与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（第2期）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题22与二次函数相关的压轴题

解答题

1.（2022•湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究），=如2（“>（））型抛物线

图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0,，-）的距离MF,始

终等于它到定直线/：y=-1上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点尸为图象

4a

的焦点，定直线/为图象的准线，y=-《叫做抛物线的准线方程.其中原点。为尸”的中

4（7

点，FH=2OF=例如，抛物线其焦点坐标为尸（0,1）,准线方程为/：y=

2/7NN

（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=2r2的焦点坐标和准线/的方程:

⑵【技能训练】如图2所示，己知抛物线上一点p到准线/的距离为6,求点P的

O

坐标；

（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线>=办2（a>0）的焦点厂的直线依次交抛物线

及准线/于点A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求。的值；

（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”

问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段与另一

段CB的比例中项，即满足：空=%=或二1.后人把叵口这个数称为“黄金分割”把

ABAC22

点C称为线段AB的黄金分割点.

如图4所示，抛物线/的焦点尸（0,1）,准线/与y轴交于点H（0,-1）,E为线段

“尸的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当粤=夜时，请直接写出

MF

的面积值.

【答案】⑴（o,：）,y=~Q»

OO

（2）4应，4）或（-4万，4）

⑶〃=J

4

（4）5/5-1或3-yf5

【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；

（2）先求出点P的纵坐标为4,然后代入到抛物线解析式中求解即可；

（3）如图所示，过点B作BOLy轴于。，过点A作AE_L），轴于E,证明

推出ED=J-,则8=OF-D歹=3，点3的纵坐标为』一，从而求出8。=正，证明

“EFSRBDF,即可求出点A的坐标为（-26,2+」），再把点A的坐标代入抛物线解

4a

析式中求解即可；

（4）如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M作MN，/于M则

先证明△MN”是等腰直角三角形，得到NH=MN,设点例的坐标为（"［，/）,则

MN=^-m2+l=-m=HN,求出m=一2,然后根据黄金分割点的定义求出〃£=班-1,则

4

SgME=gHE-NH=书-1；同理可求当点E是靠近”的黄金分割点时的面积•

（1）

解：由题意得抛物线y=2^的焦点坐标和准线/的方程分别为（0,1）,丁=-：,

o8

故答案为：（0,：）,y-»

00

（2）

解：由题意得抛物线y=的准线方程为）,=-，-=_2,

84a

•.•点P到准线/的距离为6,

...点尸的纵坐标为4,

.•.当y=4时，-X2=4,

8

解得x=±4&，

•••点P的坐标为（4及，4）或（-4a,4）；

（3）

解：如图所示，过点3作8。_Ly轴于。，过点A作AEJ_.y轴于七，

由题意得点F的坐标为尸（0,3）直线/的解析式为：、'=-；，

4。4。

ABD//AE//CH,FH=—,

2a

，△尸。8s△尸

.BDFDFB

**WC-FW'FCr

♦：BC=2BF,

：.CF=3BF,

.BDFDFB_\

：.FD=—,

6a

：.OD=OF-DF=—,

12a

.•.点8的纵坐标为二一，

12a

■.•-1--=QX2,

12〃

解得》=且（负值舍去），

6a

BD=—,

6a

■:AE//BD.

：.XAEFSABOF,

.AEBD6

EFDF

JAE=43EF,

■:AE2+EF2=AF2，

・•・4EF2=AF2=\6^

：.EF=2,

：.AE=2c，

.1点4的坐标为（-26，2+，-）,

4a

：.2+—=l2a

4af

*•*48〃~—8。—1=0,

・・・（12a+l）（4〃-l）=0,

解得（负值舍去）；

4

图3

(4)

解：如图，当E为靠近点尸的黄金分割点的时候，过点M作于N,则MN=MF,

•・,在/C中，sinZMH^=—,

MHMH2

・•・ZMHN=45°,

.,・△MN”是等腰直角三角形，

:・NH=MN,

1.

设点M的坐标为(例，~m~),

4

/.MN=-m2+\=-m=HN

4f

/.m=—2♦

:・HN=2,

•..点E是靠近点尸的黄金分割点，

HE=^^HF=亚-1,

2

•••SAHME=gHENH=下7；

同理当E时靠近，的黄金分割点点，后尸=避二1〃/7=石-1,

2

”E=2-石+1=3-石，

；・SAHME=；HE.NH=3一小,

综上所述，S*=26-2或.=3-6

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解宜角三角形，等腰直

角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键.

2.(2022•江苏无锡)已知二次函数y=-L/+〃x+c图像的对称轴与x轴交于点A(1,0),

4

图像与y轴交于点8(0,3),C、。为该二次函数图像上的两个动点(点C在点。的左侧)，

HZCAD=90.

(1)求该二次函数的表达式：(2)若点C与点8重合，求lan/CD4的值；(3)点C是否存在其

他的位置，使得tan/CZM的值与(2)中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-；/+；x+3⑵1⑶(―2,1),(3-717,717-2),(-1-717,-2-717)

【分析】(1)二次函数与y轴交于点8(0,3),判断c=3,根据A(1,O),即二次函数对称轴

为x=l,求出方的值，即可得到二次函数的表达式；

(2)证明,ADESOBAO,得至1］也=空，即BODE=04越，设。「，一!”+!/+3),

AEDEk427

点。在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用3O-DE=Q4•/场求出f的值，即可AE,DE

的值，进一步得出tan/CDA的值；

(3)根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C

的坐标即可。

(I)解：；二次函数丫=-；/+区+(;与丫轴交于点8((),3),

1

:・c=3,即y=—x9+bx+3,

V4(1,0),即二次函数对称轴为x=l,

・・・二次函数的表达式为y=-%2+?+3.

(2)解：如图，过点。作工轴的垂线，垂足为E,连接3D,

VZC4D=90，

ZBAO+ZDAE=9Q，

ZADE+ZDAE=90，

：.ZADE=ZBAO,

・・・ZBOA=ZDE4=90°,

^ADE^BAO,

,BPBODE=OAAE

AEDEt

・・•W（），3）,A（l,0）,

・・・BO=3,OA=if

设：。1,一；产+夕+3）,点。在第一象限,

11

：.OE=t,DE=——/9+T+3,AE=OE-OA=t-l,

42

3x（一：/+；/+3）=lx（/_l）,

解得：4=-与（舍），，2=4（舍），

当4=4时，y=-^-x42+^x4+3=l,

AE=4—1=3,DE=1,

AD=y]DE2+AE2=JF+32=Tfo，

AB=y]OA2+OB2=712+32=V10

,/在RtVBAD中,

tanNCZM=^=%=1

ADVio

(3)解：存在,

如图，(2)图中RtVBAD关于对称轴对称时，tanNCD4=l,

♦.,点。的坐标为(41),

，此时，点C的坐标为(-2,1),

如图，当点C、。关于对称轴对称时，此时AC与AO长度相等，即tanNCft4=l,

过点C作CE垂直于x轴，垂足为E,

VZCAD=90，点C、。关于对称轴对称,

/.ZC4£=45，

...VC4E为等腰直角三角形，

CE=AE,

设点C的坐标为（m,-："/+；机+3）,

1。1

CE=­rn~H—m+3,A.E=1一机,

42

.11…

・・——m2+—m+3=1一根

42

解得：町=3-/，=3+717（舍）,

此时，点C的坐标为（3-折,A/万-2）,

过点C作C/垂直于x轴，垂足为F,

VZCAD=9Q，点C、。关于对称轴对称,

ZCAF=45,

NCAF为等腰宜角三角形，

/.CF^AF,

设点C的坐标为+

CF=­m2—m—3,AE=\—m,

42

1

m2

4-——"7-3=1—〃z

2

解得：叫=_"J万（舍），^=-1-717,

此时，点C的坐标为（-1一如,-2—折），

综上：点C的坐标为（3一折,如-2）,（-1-717-2-717）.

【点睛】本题考查二次函数的综合问题,运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键.

3.（2022•山西）综合与探究

13

如图，二次函数丫=-1/+5*+4的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y

轴交于点C,点尸是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为现.过点P

作直线轴于点。，作直线BC交于点E

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

（2）当ACEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接AC,过点P作直线/〃AC,交y轴于点F,连接OF.试探究：在点P运动的过程

中，是否存在点P,使得C£=ED,若存在，请直接写出”的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴人一2,0）,B（8,0）,点C的坐标为（0,4）；y=-；x+4

⑵（4,6）

（3）存在；〃?的值为4或2后-2

【解析】

【分析】

13

（1）令y=-[x2+]x+4中）'和X分别为0,即可求出A,B,C三点的坐标，利用待定系

数法求直线8c的函数表达式；

（2）过点C作CG，PO于点G,易证四边形CODG是矩形，推出CG〃08,DG=OC=4,

CG=OD=m,再证明△CGES4BOC,推出EG=gm,由等腰三角形三线合一的性质可

以得出PG=EG=1m，则PD=PG+DG=2m+4,由尸点在抛物线上可得

22

13

尸。=-；疗+力w+4,联立解出代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；

（3）分点/在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况,画出大致图形，当CE=ED

时，EG=OF,由（2）知EG=g机，用含的代数式分别表示出OF,列等式计算即可.

（1）

1,3

解：由，=-^r+/*+4得，

当》=0时-，y=4,

...点C的坐标为（0,4）.

13

当y=0时，——X2+-X+4=0,

42

解得％=-2,X2=8.

:点4在点8的左侧，

...点A,8的坐标分别为A（—2,0）,8（8,0）.

设直线BC的函数表达式为丫=辰+），

将8（8,0）,。（0,4）代入得

k=--

解得2,

Z?=4

直线BC的函数表达式为旷=-；工+4.

（2）

解：；点?在第一象限抛物线上，横坐标为小，且PDLx轴于点£）,

.,.点P的坐标为（叽布+4）,OD=m,

1°3

PD=——nr+—优+4.

42

・・•点3的坐标为（8,0）,点C的坐标为（0,4）,

・・.O5=8,OC=4.

过点。作CG,尸。于点G,则NCGD=90。.

■:ZPDO=匕COD=90°,

，四边形CODG是矩形，

J.CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

：.Z1=Z2.

'：/CGE=/BOC=90。,

：.ACGE^ABOC.

.EGCGp1nEGm

COBO48

EG=-in.

2

在△CPE中，

CP=CE,CGLPE,

：.PG=EG=-m.

2

PD=PG+DG=-m+4,

2

.1,3.1.

422

解得g=4,吗=0（舍去），

..,机=4.

I3

当帆=4时，y=———加+4=6.

“42

；.点尸的坐标为(4,6).

(3)

解：存在；〃?的值为4或2石-2.

分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线尸”，》轴于点H,

:过点P作直线/〃AC,交y轴于点凡

・・.PF//AC,

：.4CO=/PFH,

tanZACO-tan/PFH,

.AOHPniI2m

OCHF4HF

/.HF=2m,

i3

OH=PD=一一机2+—"?+4,

42

/.OF=HF-OH=2m-\--m2^-m-4,

I42)42

由(2)知，EG=-m.

2

根据勾股定理，在一CGE中，CE2=CG2+GE2,

在4尸。£)中，FD2=OF2+OD\

当CE=在。时，CG2+GE2=OF2+OD2，

♦：CG=OD=m,

EG=OF,

.1121(

242

解得"2=4或6=-4,

•・•点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，

工"7=4;

113

同理可得，EG=OF,EG=—m,HF=2m,OH=PD=一一w2+-/n+4,

242

i3ii

OF=OH-HF=——trr+一加+4-2机=——nr——〃z+4

4242

.1114

..—m=——tn2——机+4,

242

解得m-2石-2或，"=-2后-2，

•..点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点,

Am=2y[5-2;

综上，〃?的值为4或26-2

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相

似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含根的代数式

表示出OF是解题的关键.

4.（2022•四川宜宾）如图，抛物线），="+法+。与x轴交于4（3,0）、3（-1,0）两点，与y

轴交于点C（0,3）,其顶点为点D连结AC

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、尸为顶点、

AC为边的四边形为平行四边形，求点尸的坐标；

（3）在（2）的条件下，将点。向下平移5个单位得到点点P为抛物线的对称轴上一动点，

3

求的最小值.

【答案】（l）y=-x2+2x+3,顶点。的坐标为（1,4）

⑵产（-2,-5）或尸（4,-5）

呜

【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；

（2）先用待定系数法求宜线4c解析式为y=-x+3,再过点F作尸GLOE于点G,证

△CMC^AGFE,得0A=GF=3,设F点的坐标为(，%-加2+2〃?+3),则G点的坐标为

(1,一＞+2帆+3),所以FG=M-1|=3,即可求出加=—2或加=4,从而求得点尸坐标；

(3),是平移得得点M的坐标为。,一1),贝联2)知点耳(4,-5)与点月(-2,-5)关于对称轴x=l

对称，连结£8,对称轴于点H,连结耳M、&M,过点外作用N,6M于点N,交对称

轴于点P,则MW=4,"£=3,MF,=5.在RfMHFt中，sinZHMFt==],则在向MPN

lYlr}J

PN333

中，sinZHMF1=——=-,所以PN=2PM,所以PF+—PM=/¥；+PN=6N为最小值,

PM555

|1?43

根据•鸟N，所以外N=y，即可求出P尸+：PM.

(1)

解：:抛物线广哀+法+c经过点A(3,0),B(-1,O),C(0,3),

9〃+3b+3=0a=-\

；.<〃-力+3=0,解得:<h=2,

c=3c=3

抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

•••顶点。的坐标为(1,4)；

(2)

解：设直线AC的解析式为：y=kx+b,

把点A(3,0),C(0,3)代入得：k=-l,6=3,

直线4c解析式为：y=-x+3,

过点F作FG_LOE于点G,

•..以A、C、瓜尸四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形,

AC//EF,AC=EF,

又•.♦OAFG,

・・・ZOAC=ZGFE

:.△QACdGFE,

・・・OA=GF=3,

设F点、的坐标为(m,-nr+2m+3),

则G点的坐标为(L—利2+2加+3),

・・.FG=|/n-l|=3,

.,.，〃=-2或帆=4,当zn=-2时，-病+2"?+3=-5,

/.耳(_2,-5),

当，〃=4时，+2m+3=-5

二^(4,-5),

...尸(-2,-5)或尸(4,一5)：

(3)

解：由题意，得点例的坐标为

由题意知：点耳(4,-5)与点鸟(-2,-5)关于对称轴x=1对称，

连结”入，对称轴于点“，连结耳M、F2M,过点心作居于点N,交对称轴于点

在RfMHK中，sinZ.HMF}=,则在RrA/PN中，sinZHMFt==-

MF[5PM5

3

PN=qPM,

又♦:PF[=PF、

3

/.PF+^PM=PF、+PN=F?N为最小值，

又；s△好=Jx6x4=gx5书N,

F[Nq,

324

求得+的最小值为

【点睛】

本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角

形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用

是解题的关键.

5.（2022・湖北恩施）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-f+c与轴交于点

P（0,4）.

⑴直接写出抛物线的解析式.

（2）如图，将抛物线），=-d+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q,平移后

的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点8的右侧），与y轴交于点C.判断以8、C、Q

三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.

（3）直线8c与抛物线y=-x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是

否存在点T,使得以8、N、T三点为顶点的三角形与3ABe相似，若存在，请求出点T的坐

标：若不存在，请说明理由.

（4）若将抛物线丫=-产+。进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共

点时，请直接写出抛物线y=-/+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

【答案】（l）y=-x?+4

（2）以8、C、Q三点为顶点的三角形是直角三角形，理由见解析

哼九]或T

⑶存在，T

4''

7

(4)最短距离为述，平移后的顶点坐标为自?)

8188；

【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式；

(2)分别求得8、C、。的坐标，勾股定理的逆定理验证即可求解；

(3)由NCB4=NNB7,故分两种情况讨论，根据相似三角形的性质与判定即可求解；

(4)如图，作/〃BC且与抛物线只有1个交点，交轴于点£),过点C作CE，/于点E,

则.DEC是等腰直角三角形，作EFLOC于尸，进而求得直线/与BC的距离，即为所求最

短距离，进而求得平移方式，将顶点坐标平移即可求解.

(1)

解：：抛物线y=-X?+c与y轴交于点P(0,4)

Ac=4

••・抛物线解析式为y=-d+4

(2)

以8、C,。三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：

y=-x2+4的顶点坐标为尸(0,4)

依题意得，＜2(-1,4)

平移后的抛物线解析式为y=-(x+炉+4

令y=0,解-(x+l『+4=0

得%=-3,X2=1

.-.A(l,0),8(-3,0)

令x=0,则y=3,即C(0,3)

BC2=32+32=18,CQ2=F+F=2,0B2=(-3+l)2+42=2O

BC2+CQ2=QB2

.,•以8、C、。三点为顶点的三角形是直角三角形

(3)

存在，7伊|*或7｛主戈o],理由如下，

3(-3,0),C(0,3),

:.OB=OC=3

08C是等腰直角三角形

设直线3c的解析式为)，=代+人，

-3k+b=0

则

b=3

k=l

解得

h=3

・,・直线8c的解析式为y=x+3,

y=x+3

联立

y=-x2+4

-1+A/5

x

i=2

解得，

5+x/5

K=2

'-1+非5+非'

:.N

-2-'2

A（l,0）,5（—3,0）,C（0,3）,O8C是等腰直角三角形

AB=4,BC=y/2OB=3y/2

设直线AC的解析式为y=w+〃，

[〃2+〃=0

[n=3

[m=-3

,,1九=3

•••直线AC的解析式为y=-3x+3

设NT的解析式为y=-3x+t,由NT过点N

行5+石+痂

则——=-3———+t

22

解得f=2石+1

•1.W的解析式为y=-3x+2石+1,

令y=0

解得工=西土1

3

，*3+组=1^

33

jBNTsdBCA,

.BTBN

10+2石

—JN

43>/2

□z5V2tVio

22

②当一切VTs_54c时，则空=型

BCBA

5V2Vio

即BT.一十〒

30-4

^Wsr=—+—

44

OB=3

综上所述，7｛竺±Lo］或7｛三正,0

I3JI4J

(4)

如图，作/〃8C,交V轴于点。，过点C作CE，/于点E,则;DEC是等腰直角三角形,

作EF±DCT-F

直线8c的解析式为y=X+3

设与BC平行的且与y=-丁+4只有一个公共点的直线/解析式为y=x+b

…y=-x2+4

y=x+b

整理得：x2+x+b-4=0

则△=f_4（b-4）=0

17

解得b

4

，直线/的解析式为y=x+=17

4

.­.C£）=--3=-,EF=FC=-CD=-

4428

…，V255&

1.CE=——CD=——x—=-----

2248

即抛物线y=-V+c平移的最短距离为竿，方向为EC方向

P（0,4）

，把点P先向右平移EF的长度，再向下平移FC的长度即得到平移后的坐标

・•・平移后的顶点坐标为（|，4-1）,即（W

【点睛】本题是二次函数综合，考查了相似三角形的性质，求：次函数与一次函数解析式，

二次函数图象的平移，勾股定理的逆定理，正确的添加辅助线以及正确的计算是解题的关键.

6.（2022•广西玉林）如图，已知抛物线：y=-2f+灰+c与x轴交于点A,B（2,0）（A在8

的左侧），与y轴交于点C,对称轴是直线x=g,P是第一象限内抛物线上的任一点.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点。为线段0C的中点，贝IJ_P8能否是等边三角形？请说明理由；

(3)过点P作无轴的垂线与线段BC交于点垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形

与相似，求点P的坐标.

【答案】⑴y=-2f+2x+4

(2)不能，理由过程见详解

(3)(1,4)或者弓3三35)

48

【分析】(1)根据抛物线对称轴即可求出b,再根据抛物线过8点即可求出C,则问题得解；

(2)假设APO。是等边三角形，过P点作PNLO力于N点，根据等边三角形的性质即可求

出尸点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；

(3)先根据尸/7,8。，求得NMHB=90。，根据(2)中的结果求得0C=4,根据8点(2,0),

可得OB=2,则有tan/C8O=2,分类讨论：第一种情况：ABMHSRMP,即可得PC〃OB,

即尸点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(14)；第二种情况:ABMHsAPMC,

过P点作PGJ_y轴于点G,先证明NGC尸=N08C,即有tan/GCP=2,即有2GC=GP,设

GP=a,则GC=；a,即可得P//=OG=；a+4,则有尸点坐标为3,；a+4),代入到抛物线即

可求出。值，则此时尸点坐标可求.

(1)

Vy=-2x2+bx+c的对称轴为x='，

2

b1

•--271=2)=2'即"

Vy=-2/+bx+c过8点(2,0),

—2x22+/?x2+c=0,

，结合b=2可得c-4,

2

即抛物线解析式为：y=-2x+2x+4:

(2)

△POD不可能是等边三角形，

理由如下：

假设AP。。是等边三角形，过P点作于N点，如图,

•.,当E)时，y=-2x2+2x+4=4,

，C点坐标为(0,4),

OC=4,

•.•。点是OC的中点，

...00=2,

•.,在等边△PO£>中，PNLOD,

:.DN=NO=gDO=\,

•.•在等边APO。中，NNOP=60°,

：.在RmNOP中，NP=NOxtanZNOP=1xtan60°=G,

点坐标为

经验证尸点不在抛物线上，

故假设不成立，

BPAPOD不可能是等边三角形；

(3)

'：PHA.BO,

：./M”B=90°,

根据(2)中的结果可知C点坐标为(0,4),

即OC=4,

・・・8点(2,0),

:.08=2,

tanZCBO=2,

分类讨论

第一种情况：2BMHs4cMP,

：.ZMHB=ZMPC=90°,

：.PC//OB.

・・・即0点纵坐标等于C点纵坐标，也为4,

肖产4时，-2x2+2x+4=4,

解得：尸1或者0,

・・・P点在第一象限，

・••此时尸点坐标为(1,4),

第二种情况：ABMHSMMC,

•:/XBMHs丛PMC,

JNMHB=NMCP=900,

・・・ZGCP+ZOCB=90°,

:ZOCB+ZOBC=90°,

:.ZGCP=ZOBCf

.'.tanZGCP=tanZOBC=2,

VPG1OG,

・・・在心"GC中，2GC=GP,

设GP=a,

：.GC=-a,

2

GO——ci+0C=—ci+4,

22

VPG10G,PHLOH,

・・・可知四边形PG。”是矩形,

PH-OG——a+4,

2

***P点坐标为(4,]〃+4),

17

**.—Q+4=—2。'4~2a+4,

2

3

解得：4二:或者0,

4

•••p点在第一象限，

此时P点坐标为（33,邛35）；

48

ABMH与&PCM中，有NBMH=/PMC恒相等，

.'.△PCM中，当NCPM为直角时，若NPCM=NBMH,则可证是等腰直角三角形，

通过相似可知48仞H也是等腰直角三角形，这与tan/C8（A2相矛盾，故不存在当/CPM

为直角时，相等的情况；

同理不存在当NPCM为直角时，NCPM=N8M”相等的情况，

综上所述：P点坐标为：（1,4）或者（三3,3=5）.

48

【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似

三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.

7.（2022・广西）已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）.

y

(1)求点A,点B的坐标；

(2)如图，过点A的直线/：y=-x-l与抛物线的另一个交点为C,点尸为抛物线对称轴上的

一点，连接上4、PC,设点尸的纵坐标为机，当E4=PC时，求，〃的值；

(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段若抛物

线>=。(--+2》+3)3#0)与线段皿只有一个交点，请喜谈写出a的取值范围.

【答案】(1)A(-1,0),B(3,0)

⑵-3

(3)a=-s£x<-ls!cx>-

43

【分析】(1)令》=0,由抛物线解析式可得Mx-3)(x+l)=O,解方程即可确定点A,点8

的坐标；

(2)由抛物线解析式确定其对称轴为x=l,可知点P(l,〃?)，再将直线/与抛物线解析式

联立，解方程组可确定点C坐标，由%=尸8列方程求解即可；

(3)根据题意先确定点M(0,5)、N(4,5),令>=4(-/+2》+3)=5,整理可得

590

X2-2X+(--3)=0,根据一元二次方程的根的判别式为可知△=16-3,然后分情况讨论

aa

△=0时以及A>0结合图像分析a的取值范围.

(1)

解：抛物线解析式/=-/+2》+3=-。-3)(》+1),令y=0,

可得一(x-3)(x+l)=0,

解得为=-1,々=3,

故点A、3的坐标分别为A(-1,0),B(3,0)；

(2)

2

对于抛物线y=-y+2x+3,其对称轴为x=-丁丁不'=1,

2x(-1)

•••点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m,

：.P(Lm),

将直线/与抛物线解析式联立，可得

[y--x2+2x+3=Tfx=4

V,,可解得〈A或〈

[y=-x-l[y=0[y=_

故点C坐标为(4,-5),

PA=7ll-(-l)]2+w2=，加2+4,

PB="(4—I))+(—5—㈤2=,病+10帆+34,

当小=P8时，BlW/M2+4=w2+10m+34.

解得m=-3；

(3)

将线段A8先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN,

结合(]),可知M(0,5)、N(4,5),

令y=a(-x2+2x+3)=5,整理可得f-2x+(*-3)=0,

a

570

其判别式为△=(-2)2—4X1X(——3)=16--,

aa

205

①当A=16--=0时，解得。=:，此时抛物线丁=〃(—工2+2%+3)("0)与线段MN只有一

a4

个交点；

20S

②当A=16——>0即时，解方程/一2工+(一—3)=0,

若。>0时，如图1,

205

由A=16--->0,可解得〃〉;，

a4

此时有1+」4-』44,JE1-J4--<0,

vaVa

解得北|；

②当"0时，如图2,

由△=16-201>0,可解得。<0,

此时有1+小4-：44,且1一

解得X4—1；

综上所述，当抛物线y=a(-/+2x+3)(aw0)与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为

a=?或x4-1或x2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函

数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题.

8.(2022・福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a?+法经过A(4,0),B(1,

4)两点.P是抛物线上一点，且在直线A8的上方.

(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△物8面积的2倍，求点尸的坐标；

(3)如图，0P交AB于点、C,PD〃B0交AB于点D.记△CDP,&CPB,△C80的面积分别

为，，S”S»判断苓+苓是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理

口2%

由.

【答案】(1)〉=-号*2+号x

⑵存在，(吟)或(3,4)

9

(3)存在,-

O

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；

⑵待定系数法求得直线A8的解析式为y=-；4x+916,过点P作轴，垂足为例，

PM交AB于点M过点B作BEUM,垂足为E.可得，》=%>岫+&哂=7N,设

尸刎之+号〃力(]<a<4),则+号).由呐:卜刎②+号利卜卜加+号卜号

解方程求得加的值，进而即可求解；

(3)由已知条件可得AQ8CS_PDC,进而可得自+[=珠+黑=粤，过点8,P分别

与万。C7COB

作X轴的垂线，垂足分别££,PE交AB于点、2,过。作X的平行线，交PE于点G,可得

设尸(见一件〃?2+号可(1<m<

DPGSQBF,4),

,H,,,PDOGi俎”,”,,,,,,S,5,CDqPC、DGif5丫9,,,

根据7^7=777■可得4〃=»？—/«+4，Y-+'c-=_RF+TTF=—m—"("一，根

OBOFS2邑BCOCOF2(2)8

据二次函数的性质即可求的最大值.

(1)

解：(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=aP+灰，

16。+4。=0

得

a+b=4

4

解得

所以抛物线的解析式为y=-#+等.

(2)

设直线AB的解析式为)，="+/(《#0),

将A(4,0),B(1,4)代入y=Ax+r,

解得“

1c

t=—

3

所以直线AB的解析式为y=-^4x+1y6.

过点P作轴，垂足为M,PM交AB于点、N.

过点8作BE_LPM,垂足为区

所以工.=S4PNB+S2PNA

=』PNXBE+!PNXAM

22

=3PNX(BE+AM)

=¥N.

因为A(4,0),B(1,4),所以S&o"=gx4x4=8.

因为△048的面积是△附B面积的2倍，

所以2x?PN=8,PN=1.

设尸(见-刎2+号〃0。〈机＜4),则M〃?,-刎+号).

所以取1-和。+学+卜刎+号)/，

即一料+冬时号哈

解得町=2,m2=3.

所以点尸的坐标为0，果或(3,4).

(3)

PD//BO

OBCsPDC

.CDPDPC

,~BC~~OB~~dc

记△CDP,ACPB,ZkCBO的面积分别为S],S2,S3.则决+3二

d2d3oC(7COB

如图，过点用P分别作X轴的垂线，垂足分别尸,E,PE交AB于点。，过。作X的平行线,

交.PET点、G

B（l,4）,

飞，0）

OF=i

PD〃OB,DG〃OF

:「DPGs一OBF

.PDPGDG

''OB~~BF~~OF'

设0（机,一告〃?2+与〃"（1<根<4）

.直线AB的解析式为y=-^4x+1y6.

设0（%-盘2+号），则+g

16

3333

m2—4〃2—〃+4）

DG=m-n

—（irr—4m—71+4）

3______________m-n

4~1

整理得4〃=m2一机+4

.5।S?CDPCJPD

,S2S、-BCOC~OB

=2变

OF

5YYQ

时，u+售取得最大值，最大值为9

2%Ao

【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与

判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键.

9.(2022•贵州黔东南)如图，抛物线丫=以2+2尤+,•的对称轴是直线x=l,与x轴交于点A,

8(3,0),与y轴交于点C,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。轴，垂足为点M,DM交

直线8c于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若

存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点8、C、E、F为

顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-y+2x+3

(2)存在这样的点N(2,1)或(石，-6+3)或使得以A,C,N为顶点的三角形

是等腰三角形

(3)存在点尸的坐标为(4,1)或(-2,1)或黠

【分析】(1)根据抛物线的对称轴是直线X=l，可得”-1,再把点8(3,0)代入，即可求解；

(2)先求出4c②=10,设点N(即+3)，可得4V2=2m2-4w+10.CN2=2n^,

再分三种情况讨论：当4c=AN时，当AC