猜题03勾股定理（拔尖必刷45题9种题型专项训练）（原卷版）

第3章勾股定理（拔尖必刷45题9种题型专项训练）一．由勾股定理探究图形面积（共5小题）二．由勾股定理求两条线段平方和（共4小题）三．利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题）四．利用勾股定理解决规律探究问题（共6小题）五．利用勾股定理解决最值问题（共5小题）六．勾股定理与坐标轴综合应用（共4小题）七．勾股定理的证明方法（共3小题）八．利用勾股定理构建图形解决实际问题（共4小题）九．利用勾股定理解决几何体的最短距离问题（共6小题）一．由勾股定理探究图形面积（共5小题）1．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH，CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．102．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC=6，BC=8A．9π B．12.5π C．14 D．243．（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4

A．18 B．20 C．22 D．244．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1

A．4 B．3 C．2 D．05．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S二．由勾股定理求两条线段平方和（共4小题）6．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5，则

7．（2023下·山西大同·八年级统考期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=2，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+A

8．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一个动点，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt

(1)如图1，①求证：AD=BE．②线段AD、DB、(2)如图2，若AC=BC=5，在动点D运动过程中，当△CDE周长取得最小值时，求此时CD的长．9．（2023下·全国·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC=4，AB=5，求DE的长．10．（2023上·浙江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（）A．BP2=2BQ2 B．3BP三．利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题）11．（2023上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，点F是直线AB上一个动点，作等腰Rt△FCP，且∠PCF=90°，连接

(1)找出图中全等三角形______．(2)如图求证：FB(3)若AF=2，则PF=______12．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在BC边上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF

(1)求证：A(2)若AC=7，BC=5，EC=1，直接写出线段AF的长．13．（2023上·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，E．F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE

(1)△ABE≌△ACD；(2)EF(3)连接DE，若BC=8，求DE的最小值．四．利用勾股定理解决规律探究问题（共6小题）15．（2023·河南焦作·统考二模）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2023个正方形的面积为（

）

A．224044 B．224046 C．16．（2022下·四川成都·八年级校考期中）如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形△A2

17．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a,ba<b，斜边为c(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；(2)当a=n（n为奇数，且n≥3）时，若b=______，c=______时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；(3)当a=n（n为偶数，且n>4）时，若b=______，c=______时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当a=20时，c=______．18．（2023下·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=523，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)当a=11时，求b，c的值(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．19．（2022下·福建厦门·八年级校考期中）已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；(1)以上每组中的三个整数存在某种等量关系且各组符合一定规律，请依据规律写出第七组数并验证存在的等量关系；(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．五．利用勾股定理解决最值问题（共5小题）20．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为．21．（2023下·广西柳州·八年级校考期中）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，∠ABC=90°，点M，N分别在AB,BC上，MN长度始终保持不变．MN=4，E为MN的中点，点D到BA,BC的距离分别为3和2，猫与老鼠的距离DE的最小值为．

22．（2023上·重庆·八年级重庆市商务学校（重庆市第九十四初级中学校）校考阶段练习）在△ABC中，AC=2AB，点D为直线BC上一点，AD=AE,∠BAC=∠DAE，连接ED交AC于F．(1)如图1，F为AC中点，若EF=3，求BD的长；(2)如图2，延长CB至点M，使得BM=BD，连接AM,CE，求证：AM=CE；(3)如图3，若∠BAC=90°,∠ADB=45°,DE=2，点P是线段BC上的一个动点，当AP+EP最小时，直接写出这个最小值．23．（2023上·福建福州·八年级校联考期末）如图1，△ABC，AC=9，AB=10，∠BAC=30°．

(1)求△ABC的面积；(2)如图2，点M在边AC上，点N在边AB上，求BM+MN的最小值；(3)如图3，点P是在边AC上，过点P分别作直线AB、直线BC的对称点D、E，当△DBE周长最小时，求线段CP的长．24．（2022上·江苏常州·八年级校考期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，①用含m的代数式表示CE=，用含n的代数式表示DE=；②据此写出m2+1+(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式x2+25+(3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，画出图形，并写出a2②若a，b为正数，写出以a2+b2，4a六．勾股定理与坐标轴综合应用（共4小题）25．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知四边形OABC在平面直角坐标系中，点A4，0，B第一步：找出四边形OABC的任一直角顶点，第二步：与直角顶点相对的点为所作直角三角形的斜边中点，第三步：剩余两个顶点分别在所作直角三角形两条直角边上．佳佳画出了如图所示符合要求的直角三角形AEF．

解决下列问题：（1）点F的坐标为；（2）EF的长为；（3）琪琪认为还存在一个符合要求的直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为．26．（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；(2)连接CO、CB、CA，若CB=2，CO=4，CA=6，求∠OCB的度数；(3)若点E在线段OA上，且AE=2，CE=5，AC=41，动点P以每秒2个单位的速度从点E出发沿射线EO方向运动，运动时间为t秒，在点P的运动过程中，△APC能否成为等腰三角形？若能，求出t27．（2019上·广东深圳·八年级统考期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．28．（2023上·山东济南·八年级统考期中）【复习旧知】

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是5：而-3-2=5；表示-4和-7两点之间的距离是3：而一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│．

（1）数轴上表示数-4的点与表示-1的点之间的距离为________；【探索新知】如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt

下面：以求DE为例来说明如何解决．从坐标系中发现：D-7,5，E4,-3．所以DF=5--3=8，（2）在图②中：设Ax1,y1AC=____________，BC=____________，AB=____________．得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．【学以致用】

请用此公式解决如下题目：（3）已知A-2,3、B4,-5，试求A、（4）已知一个三角形各顶点坐标为A-1,1、B-3,3、29．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法．赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形ABDE和四边形CFGH是正方形．

达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为S1；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为S任务：(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．证明：由图1，知S正方形ABDE=4S△ABC∵S正方形ABDE=c2，S∴c2=4×1(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．30．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．

①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为a+b2，又可表示为c2+4×12ab，所以②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．31．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）阅读下列材料，并完成相应任务．勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b,c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”．下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路：如图1，将两个全等的直角三角形△ABC与△DAE如图摆放，其中∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F．容易得出：DF=CE,∠BAD=90°,S四边形ABCD(1)任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理；(2)任务二：请你用“双求法”解决下列问题：如图2，△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，若AC=10+2七．勾股定理的证明方法（共3小题）32．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题：(1)如右图，正方形ABCD的面积是_______，正方形IJKL的面积是_______；（用含a，b的式子表示）；(2)记正方形ABCD的面积、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1,S2,S3，若S33．（2023上·浙江·八年级专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．

(1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的15，求直角三角形的长直角边AC(2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．34．（2023下·江西上饶·八年级统考阶段练习）课本再现（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a=3，b=4，则空白部分的面积为．方法运用（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH=3，BH=4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC=S1，S△BCG=S2，S35．（2023下·山西大同·七年级统考开学考试）回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前1世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为3，较长直角边的长度为4，斜边的长度则为5（如图1），可根据勾股定理32材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图2），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图3）．

(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为6厘米和8厘米，根据勾股定理：62+82=（

(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是7厘米，则正方形A、B、C、D的面积和是（

）平方厘米．八．利用勾股定理构建图形解决实际问题（共4小题）36．（2022上·河南郑州·八年级校联考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)证明勾股定理据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．(2)应用勾股定理①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．②应用场景2——解决实际问题．如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.537．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．

解决方案：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示：这路线一的长度为l1；则l路线2：高AB+底面直径BC，如图（1）所示：设路线2的长度为l2：则l为比较l1和l2的大小，我们采用“作差法∵l1∴l1∴l1小明认为应选择路线2较短．(1)问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l(2)问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为rcm时，高为hcm，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当rh(3)问题解决：如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）38．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）为了弘扬“社会主义核心价值观”，政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和32

(1)求公益广告牌的高度AB；(2)求∠BDC的度数．39．（2022下·湖北咸宁·八年级校考期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3(1)此卡车是否能通过桥洞