2025届山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高一上数学期末学业水平测试试题含解析

2025届山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高一上数学期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设定义在R上的函数满足，且，当时，，则A. B.C. D.2．已知函数的图像如图所示，则A. B.C. D.3．已知定义域为R的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．已知函数（ω>0），对任意x∈R，都有≤，并且在区间上不单调，则ω的最小值是（）A.6 B.7C.8 D.95．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A.30° B.45°C.60° D.90°6．已知集合，则（）A. B.C. D.7．函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A.{1} B.{3，5}C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，5}10．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则_________.12．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______13．比较大小：________.14．幂函数的图像经过点，则的值为____15．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.16．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知定义在上的函数是奇函数（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并用单调性定义证明18．已知，，计算：（1）（2）19．求下列函数的值域（1）（2）20．已知集合，，.（1）求，；（2）若，求实数的取值范围.21．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数，，均有；②；③对任意，（1）求的值，并判断的奇偶性；（2）对任意的x∈R，证明：；（3）直接写出的所有零点(不需要证明)

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】结合函数的周期性和奇偶性可得，代入解析式即可得解.【详解】由，可得.，所以.由，可得.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，着重考查了学生的转化和运算能力，属于中档题.2、B【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出的值，再然后通过函数过点求出的值，最后将带入函数解析式即可得出结果【详解】因为由图像可知，解得，所以，，因为由图像可知函数过点，所以，解得，取，，，所以，故选B【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数图像的相关性质，考查了三角函数的周期性的求法，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题3、D【解析】根据题意，由函数为偶函数分析可得函数的图象关于直线对称，结合函数的单调性以及特殊值分析可得，解可得的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，又由函数在，单调递增且f(3)，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：D4、B【解析】根据，得为函数的最大值，建立方程求出的值，利用函数的单调性进行判断即可【详解】解：对任意，都有，为函数的最大值，则，，得，，在区间，上不单调，，即，即，得，则当时，最小.故选：B.5、B【解析】利用中位线定理可得GE∥SA，则∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，判断三角形为等腰直角三角形即可.【详解】取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF=，而CE=1∴EF=，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°故选：B.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.6、D【解析】由交集的定义求解即可【详解】，由题意，作数轴如图：故，故选：D．7、C【解析】先判定函数的单调性,然后根据条件建立方程组,转化为使方程有两个相异的非负实根,最后建立关于的不等式,解之即可.【详解】因为函数是单调递增函数,所以即有两个相异非负实根,所以有两个相异非负实根,令,所以有两个相异非负实根,令则,解得.故选.【点睛】本题考查了函数与方程,二次方程实根的分布,转化法,属于中档题.8、C【解析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.【详解】函数定义域为，，因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得，由，有意义得：，解得，因此，，所以实数的取值范围是.故选：C9、C【解析】根据补集的运算得．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误10、B【解析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，所以.故答案为：.12、【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】设球的半径为，由圆柱的性质可得，圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，因为圆柱的底面半径为，高为2，所以，，因此，这个球的表面积为，故答案为【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题13、<【解析】利用诱导公式，将角转化至同一单调区间，根据单调性，比较大小.【详解】，，又在内单调递增，由所以，即<.故答案为：<.【点睛】本题考查了诱导公式，利用单调性比较正切值的大小，属于基础题.14、2【解析】因为幂函数，因此可知f()=215、【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，令，则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，则，即实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题.16、【解析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；【详解】解：，的函数图象关于直线对称，函数关于y轴对称，当时，，那么时，，可得，由，得解得：；故答案为.【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）在上是减函数，证明见解析【解析】（1）根据奇函数的定义即可求出结果；（2）设，且，然后与，作差，通过因式分解判断正负，然后根据单调性的概念即可得出结论.【详解】（1）∵是定义在上的奇函数，∴，∴，此时，，是奇函数，满足题意∴（2），在上是减函数设，且，则，∵，∴，，，∴，即，∴在上是减函数18、（1）；（2）.【解析】（1）先把化为，然后代入可求；（2）先把化为，然后代入可求.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题主要考查齐次式的求值问题，齐次式一般转化为含有正切的式子，结合正切值可求.19、（1）（2）【解析】(1)由，可得，从而得出值域；(2)令将原函数转化为关于的二次函数，再求值域即可.【详解】（1）值域为（2）设当时y取最小值当时y取最大值所以其值域为【点睛】本题主要考查的是三角函数最值，主要用型和换元后转换成二次函数求最值，考查学生的分析问题，解决问题的能力，是基础题.20、（1），；（2）.【解析】（1）利用集合的并、交运算求，即可.（2）讨论、，根据列不等式求的范围.【详解】（1）∵，∴，.（2）当时，，解得，则满足.当时，，解得，又∴，解得，即.综上，.21、（1）＝2，f(x)为偶函数；（2）证明见解析；（3），.【解析】(1)令x＝y＝0可求f(0)；令x＝y＝1可求f(2)；令x＝0可求奇偶性；(2)令y＝1即可证明；(3)(1)，是以4为周期的周期函数