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正交矩阵及其性质2024/10/3124.3正交矩阵及其性质2024/10/313定义6设A为n阶方阵,如果ATA=I或AAT=I,就

称A为正交矩阵.(A-1=AT)

定理4A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A

的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.

证设按列分块为[a1,a2,...,an],2024/10/314于是因此ATA=I的充分必要条件是此定理可作为判定正交矩阵的一种方法2024/10/315定理5设A,B皆是n阶正交矩阵,则:

(i)detA=1或-1;

(ii)A-1=AT（充要条件）;

(iii)AT(即A-1)也是正交矩阵;

(iv)AB也是正交矩阵.

证(i)det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2,所以成立,

(ii)ATA=I,当然就是A-1=AT,

(iii)(AT)TAT=AAT=AA-1=I,所以AT(即A-1)也是正交矩阵,从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基,

(iv)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I,即得AB也是正交矩阵.2024/10/316定理方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。推论1方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组。A是正交矩阵方阵A的列向量构成标准正交组方阵A的行向量构成标准正交组是正交矩阵2024/10/317例现有标准正交组求三维向量使得矩阵为正交矩阵解是标准正交组2024/10/318或定义

若A为正交矩阵，则线性变换

称为正交变换。

定理正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。2024/10/319也就是说，若列向量X,Y

Rn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX,AY

Rn,则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变,即

(AX,AY)=(X,Y),|AX|=|X|,

{AX,AY}={X,Y}.

证(AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y

=XTY=(X,Y).

当Y=X时,有(AX

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