《空间向量与立体几何》高考真题再现复习课件

北师大版同步教材精品课件《空间向量与立体几何》高考真题再现知识网络建构如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc知识网络建构l∥m或l与m重合l∥m或或与重合l⊥ml⊥m知识网络建构若点P是直线l外一点,是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量方向上所作投影向量的长度,即知识网络建构考点1空间向量及其运算本考点主要考查空间向量数量积的计算,高考中很少直接考查,多以选择题、填空题的形式命题,或者作为解答题的某一部分出现.分值为5分,难度较易,属于基础题.高考真题再现例1(2019·上海改编)已知向量a=(1,0,2),b=(2,1,0),则a与b的夹角的余弦值为______.解析向量a=(1,0,2),b=(2,1,0),则,所以答案.高考真题再现考点2利用向量证明平行与垂直问题利用向量证明平行与垂直问题是每年的必考内容,且多出现在解答题的第(1)问,很少单独考查.分值为4~6分,难度一般,属于中低档题.高考真题再现例2(2020·全国I节选)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,.求证:PA⊥平面PBC.解析方法一:设圆O的半径为1,求出各线段的长度,利用勾股定理的逆定理即可得到PA⊥PC,PA⊥PB,进而得证.方法二:建立空间直角坐标系,转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.高考真题再现答案方法一:不妨设圆O的半径为1,则OA=OB=OC=1,AE=AD=2,,,.在△PAC中,,故PA⊥PC,同理可得PA⊥PB.又PB∩PC=P,故PA⊥平面PBC.

方法二:不妨设圆O的半径为1,建立如图所示的空间直角坐标系.高考真题再现则有故设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则可取..又,所以,故PA⊥平面PBC.高考真题再现例3(2020·北京节选)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.求证:BC1∥平面AD1E.解析方法一:根据正方体的性质可证得BC1∥AD1,再利用线面平行的判定定理即可得证.方法二:以A为原点,建立空间直角坐标系,转化为证直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.高考真题再现答案方法一:由正方体的性质可知,AB∥C1D1,且AB=C1D,所以四边形ABC1D1是平行四边形,所以BC1∥AD1.又平面AD1E,方法二:以A为原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E.设正方体的棱长为a,则A(0,0,0),A1(0,0,a),D1(a,0,a),,B(0,a,0),C1(a,a,a),所以.高考真题再现设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z),则即令z=2,则x=-2,y=-1,所以m=(-2,-1,2).所以,所以BC1∥平面AD1E.高考真题再现考点3异面直线所成的角异面直线所成的角是每年高考的重点,题型既有选择题或填空题,也有解答题,分值为4~6分,难度较小,属于基础题.高考真题再现例4(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),,所以.因为所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.,答案C高考真题再现考点4直线与平面所成的角直线与平面所成的角是每年高考的热点,主要考查用向量求直线与平面所成的角(或其三角函数值).题型为解答题,偶尔也以选择题或填空题的形式命题,分值为5~7分,试题难度适中,属于中档题.高考真题再现例5(2019·华侨、港澳台联考)正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦为()A.B.C.D.解析因为正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,所以以P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=PB=PC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1),.设平面PEF的法向量为取x=1,得n=(1,-1,1).设PB与平面PEF所成角为,则所以PB与平面PEF所成角的正弦值为.n=(x,y,z),.答案C高考真题再现例6(2018·浙江)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)求证:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解析

(1)利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1,AB1⊥B1C1,从而可得AB1⊥平面A1B1C1.(2)以AC的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,求出平面ABB1的法向量n,计算n与的夹角即可得出线面角的正弦值.高考真题再现答案

(1)因为A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,所以AA1∥BB1.因为AA1=4,BB1=2,AB=2,所以.又因为,所以,所以AB1⊥A1B1,同理可得AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1=B1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,连接OB.因为AB=BC,所以OB⊥OC,因为AB=BC=2,∠BAC=120°,所以OB=1,.以O为原点,以OB,OC,OD所在直线分别,B(1,0,0),B1(1,0,2),,所以.设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),则

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,则所以令y=1可得.所以.设直线AC1与平面ABB1所成的角为,则

.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为.高考真题再现考点5二面角利用空间向量求二面角的平面角(或其余弦值)是每年高考的热点,且通常出现在解答题的第(2)问,分值为5~7分,试题难度适中,属于中档题.高考真题再现例7(2019·全国Ⅲ)图(1)是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图(2).(1)求证:图(2)中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图(2)中的二面角B-CG-A的平面角.解析(1)推导出AD∥BE,CG∥BE,从而AD∥CG,由此能证明A,C,G,D四点共面.推导出AB⊥BE,AB⊥BC,从而AB⊥平面BCGE,由此能证明平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC,垂足为H,以H为坐标原,点,HC的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系,运用空间向量方法求二面角B-CGA的平面角.高考真题再现答案(1)由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,所以AD,CG确定一个平面,所以A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,所以AB面BCGE.因为ABC⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC,垂足为H,因为平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,平面BCGE∩平面ABC以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所求的空间直角坐标系,则A(-1,1,0),C(1,0,0),.设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则取x=3,得.又平面BCGE的一个法向量m=(0,1,0),所以由图可知二面角B-CG-A的平面角为锐角,所以二面角B-CG-A的平面角为30°.=BC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,所以BH=1,.

.高考真题再现例8(2019·北京节选)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的平面角的余弦值..解析(1)推导出PA⊥CD,AD⊥CD,由此能证明CD⊥平面PAD.(2)以A为原点,建立合适的空间直角坐标系,利用向量法求出二面角F-AE-P的平面角的余弦值.答案(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,因为AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.高考真题再现(2)以A为原点,在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),E(0,1,1),,P(0,0,2),B(2,-1,0),,平面AEP的一个法向量n=(1,0,0).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则取x=1,得m=(1,1,-1).设二面角F-AE-P的平面角为,由图知为锐角,则.所以二面角F-AE-P的平面角的余弦值为.高考真题再现考点6距离利用空间向量法求点到平面的距离是高考的一个热点,常出现在解答题的第(2)问,分值为5~7分,试题难度适中,属于中档题.高考真题再现例9(2019·上海)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1上一点,已知BM=2,CD=3,AD=4,AA1=5.(1)求直线A1C和平面ABCD的夹角;(2)求点A到平面A1MC的距离.解析(1)由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA,判断△A1CA为等腰直角三角形,即可求出答案.(2)建立合适的空间直角坐标系,根据向量的关系可得,点A到平面A1MC的距离,求出法向量即可求出.高考真题再现答案(1)依题意,AA1⊥平面ABCD,连接AC,则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA,在Rt△A1CA中,因为AA1=5,,所以△A1CA为等腰直角三角形,所以所以直线A1C和平面ABCD的夹角为..(2)如图,以AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(3,4,0),A1(0,0,5),M(3,0,2),所以.设平面AMC的法向量为n=(x,y,z),由可得n=(2,1,2),所以点A到平面A1MC的.距离高考真题再现例10(2019·全国I)如