行研究即可.【小问1详解】设，，由得，所以在处的切线方程为，同理在处的切线方程为，两条切线都过，所以，，显然A，B两点都在直线上，所以直线的方程为.【小问2详解】若在直线上，则直线的方程为，即直线过定点，不妨设直线的方程，由，可得，于是，，设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，∴，解得或，当时，，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为.19.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为.（1）写出的分布列并计算；（2）某人重复进行了100次操作，记，，求该数列的前100项和的最大值；（3）定性分析当交换次数趋向于无穷时，趋向的值.【答案】（1）分布列见解析，（2）50（3），理由见解析【解析】【分析】（1）第一问就是用相互独立事件同时发生的乘法公式就可求得的分布列，然后利用期望公式即可计算出结果；（2）第二问关键是看懂题意，即甲口袋中黑球个数为0个时，，甲口袋中黑球个数不为0个时，，所以要想数列的前100项和最大，则尽最大可能让甲口袋中黑球个数为0，从而得到问题的解法及结果；（3）第三问关键是找到第次交换球后的概率与第次交换球后的概率关系，有了第次交换球后的概率分布，就可以计算第次甲口袋中黑球期望与第次的期望关系，从而构造成等比数列求出，再用极限思想就可以得到结果.【小问1详解】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，记甲口袋中黑球个数为，则的可能取值有1，2，3，则，，，所以的分布列为：123即；【小问2详解】根据题设可得不可能同时为1，故，由于，要使得取到最大值，则使得多出现0个，即甲口袋中的黑球要最快被换成白球，即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，再第二次还是要从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，这样经历次可以得到甲口袋中黑球个数为0，此时，之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交换，此时，则，我们可以再次从甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交换，得到，则，这样总可以是间隔一次出现甲口袋中没有黑球，所以的最大值为50；【小问3详解】设表示第次交换后甲口袋中黑球有