高考数学一轮复习专练6函数的概念及其表示

六函数的概念及其表示(时间:45分钟分值:105分)【基础落实练】1.(5分)(2024·三明模拟)已知集合A={x|2<x≤1},B={x|0<x≤4},则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数的是 ()A.f:x→y=x+1 B.f:x→y=exC.f:x→y=x2 D.f:x→y=|x|【解析】选B.对于A,当x=1时,由f:x→y=x+1得y=0,但0∉B,故A错误;对于B,因为从A={x|2<x≤1}中任取一个元素,通过f:x→y=ex在B={x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应,故B正确;对于C,当x=0时,由f:x→y=x2得y=0,但0∉B,故C错误;对于D,当x=0时,由f:x→y=|x|得y=0,但0∉B,故D错误.2.(5分)下列函数f(x),g(x)表示相同函数的是 ()A.f(x)=3x,g(x)=log3xB.f(x)=|x|,g(x)=xC.f(x)=x,g(x)=xD.f(x)=2lgx,g(x)=lg(2x)【解析】选B.对于A,f(x),g(x)一个为指数函数、一个为对数函数,对应法则不同,因此不是相同函数;对于B,g(x)=x2=|x|=f(x),是相同函数对于C,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠0},因此不是相同函数;对于D,g(x)=lg(2x)=lg2+lgx与函数f(x)=2lgx对应法则不同,因此不是相同函数.3.(5分)函数f(x)=lnxx-1A.(0,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)C.[0,+∞) D.[0,1)∪(1,+∞)【解析】选B.由题意得x解得x>0且x≠1,所以函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).4.(5分)已知f(2x+1)=lgx,则f(x)的解析式为 (A.f(x)=lg2x+1(B.f(x)=lg2x-1C.f(x)=lg12x-D.f(x)=lg12x+1【解析】选B.由题知x>0,令2x+1=t(t则x=2t-1,所以f(t)=lg2所以f(x)=lg2x-1(5.(5分)(2023·山东省部分学校联考)已知函数f(x)=2x+1,x<1,A.2 B.9 C.65 D.513【解析】选A.f(9)=f(93)=f(6)=f(3)=f(0)=20+1=2.6.(5分)(2023·无锡模拟)若函数f(x2+1)的定义域为[1,1],则f(lgx)的定义域为 ()A.[1,1] B.[1,2]C.[10,100] D.[0,lg2]【解析】选C.因为f(x2+1)的定义域为[1,1],则1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lgx)是同一个对应法则,所以1≤lgx≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lgx)的定义域为[10,100].7.(5分)(多选题)(2023·泉州模拟)已知函数f(x)=log3(xA.f(5)=1 B.f(f(5))=1C.f(3)=9 D.f(f(3))=log37【解析】选AB.对于A,f(5)=log3(52)=log33=1,A正确;对于B,f(f(5))=f(1)=30=1,B正确;对于C,f(3)=log3(32)=log31=0,C错误;对于D,f(f(3))=f(0)=31=13,D错误8.(5分)已知f(x)=x1,则f(x)=________.

【解析】令t=x,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t21(t≥0),即f(x)=x21(x≥0).答案:x21(x≥0)9.(5分)已知函数f(x)=cosx,x<0,f(x【解析】由已知得f(11π3)=f(8π3)=f(=f(2π3)=f(π3)=cos(π3)答案:110.(10分)已知函数f(x)的解析式为f(x)=3(1)求f(32),f(1π),f(1)(2)画出这个函数的图象;(3)求f(x)的最大值.【解析】(1)因为32>1,所以f(32)=2×3因为0<1π<1,所以f(1π)=1π因为1<0,所以f(1)=3+5=2.(2)这个函数的图象如图.在函数f(x)=3x+5的图象上截取x≤0的部分,在函数f(x)=x+5的图象上截取0<x≤1的部分,在函数f(x)=2x+8的图象上截取x>1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.(3)由函数图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值6.【能力提升练】11.(5分)(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1x)+2f(x)=x2+1,则f(1)等于 ()A.1 B.1 C.13 D.【解析】选B.因为定义在R上的函数f(x)满足f(1x)+2f(x)=x2+1,所以当x=0时,f(1)+2f(0)=1,①当x=1时,f(0)+2f(1)=2,②②×2①,得3f(1)=3,解得f(1)=1.12.(5分)如图,点P在边长为1的正方形的边上运动,M是CD的中点,当P沿ABCM运动时,设点P经过的路程为x,△APM的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致是 ()【解析】选A.由题意可得y=f(x)=12x,0≤13.(5分)(多选题)设f(x)=ex-e-x2,g(x)=A.[g(x)]2[f(x)]2=1B.[g(x)]2+[f(x)]2=g(2x)C.g(2x)=2f(x)g(x)D.f(2x)=2f(x)g(x)【解析】选ABD.因为[g(x)]2[f(x)]2=(g(x)+f(x))·(g(x)f(x))=ex·ex=1,所以A正确;因为[g(x)]2+[f(x)]2=e2x+e-2x2,g(2因为2f(x)g(x)=e2x-e-2x2,g(2因为f(2x)=e2x-e-2x2,2f(x)g(14.(5分)(2023·绍兴模拟)设函数f(x)=(13)

x-8,x≤0,lgx,x>0,【解析】因为函数f(x)=(所以f(1)=lg1=0,f(f(1))=f(0)=(13)08=7f(a)>1⇔a>0,解得a>10或a<2,所以若f(a)>1,则实数a的取值范围是(∞,2)∪(10,+∞).答案:7(∞,2)∪(10,+∞)15.(10分)已知函数f(x)=x2(1)求f(2)与f(12),f(3)与f(13(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f(1x)有什么关系?证明你的发现(3)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(12【解析】(1)因为f(x)=x21+x所以f(2)=1122+1f(12)=1114f(3)=1132+1f(13)=1119(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f(1x)=1.证明如下f(x)+f(1x)=x21+x2+1x(3)由(2)知f(x)+f(1x)所以f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13f(4)+f(14)=1,…,f(2023)+f(12所以f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+…+f(2023)+f(1216.(10分)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系:y=x2200+mx+n(m,n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)(1)求出y关于x的函数解析式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2m,求行驶的最大速度.【解析】(1)由题意及题中函数图象,得402200+40m+n所以y=x2200+x100((2)令x2200+x100≤25.2,得72≤因为x≥0,所以0≤x≤70,故行驶的最大速度是70km/h.【素养创新练】17.(5分)图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”,是甘肃礼县出土的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30s注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 ()【解析】选A.壶的结构为底端与上端细、中间粗,所以在注水速度恒定的情况下,开始水的高度增加得快,中间增加得慢,最后又变快,由题图可知选项A符合题意.18.(5分)(多选题)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著,函数F(x)=1,x为有理数,0是 ()A.F(F(x))=0B.对任意x∈R,恒有F(x)=F(x)成立C.任取一个不为0的实数T,F(x+T)=F(x)对任意实数x均成立D.存在三个点A(x1,F(x1)),B(x2,F(x2)),C(x3,F(x3)),使得△ABC为等边三角形【解析】选BD.因为当x为有理数时,F(x)=1,当x为无理数时,F(x)=0,所以当x为有理数时,F(F(x))=F(1)=1,当x为无理数时,F(F(x))=F(0)=1,所以F(F(x))=1恒成立,故A错误.因为有理数的相反数是有理数,无理数的相反数是无理数,所以对任意x∈R,恒有