2023北京东城区初三（上）期末数学试题及参考答案

2023北京东城初三（上）期末数学2023.1一、选择题（每题2分，共16分）1．若关于x的一元二次方程x2－xm00m的值为A22．下列图形中是中心对称图形的是A．正方形B．等边三角形3．关于二次函数y=2(x−4)B．1C．0D．－1C．直角三角形D．正五边形2+6，下列说法正确的是A．最大值4B．最小值4C．最大值6D．最小值64．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为A．至少有1个球是黑球C．至少有2个球是黑球B．至少有1个球是白球D．至少有2个球是白球5．某厂家2022年～5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为，根据题意可得方程A．−x)2=461．+x)2=461．−x)2=442D．+x)2=4426．如图，在⊙O中，AB是直径，弦的长为5D在圆上，且∠ADC30°，则⊙O的半径为A2.5C．B．5D．107．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，ACO切于点CDAC．若∠＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为A．πcmB2πcmC．3πD．4πcm8．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为x，正方形的边长为ycm的面积为Scm．当x在一定范围内变化时，y和Sx的变化而变化，则y与xS与x满足的函数关系分别是A．一次函数关系，一次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系二、填空题(2分，共16分）B．一次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−4x+5与y轴交于点C，则点C的坐标为．110．把抛物线y=x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式2为．．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以2是．12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某地林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）幼树移植成活数（棵）幼树移植成活的频率1008710005000800010000150002000089344857224898313443180440.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是13．ABCD对角线的交点O为原点，平行于边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣1C点坐标为0.1）．14．如图，在⊙O中，切⊙OA，连接OB交⊙O，过点A作AD∥OBOD，连接CD．若∠＝°，则∠OCD等于．151弧田面积=(弦×+矢2．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆2弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为120°，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______米231.73）16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCDAB=4，=2，中心为O，在矩形外有一点POP＝，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．三、解答题（共68分，题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知：点AO上.求作：OAB.作法：作射线OA；②A为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA于点CD；1③分别以点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；2④作直线AB．则直线即为所求作的⊙O的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1（2）完成下面的证明.证明：连接BCBD．由作图可知，AC＝，BC＝∴OA．∵点A在⊙O∴直线O的切线(18．如图，O⊥CD2OEAB=，求的长.．)(填写推理依据)．19．下面是小聪同学用配方法解方程：2x2−4x−p=0（p＞）的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2x2−4x−p=02x−4x=p12解：移项，得p2x−2x=二次项系数化为1，得22px2−2x+1=配方，得．32p即(x−2=.2∵p0，p∴x−1=．○422p2p∴1=1+，x=1−1．522（12步二次项系数化为1的依据是什么？（2）整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．20．如图，抛物线y=x++c经过点A(0，－5)B(50)．2（1，c的值；（2）连结AB，与该抛物线的对称轴于点M，求点M的坐标．211ABO均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．(1)作点A关于点O的对称点A1；(2)连接A，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段ABB的对应点为B，画出旋转后的线111111段AB；11(3)连接AB，求出△ABB11122．2022年3月23日，天宫课堂第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为，，，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．2x+(2m+x+m−2=0．23．已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．24．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度푦(单位：m)与水平距离푥(单位：m)近似满足函数关系y=a(푥−ℎ)2+k（<0(1)第一次投掷时，实心球的水平距离푥与竖直高度푦的几组数据如下：水平距离x/m竖直距离y/m02468101.672.632.952.631.670.07根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(푥−ℎ)2+k(<0)；(2)y与水平距离x近似满足函数关系y=0.09(x−+2.972心球第一次着地点到原点的距离为ddd_____d填“＞”“＝”1212或“＜”)．25．如图，点C在以为直径的⊙OCD平分∠OD，过点D作DF∥AB交的延长线于点．(1)求证：直线DF是⊙O的切线；(2)若∠=30°，=23，求DF的长．26．已知二次函数y=ax−4ax+a0)．2（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．（2）已知点(3，y)，，y)，－1y)，(，y)都在该二次函数图象上，1234①请判断y与y的大小关系：y1y12②若y，y，y，y四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．123427．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，ACBCD为AC延长线上一点，连接BDBDD逆时针旋转得到线段DE，过点E作EFAC于点FAE．（1）依题意补全图形；（2）比较与的大小，并证明；（3）连接BEG为的中点，连接，用等式表示线段，CG之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，我们给出如下定义：将图形M绕直线上某一点P顺时针旋转90°NN为图形M关于点P的二次关联图形．已知点A（0，1．（1）若点P的坐标是（3，0A关于点P的二次关联图形的坐标________;（2A关于点P的二次关联图形与点AP（3）已知⊙O的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在⊙O上且不与点A重合．若线段AB=1P的二次关联图形上的任意一点都在⊙OP点坐标及点B的纵坐标B的取值范围．参考答案一、选择题（每题2分，共16分）题号答案12345678CADACBBB二、填空题每题2分，共161y=(x+2−29，5）．．答案不唯一，c＜1即可．如：c=012．213，－1）．158.92．3−5≤≤2三、解答题（共68分，题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分)17）补全图形如图所示．………………..2分（BD；⊥；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…..……5分18．解：如图，连接OC．O⊥，∴CEDE……………..1分又∵CD＝OE，∴CEDE．…………..2分∵AB=4，∴OC=2．……………..3分2在Rt中，可求CE=．……………….4分∴CD＝22．……………….………………..5分19）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；…..1分（2）不正确，解答从第○3步开始出错.………………..3分2+2p+42−2p+4此方程的解为1=，x=2.………………..5分2220．解：(1)将点A(05)，B，0)代入y=x2+bx+c．−5=c,0=25+b+.得………………..1分b=−解这个方程组，得………………..3分c=−5.y=x−4x−5．2（2）抛物线的解析式是对称轴为直线=2．可求直线的解析式为y=x−5．∴此抛物线的对称轴与直线的交点M的坐标为（2，－3……………..5分21）画图结果如图所示．………………..3分……..5分（3）=8．122．画树状图如下：9亮选择相同模块有3种．31∴（小明和小亮选择相同模块）==.…………5分93=(2m+2−4(m−2)=4m2+923．(1)证明：∵，∵∴m2≥0，………………..2分=4m2+9＞0．∴m取何值，方程总有两个不相等的实数根．………………..3分(2)解：由题意可知，当m=0时，=4m+9的值最小．2将m=0代入x解方程可得12+(2m+x+m−2=0，得x2+x−2=0=21.=…………6分24．解：（1）2.95；由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，2.95），设抛物线的解析式为y=a(x−4)+2.95，2将点（0，1.67）代入，得1.67=16a+2.95．a=0.08解得．∴抛物线的解析式为y=0.08(x−+2.95.…………4分2(2)＞.…………6分25．解1）证明：连接OD．∵O的直径，CD平分∠，∴AOD∠BOD=90°.FD∥AB，∴ODF=90°．即ODDF．∴DF为⊙O的切线．……………..3分（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴ACB=90°．又∵∠=30°，AC23，=∴AB=4．∴OD=2．∵AO=CO，∴COB=60°.∵∥AB，∴F=60°．233∴在RtODF中，可求FD=．……………..6分26x＝y＝3，∴抛物线与y轴交点的坐标为，3)．−4a−=2．对称轴x＝…………….2分2a（2）①＝②∵函数图象的对称轴为直线x＝，∴点，y)，，y)关于直线＝2对称，12∴y＝y，12∵3＞＞－1＞－2，∴点，y)，－，y)，(－，y)在对称轴的左侧，点，y)在对称轴的右侧.2341当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴y=y＜y＜y，不合题意．1234当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则y=y＞y＞y，1234y，y，y，y四个函数值可以满足y=y＞y≥0＞y，12341234∴y≥0，y＜0，34即当x=－1时，y=a+4a+3≥0，x=－2时，y=4a+8a+3＜0．34314−−a解得．……………..6分527）补全图形如图所示.……………..1分（2AF＝．证明：∵EF⊥AD，∴∠EFD90°．∵∠ACB＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．∵∠ACB＝90°，∴∠CBDCDB90°.由题意可知，∠BDE＝90°，∴∠EDF＋∠BDC90°．∴∠EDFCBD.在△EFD和△DCB中=CBD,=DCB,=BD,∴△EFDDCB(AAS)．∴EFCDDF＝．∵BCAC，∴ACDF．∴AFCD．……