第二章 直线与圆单元测试（提升卷）（解析版）

试卷第=page2424页，总=sectionpages2424页试卷第=page11页，总=sectionpages2424页第二章直线与圆单元过关检测能力提高B版解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解.【详解】解：由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点，则，又，则直线的斜率的取值范围是，故选C.【点睛】本题考查了直线的斜率，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.2．已知满足，则直线必过定点（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题先代换得，再化简直线方程为，最后建立方程组求所过定点.【详解】由，得，代入直线方程中，得，即.令解得该直线必过定点.故选：D.【点睛】本题考查直线所过定点问题，是基础题.3．若动点分别在直线和上移动，则中点到原点距离的最小值为()A． B． C． D．【答案】A【分析】先求中点所在的直线方程，再求原点到直线的距离得解.【详解】点一定在直线，即，∴到原点的最小值为.故选：A【点睛】本题主要考查点的轨迹问题，考查点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.注意夹在两条平行直线正中间的平行线方程为.4．圆关于直线对称的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先将圆用配方法写成标准式，求出圆心，再求出圆心关于直线的对称点，根据半径相等即可求解【详解】，故圆心坐标为，半径为2，设圆心关于直线对称的点为，则有，解得，则圆关于直线对称的圆的方程是故选：A【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求法，由圆心和半径求圆的标准方程，属于基础题5．若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数a的取值范围是()A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6．我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形．其作法如下：①作一个正方形；②以的中点为圆心，以长为半径作圆，交延长线于；③以为圆心，以长为半径作⊙；④以为圆心，以长为半径作⊙交⊙于，则为黄金三角形．根据上述作法，可以求出

A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨假设，则，故,选B.7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点Q为x轴上一点，且，若点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又所以，因为，所以的最小值为.故选：C【点睛】本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短.8．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为A(0,0)，B(4,0)，，则该三角形的欧拉线方程为()A．B．C． D．【答案】A【分析】利用点A,B,C坐标得出重心G的坐标，设的外心为,可得，从而解出，利用点斜式即可得出欧拉线.【详解】的顶点为A(0，0)，B(4，0)，，∴重心.设的外心为，则，即，解得，∴W(2，0).则该三角形的欧拉线即直线GW的方程为，化简.故选A.【点睛】本题主要考查了直线的方程的求法，利用点斜式求方程时要知道直线的斜率以及直线上一点的坐标，属于中档题.二、多选题9．下列说法错误的是（）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为【答案】ACD【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．10．已知圆与圆的圆心不重合，直线．下列说法正确的是（）A．若两圆相交，则是两圆的公共弦所在直线B．直线过线段的中点C．过直线上一点（在两圆外）作两圆的切线，切点分别为，，则D．直线与直线相互垂直【答案】ACD【分析】A.直接利用两圆方程相减得到公共弦所在直线方程判断；B.表示出线段MN的中点判断是否在直线l上即可；C.由切线长定理判断；D.利用直线的斜率判断.【详解】A.联立两圆方程得：整理得：，为两圆的公共弦所在直线，故正确；B.设圆M的半径为，圆N的半径为，,，线段MN的中点为，则，，所以当两圆半径相等时成立，故错误；C.设，则，由切线长定理得：，，所以，即，故正确；D.因为，，所以直线MN的斜率，直线的斜率为，则，所以直线相互垂直，故正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线长定理，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【分析】A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；B.根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；C.通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得的值；D.设出点，求出以线段为直径的圆的方程，题中的切点、为圆与圆的交点，将两圆作差求出公共弦的方程，即可发现直线经过的定点.【详解】解：A.直线得，

由，得，即直线恒过定点，故A错误；B.圆心到直线的距离，圆的半径，故圆C上有3个点到直线的距离为1，故B正确；C.曲线，即，曲线，即，两圆心的距离为，解得，故C正确；D.因为点为直线上一动点，设点，圆的圆心为，以线段为直径的圆的方程为，即故直线圆与圆的公共弦方程为：，即，此直线即为直线，经验证点在直线上，即直线经过定点，故D正确.故选BCD.【点睛】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，可灵活应用以下结论解题：（1）圆与圆的公共弦方程为：；（2）以点的连线为直径的圆的方程为：.12．已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（）A．-3 B．-2 C．0 D．1【答案】AD【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围，进而求得正确选项.【详解】圆的圆心为，半径为.为的中点，，所以，设，则，所以点的轨迹方程为.即在圆心为，半径为的圆上.，都在直线上，且，设线段的中点为，则，以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，所以，即，，所以或，即或.所以AD选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系.三、填空题13．已知直线：被圆：截得的弦长等于该圆的半径，则______．【答案】2或【分析】求出圆心到直线的距离，由题可得，由此可求出.【详解】可得圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，则由题可得，即，解得或.故答案为：2或.14．在平面直角坐标系中，若直线与圆和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的下方，则直线的斜率为__________．【答案】7【解析】由题意可采用数形结合法，两圆的圆心坐标及半径分别为，，则直线的斜率为1，其倾斜角为，设直线的斜率为，倾斜角为，两直线的交点为，其夹角为，两个切点为，如图所示，则，，故，又，由两角差的正切公式得，，解得.点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系，三角函数定义，两角和差的正切公式，以及数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用，另一方面则要注意画图的准确性、完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.15．如图，O是坐标原点，圆O的半径为1，点A（-1，0），B（1，0），点P，Q分别从点A，B同时出发，圆O上按逆时针方向运动.若点P的速度大小是点Q的两倍，则在点P运动一周的过程中，的最大值是_______.【答案】2【分析】利用转速是两倍关系得转角为两倍，设出后，推出，然后根据三角函数坐标定义可得两点的坐标，再用数量积公式计算，最后用正弦函数最值可得．【详解】设，根据题意得，，且，依题意得，∴，当且仅当时，等号成立．故答案为2【点睛】本题考查了三角函数定义，向量数量积等概念，本题根据题意求出依题意得，是解决本题的关键.16．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120º时，正等角中心点P满足以下性质：（1）；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．由以上性质得的最小值为_________【答案】【分析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果．【详解】解：根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，因为是等腰三角形，，所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，令的费马点为，则在上，则，因为是锐角三角形，由性质（1）得，所以，所以，所以，，到、、的距离分别为，，所以的最小值，即为费马点到点、、的距离之和，则．故答案为：．【点睛】本题考查根据题给新定义的性质解题，涉及三角形的性质和两点间的距离的应用，理解新定义是解题的关键，考查转化思想和计算能力.四、解答题17．已知P是直线上的动点，、是圆的两条切线，A、B是切点.（1）求四边形面积的最小值；（2）直线上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在；答案见解析.【分析】（1）如图，而，所以只要当最小时，四边形面积取最小值，而的最小值为点到直线的距离；（2）由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，而要使，就要，所以不存在【详解】解析（1）易知.如图，连接，易知.因为，所以当最小时，最小.的最小值即为点C到直线的距离，故，所以，所以，即四边形面积的最小值为.（2）不存在.理由：由（1）知圆心C到直线的最小距离为3，即，要使，则，显然不成立，所以这样的点P是不存在的.【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题18．已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线，与圆C相切于A，B两点.（1）当P点坐标为时，求以为直径的圆的方程，并求直线的方程；（2）设切线与的斜率分别为，，且时，求点P的坐标.【答案】（1）圆的方程为，直线的方程为；（2）或.【分析】（1）求出圆心即中点坐标，和半径可得圆方程，与已知圆方程相减可得直线方程；（2）设过P的直线l方程，整理得到：含的方程，进而利用韦达定理，求出点P的坐标【详解】解：（1）圆，可化为，中点为，，∴以为直径的圆的方程为圆，∵，，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线的方程为；（2）设过P的直线l方程为，由于与直线l相切，得到，整理得到：，∴，代入，可得，∴或，∴点P坐标或.【点睛】关键点睛：设过P的直线l方程，由于与直线l相切，得到，进而得到方程，最后利用韦达定理求出点P坐标，属于中档题19．已知，为上三点.（1）求的值；（2）若直线过点(0，2)，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值为：.【分析】（1）由为圆上的点即可得；（2）设，，，，根据利用韦达定理即可求解；（3）直线和直线的斜率之积为，设，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．【详解】解：（1）∵为圆上，所以∴（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，，将代人得，所以令，则，当，即时面积取得最大值（3）设直线和直线的斜率之积为设，，则①，因为，为圆上，所以，化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线的动点所以展开得将①代入得化简得将②代人得，整理得，因为所以从而又所以【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查两直线的斜率之积是否为定值的判断与证明，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，属于中档题．20．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）若与曲线交于不同的、两点，且(为坐标原点)，求直线的斜率；（3）若，是直线上的动点，过作曲线的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）设点的坐标为，根据列出方程化简，即可求解轨迹方程；（2）依题意知，且，则点到边的距离为1，列出方程，即可求解；（3）根据题意，，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，联立两个圆的方程，即可求解．【详解】（1）由题，设点的坐标为，因为，即，整理得，所以所求曲线的轨迹方程为．（2）依题意，，且，由圆的性质，可得点到边的距离为1，即点到直线的距离为，解得，所以所求直线的斜率为．（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为，又因为在曲线上，由，可得，即直线的方程为，由且，可得，解得，所以直线过定点．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题．21．如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为.（Ⅰ）已知，求切线的方程；（Ⅱ）直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；（Ⅲ）若，两条切线分别交轴于点，记四边形面积为，三角形面积为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25.【分析】（Ⅰ）分切线的斜率存在和不存在两种情况，斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径可得切线的方程；（Ⅱ）由题意求出以为圆心，以为半径的圆的方程，与圆联立可得弦所在的直线的方程，可得直线恒过定点；（Ⅲ）由题意求出面积，的表达式，求出面积之积的表达式，换元，由均值不等式可得其最小值．【详解】（Ⅰ）情况1.当切线斜率不存在时，有切线情况2.设切线：，即.由得，解得，切线为综上：切线为（Ⅱ）在以点为圆心，切线长为半径的圆上，即在圆：上联立得所以过定点(Ⅲ)设；得，，切线统一记为，即由得，得两根为所以所以，则记当，即时，【点睛】解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙