【题型梳理练】巧算有理数（原卷版）

2/2【题型梳理练】巧算有理数TOC\o"1-3"\h\u【题型1凑整法】 1【题型2拆项法】 2【题型3组合法】 2【题型4裂项相消法】 3【题型5相互转化法】 3【题型6倒数法】 3【题型7错位相减法】 4【题型8利用分配律进行简算】 4【题型9利用图形进行简算】 4知识点1：凑整法多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。【题型1凑整法】【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：-3.19+21921【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：-7.3--6【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：-21【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：-21知识点2：拆项法先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律,结合律得出答案。【题型2拆项法】【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：-5【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：(1)+357(2)-20185【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：-20115【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：(1)+172(2)-20232知识点3：组合法观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。【题型3组合法】【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2-3-4+5+6-7-8+⋯+2017+2018-2019-2020值为（

）A．0 B．﹣1 C．2020 D．-2020【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：（1）-18+17+（2）+32【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：2023-2020+2017-2014+2011-2008+……+16-13+10-7+4【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1-3-5+7+9-11-13+15+⋯+2009-2011-2013+2015=．知识点4：裂项相消法根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。【题型4裂项相消法】【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：(1)11×2(2)11×3(3)16【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1-1×3【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1-1知识点5：相互转化法根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。【题型5相互转化法】【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×-【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算：-0.25【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：(1)-3÷(2)-1【题型6倒数法】【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算-1【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(-7【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷1【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：13【题型7错位相减法】【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1-5+5【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算9+9【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算（1）1+7+7（2）1+2×1【题型8利用分配律进行简算】【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.38【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算(1)6(2)999×1184【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：(1)12(2)19【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算(1)2021×20222022-2022×20212021；(2)1(3)2015+2016×2014(4)9【题型9利用图形进行简算】【例9】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14(1)试利用图形揭示的规律计算：12+1并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12【变式9-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)图中阴影部分的面积为；(2)受此启发，得到12+1(3)联系拓广，得到12+14+(4)迁移应用：得到23+1【变式9-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+2【运用】仿照此法计算：解：设S=1+2+2将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+2由②-①得：2S-S=2即：S=1+2=2(1)1+5+5(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形

完成下列问题：①小正方形S2022的面积等于②求正方形S1【变式9-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：数学问题，计算19+192+19探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算12第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；……第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+1根据第n次分割图可得等式：12探究二：计算13第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，……第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为2