上海师大附中2025届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

上海师大附中2025届数学高一上期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若关于x的方程有五个不同实根，则m的值是（）A.0或 B.C.0 D.不存在2．函数f（x）=A.（-2-1） B.（-1,0）C.（0,1） D.（1,2）3．若函数存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则的取值范围为A. B.C. D.4．一个袋中有个红球和个白球，现从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是A. B.C. D.5．已知幂函数的图像过点，则下列关于说法正确的是（）A.奇函数 B.偶函数C.定义域为 D.在单调递减6．“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件7．已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，则公比等于（）A. B.C. D.8．设函数，若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值是（）A.4π B.2πC.π D.9．将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数在上的最大值和最小值分别为A. B.C. D.10．“”是“”的条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.12．使得成立的一组，的值分别为_____.13．已知正四棱锥的底面边长为4cm，高与斜高的夹角为，则该正四棱锥的侧面积等于________cm214．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则___________.15．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________.16．求值：______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）若，解不等式；（2）若函数恰有三个零点，，，求的取值范围18．已知幂函数的图象经过点（1）求的解析式；（2）设，（i）利用定义证明函数在区间上单调递增（ii）若在上恒成立，求t的取值范围19．已知圆经过点，和直线相切.（1）求圆的方程；（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.20．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在一段平坦的国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.（1）当0≤v≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地全程在高速公路上行驶50km到B地，若高速路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足(80≤v≤120)，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?21．已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】令，做出的图像，根据图像确定至多存在两个的值，使得与有五个交点时，的值或取值范围，进而转为求方程在的值或取值范围有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】做出图像如下图所示：令，方程，为，当时，方程没有实数解，当或时，方程有2个实数解，当，方程有4个实数解，当时，方程有3个解，要使方程方程有五个实根，则方程有一根为1，另一根为0或大于1，当时，有或，当时，，或，满足题意，当时，，或，不合题意，所以.故选:C.【点睛】本题考查复合方程的解，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，或直接用选项中的值代入验证，属于较难题.2、C【解析】，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理3、C【解析】根据题意画出函数图像，由图像即可分析出由一个正零点，一个负零点a的范围【详解】如图，若存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则，故选【点睛】本题考查了绝对值函数及零点的简单应用，属于基础题4、D【解析】从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有种方法，其中取出的两个球同色的取法有种，因此概率为选D.5、D【解析】设出幂函数的解析式，将所过点坐标代入，即可求出该函数.再根据幂函数的性质的结论，选出正确选项.【详解】设幂函数为，因为函数过点，所以，则，所以，该函数定义域为，则其既不是奇函数也不是偶函数，且由可知，该幂函数在单调递减.故选：D.6、A【解析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当时，，当时，或，所以“”是“”的充分非必要条件，故选：A7、A【解析】由等差数列性质得，由此利用等比数列通项公式能求出公比【详解】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，，，解得（舍或故选A【点睛】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用8、C【解析】首先得出f（x1）是最小值，f（x2）是最大值，可得|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，根据周期公式可得答案【详解】函数，∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；∴|x1﹣x2|的最小值为函数的半个周期，∵T＝2π，∴|x1﹣x2|的最小值为π，故选：C.9、A【解析】先化简f（x）,再结合函数图象的伸缩变换，得到函数y＝g（x）的解析式，进而根据正弦型函数最值的求法，求出函数的最大值与最小值【详解】∵函数，∴g（x）∵x∈∴4x∈∴当4x时，g（x）取最大值1；当4x时，g（x）取最小值故选A.10、A【解析】若,则；若,则,推不出．所以“”是“”成立的充分不必要条件．故选A考点：充分必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、6π＋40【解析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，∴由扇形的弧长公式，可得弧长，∴扇形的周长为.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12、，（不唯一）【解析】使得成立，只需，举例即可.【详解】使得成立，只需，所以,，使得成立的一组，的值分别为，故答案为：，（不唯一）13、32【解析】在正四棱锥的高和斜高所在的直角三角形中计算出斜高后，根据三角形的面积公式即可求出侧面积.【详解】因为正四棱锥的底面边长为4cm，高与斜高的夹角为，所以斜高为cm，所以该正四棱锥的侧面积等于cm2故答案为：32.【点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，考查了求正四棱锥的侧面积，属于基础题.14、5【解析】根据可得周期，再结合偶函数，可将中的转化到内，可得的值.【详解】因为，所以，所以，即函数的一个周期为4，所以，又因为是定义在上的偶函数，所以，因当，，所以，所以.故答案为：2.5.15、2【解析】利用集合的互异性，分类讨论即可求解【详解】因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2，当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2【点睛】本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题16、7【解析】利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答.【详解】.故答案为：7三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）分当时，当时，讨论去掉绝对值，由一元二次不等式的求解方法可得答案；（2）得出分段函数的解析式，根据二次函数的性质和根与系数的关系可求得答案.【小问1详解】解：当时，原不等式可化为…①（ⅰ）当时，①式化为，解得，所以；（ⅱ）当时，①式化为，解得，所以综上，原不等式的解集为【小问2详解】解：依题意，因为，且二次函数开口向上，所以当时，函数有且仅有一个零点所以时，函数恰有两个零点所以解得不妨设，所以，是方程的两相异实根，则，所以因为是方程的根，且，由求根公式得因为函数在上单调递增，所以，所以．所以．所以a的取值范围是18、（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【解析】（1）设，然后代点求解即可；（2）利用定义证明函数在区间上单调递增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范围【小问1详解】设，则，得，所以【小问2详解】（i）由（1）得任取，，且，则因为，所以，，所以，即所以函数在上单调递增（ii）由（i）知在单调递增，所以在上，因为在上恒成立，所以，解得19、(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0【解析】（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.试题解析：（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,线段AB的垂直平分线方程为，即，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，则，化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.（解二：可设原方程用待定系数法求解）（2）由题知圆心C到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，解得k＝，∴直线l的方程为y＝（x－2）综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小20、（1）；（2）这辆车在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.【解析】（1）根据当时，无意义，以及是个减函数，可判断选择，然后利用待定系数法列方程求解即可；（2）利用对勾函数的性质可判断在高速路上的行驶速度为时耗电最少，从而可得答案.【小问1详解】对于，当时，它无意义，所以不合题意；对于，它显然是