32基本不等式（2知识点5题型巩固训练）（原卷版）

3.2基本不等式课程标准学习目标会：推导并掌握基本不等式，理解：这个基本不等式的几何意义，掌握：定理中的不等号取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;认识：基本不等式是解决最值问题的有力工具之一。重点:应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程难点:会应用基本不等式求简单的最值，并理解基本不等式等号成立条件。知识点01基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【即学即练1】（多选）（2324高一上·广东深圳·期中）若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，A．a2+b2≥2ab B．a【即学即练2】（多选）（2324高一上·山东临沂·阶段练习）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（

）A．1ab≥14

C．ab≥2

D．1知识点02均值定理2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．【即学即练3】（2324高二下·北京昌平·期末）函数fx=xA．14 B．12 C．22【即学即练4】（2425高一上·上海·课前预习）设x、y满足x+y=10，且x、y都是正数，则xy的最大值为难点：换元法的运用示例1：（2324高一下·湖北·期中）已知a>0，b>0，且a3+bA．23,2 B．34,2 C．【题型1：基本不等式求最值】例1．（2425高一上·全国·随堂练习）已知a,b>0且ab=2，则A．4 B．6 C．22 D．变式1．（2324高一上·北京·期中）如果m>0，那么m+4A．2 B．22 C．4 D．变式2．（2324高一下·广西柳州·期中）已知x>0，y>0，xy=4，则xA．4 B．42 C．6 D．变式3．（2324高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若a,b都是正数，则abA．1 B．2 C．3 D．4变式4．（2425高一上·全国·课后作业）已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为，此时变式5．（2425高一上·上海·课后作业）已知实数a、b满足a2+b2=4，则变式6．（2324高一上·山东济宁·期中）若a与b均为正数，且ab=4，求1变式7．（2425高一上·全国·课后作业）已知0<x<14【方法技巧与总结】基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方【题型2：基本不等式常数“1”的运用】例2．（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数x，y满足1x+2y=2A．1 B．2 C．4 D．8变式1．（2223高一上·河南郑州·阶段练习）已知x,y>0，且x+5yA．45 B．42 C．40 D．38变式2．（2324高一上·江苏南通·阶段练习）设m,n∈0,+∞，且m+A．5 B．4 C．3 D．2变式3．（2324高二下·河北张家口·期末）已知a>0,b>0，且5a+A．43 B．32 C．4+23变式4．（2425高一上·广东梅州·开学考试）已知x>0，y>0且9x+y=xy变式5．（2324高一上·广东河源·阶段练习）若正数x，y满足1x+8y=1，则x变式6．（2324高一上·天津·期末）若实数a>1，b>2，且满足2a+b变式7．（2324高一下·河北·期末）已知a>0,b>0，且9a+b=变式8．（2324高一·上海·课堂例题）设a、b为正数，且a+b【方法技巧与总结】条件和所求式子中有=1与a+b=1，可以借助m=来来构造替换，进而展开用均值不等式【题型3：和积型求最值】例3．（2324高一下·广东深圳·期末）已知正实数a,b满足a+4b=ab，则A．4 B．9 C．10 D．20变式1．（多选）（2324高一上·安徽淮北·期中）已知正数x，y满足x+2y=2xyA．xy≤2 B．x+y≥4 C．变式2．（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数a,b满足2ab+2a+b变式3．（2425高一上·全国·随堂练习）已知x>1，且xy-y=x变式4．（2425高一上·上海·随堂练习）若正数a、b满足ab=2a+2b+5，则变式5．（2324高一下·山西大同·期末）若正实数a，b满足4a+b=ab，则变式6．（2324高二上·安徽六安·期末）已知x2+y2-xy变式7．（2425高一上·全国·课前预习）已知x>0，y>0，x+8y变式8．（2425高一上·全国·课堂例题）已知x>0，y>0，x+2【方法技巧与总结】一个式子有“和”有“积”且无常数型的等式，可以同除积，再进行“1”的代换【题型4：恒成立问题】例4．（2425高一上·山东济宁·阶段练习）设0<m<12，若1m+A．2 B．4 C．6 D．8变式1．（2324高一上·贵州安顺·期末）若不等式1a+2b≥mA．2 B．3 C．4 D．9变式2．（2324高二上·湖南·期中）已知实数x，y>0且满足1x+1y=1，若不等式4A．9 B．12 C．16 D．25变式3．（2324高一上·江西南昌·期中）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式xA．{m|-1<m<4} BC．{m|-4<m<1} D变式4．(多选)（2324高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意x>0，xx2+3x+1A．15 B．110 C．12变式5．（2425高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数a>0，b>0，且a+b=4，不等式4a+1b>变式6．（2425高一上·上海·课后作业）若对任意的x>-1，不等式x+1x+1-1≥变式7．（2324高一上·陕西汉中·期中）若关于x的不等式x+2x>a在区间1,5上恒成立变式8．（2324高一上·上海浦东新·期中）当x>0，y>0，且满足1x+2y=1时，有【题型5：基本不等式实际应用】例5．（2425高一·上海·课堂例题）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（

）A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小．变式1．（2324高一下·湖北咸宁·期末）矩形ABCDAB>AD的周长为16 cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点PA．48-162 B．C．108-722 D．变式2．（2324高一下·北京石景山·期中）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年，t∈N*）满足二次函数关系：s=-2t2变式3．（2021高一上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=4,AD=3，当BM=变式4．（2425高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为32 m2时，可使所用篱笆总长最小，最小值为．

变式5．（2425高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=12(a+b+c)，则此三角形面积S=p(p-a)(p-变式6．（2425高一上·全国·课后作业）（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？

（2）现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用a，b分别替换上式中的a，（3）问题2中得的结论是否对所有的a>0，b变式7．（2324高一上·浙江宁波·自主招生）对于任意正实数a，b，Qa-b2≥0，∴a-2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，仅当a=b(1)初步探究：若x>0，仅当x=___时，有x+1(2)变式探究：对于函数y=1x-3+xx>3，当(3)拓展应用：疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S(米2)．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？变式8．（2425高一上·全国·课后作业）经观测，某公路在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系：y=900vv2+5v一、单选题1．（2324高二下·福建三明·阶段练习）若x>0，则y=2xA．22 B．2 C．4 D．2．（2324高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（

）A．x=a+C．x>a+3．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知0<x<4，则x(6-A．12 B．1 C．3 D．4．（2324高一上·湖南娄底·期末）若x>0，y>0，且x+y=1A．116 B．14 C．125．（2022高三上·全国·专题练习）若a，b∈R，ab>0且a+b=2A．2 B．3 C．4 D．56．（2324高三上·江苏连云港·阶段练习）若a>0，b>0，且a+b=A．3+22 B．2+22 C．6 D7．（2223高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意x>1，x-1x2+3A．1+55 B．1-55 C．8．（2526高一上·全国·课后作业）若a>1，则4a+A．4 B．6 C．8 D．无最小值二、多选题9．（2324高一上·四川成都·期中）已知正数x，y满足x+y=2A．1x+1y的最小值是2 BC．x2+y2的最小值是4 D10．（2425高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（

）A．a2+9≥6a B．若C．若ab>0，则ba+ab11．（2425高一上·全国·课后作业）若x>0，则x+16xA．a≤9 B．C．a>8 D．三、填空题12．（2223高一上·河南郑州·阶段练习）已知x,y>0，且x+3y=12，则13．（2324高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数y=x-4+9x+1(x>-1)，当x=a时，14．（2425高一上·全国·随堂练习）设正实数m，n，满足m+n=2，则1mn的最小值为，则四、解答题15．（2324高一上·江苏常州·期中）（1）设x>0,y>0，且xy（2）设