2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解课时跟踪训练含解析新人教A版必修第一册

PAGE函数的零点与方程的解一、复习巩固1．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是()A．f(0)＝0B．方程f(x)＝0有实根C．函数f(x)的图象与x轴有交点D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根答案：A2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)＝lnx，那么函数y＝f(x)的零点个数为()A．肯定是2 B．肯定是3C．可能是2也可能是3 D．可能是0解析：x>0时，f(x)＝lnx，依据对数函数的性质知f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以在(－∞，0)上也有一个零点，而f(0)可能为0也可能不为0，所以零点个数可能是2也可能是3.答案：C3．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，∴函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.答案：B4．若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连绵不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0解析：由零点存在性定理可知选项A不正确；对于选项B，可通过反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满意f(－2)·f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在区间[－2,2]上满意f(－2)·f(2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．答案：D5．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：因为函数f(x)的图象是连绵不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)·f(1)<0.故函数的一个零点在(0,1)．答案：C6．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()A．至少有一个 B．至多有一个C．有且只有一个 D．可能有多数个解析：在R上单调的函数最多有一个零点．答案：B7．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：一元二次方程有两个不相等的实根，所以Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.答案：C8．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则()A．f(0)＞0，f(2)＜0B．f(0)·f(2)＜0C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0D．以上说法都不正确解析：函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不肯定能找到x1，x2∈(a，b)，满意f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是错误的，故选D.答案：D9．函数f(x)＝2－eq\r(4－x2)(x∈[－1,1])的零点个数为________．解析：令2－eq\r(4－x2)＝0，解得x＝0，所以函数仅有一个零点．答案：110．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．解析：由函数的二次项系数大于0可得函数图象开口向上，要满意一个零点大于1，一个零点小于1，只需f(1)<0即可．答案：a>0二、综合应用11．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有交点，则该函数的全部零点之和是()A．0 B．1C．3 D．无法确定解析：∵f(x)为偶函数，∴当f(x)与x轴有一个交点(xn,0)时(xn≠0)，必有另一个交点(－xn,0)，明显全部零点之和为0.答案：A12．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A．0 B．1C．－1 D．不能确定解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.答案：A13．下列说法正确的有________：①对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内肯定没有零点；②函数f(x)＝2x－x2有两个零点；③若奇函数、偶函数有零点，其和为0；④当a＝1时，函数f(x)＝|x2－2x|－a有三个零点．解析：①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶函数图象与x轴的交点关于原点对称，其和为0.④对，设u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x轴相切，图象与x轴有三个交点．∴a＝1.答案：③④14．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解析：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，由零点存在性定理，f(x)在(0,2)上存在实根又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f(x)有且只有一个零点．法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g(x)＝2－2x和h(x)＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f(x)有且只有一个零点．15．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．解析：令2x＝t(t>0)，则在方程t2＋mt＋1＝0中，(1)Δ＝0，即m2－4＝0，m＝±2时，t＝1或t＝－1(舍