数学学案：第一讲二平行线分线段成比例定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精二平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题．1．平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段______符号语言a∥b∥c,直线m分别与a，b，c相交于点A,B，C，直线n分别与a，b，c相交于点D，E，F，则eq\f(AB，BC）＝____图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例（1)定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要a，b,c互相平行,构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b,c相交,即被平行线a，b，c所截．平行线的条数还可以更多．（2)定理的结论还有eq\f（AB,AC）＝eq\f（DE，DF），eq\f(CB,CA）＝eq\f（FE,FD)等．可以归纳为eq\f(上，全)＝eq\f(上,全），eq\f（下，全）＝eq\f(下,全)等，便于记忆．（3)当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等，因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；平行线等分线段定理是证明线段相等的依据，而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径．【做一做1】如图所示，a∥b∥c，AB＝2,BC＝3，则eq\f(A1B1，B1C1)等于(）A．eq\f(3，2)B．eq\f（2,3）C．eq\f（2,5)D．eq\f(3，5)2．推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段______符号语言直线DE分别与△ABC的两边AB，AC所在直线交于D，E,且DE∥BC，则eq\f（AD，DB)＝____图形语言作用证明三角形中的线段成比例【做一做2－1】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝1,则eq\f（AE,AC）等于(）A．1B．3C．eq\f（4，3）D．eq\f（3，4)【做一做2－2】如图，AB∥CD，AC，BD相交于O点，BO＝7，DO＝3，AC＝25,则AO的长为（）A．10B．12。5C．15D．17。5答案：1．成比例eq\f(DE，EF)【做一做1】B∵a∥b∥c，∴eq\f（A1B1，B1C1)＝eq\f(AB,BC）＝eq\f（2，3）。2．成比例eq\f(AE，EC）【做一做2－1】D∵DE∥BC，∴eq\f（AE，AC)＝eq\f(AD,AB）＝eq\f(AD，AD＋BD)＝eq\f（3，3＋1）＝eq\f（3，4).【做一做2－2】D∵AB∥CD,∴eq\f(AO,OC）＝eq\f（BO,OD)＝eq\f（7,3)，∴eq\f(AO，AC）＝eq\f（7，10)，∴AO＝eq\f(7,10)AC＝eq\f（7，10）×25＝eq\f(35,2）＝17。5.比例的概念及有关性质剖析：(1）线段的比：用同一个长度单位去量两条线段，所得的长度比叫做这两条线段的比．(2)比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．(3)比例的有关概念：已知四条线段a，b，c，d，如果eq\f（a,b）＝eq\f(c，d）或a∶b＝c∶d，那么线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段d叫做线段a，b，c的第四比例项．若eq\f（a,b）＝eq\f(b,c）或b2＝ac，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．（4)比例的性质：①基本性质：a∶b＝c∶d⇔ad＝bc。②合比性质：如果eq\f（a,b)＝eq\f(c，d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f（c＋d，d）.③等比性质：如果eq\f(a，b)＝eq\f（c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0），那么eq\f（a＋c＋…＋m，b＋d＋…＋n）＝eq\f（a，b).(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念．线段的比是对两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的．线段的比有顺序性，a∶b与b∶a通常是不相等的；比例线段也有顺序性，如线段a,b，c，d成比例，与线段a，c，b,d成比例不同．题型一证明线段成比例【例题1】如图，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F,使AE＝AF,求证：eq\f（EP，FP）＝eq\f（AC，AB）.分析：在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移,过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来求解．反思：(1)比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．(2)利用平行线来转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中,eq\f（EP,FP）＝eq\f（MN，CN）＝eq\f(AM，GC）＝eq\f（AC,AB）。题型二证明线段相等【例题2】如图,在△ABC中,E为中线AD上的一点，eq\f（DE,AE）＝eq\f（1，2)，连接BE并延长，交AC于点F，求证：AF＝CF.分析:切入点是条件eq\f（DE，AE）＝eq\f(1，2)的应用，通过作平行线，证明eq\f（x,AF)＝eq\f（x,FC）,其中x是某条线段．题型三证明线段倒数和的等式【例题3】如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD,BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：eq\f(1,AB）＋eq\f(1,CD）＝eq\f（1,EF）。分析:转化为证明eq\f(EF，AB)＋eq\f(EF，CD)＝1。由于AB∥EF∥CD，将eq\f（EF，AB)与eq\f（EF，CD)化归为同一直线BD上的线段比就可证得．反思：证明有关线段倒数和的等式时，常用的方法是先将其变形为线段比的和为定值的形式，然后化归为同一直线上的线段比．题型四计算线段长度的比值【例题4】如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD,AC于E，F,交CB的延长线于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．分析:⇒eq\x（AE＝BN）⇒eq\x(AF∶AC的值）反思:运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截的边，并注意在求解过程中运用比例的等比性质、合比性质等．答案：【例题1】证明：如图，过点C作CM∥EF,交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC。∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD。延长AD到G,使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形．∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴，∴。又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB,∴。∴。【例题2】证明：过点D作DH∥AC，交BF于点H，如图所示．∵D是BC的中点,∴.∵,∴.又∵DH∥AF,∴.∴，∴AF＝CF。【例题3】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD,EF⊥BD,∴AB∥EF∥CD，∴eq\f(EF，AB)＝eq\f（DF,BD）,eq\f（EF，CD）＝eq\f(BF，BD），∴eq\f（EF，AB)＋eq\f（EF,CD）＝eq\f（DF,BD）＋eq\f（BF，BD）＝eq\f（DF＋BF,BD）＝eq\f（BD,BD）＝1，∴eq\f（1，AB）＋eq\f(1,CD)＝eq\f（1,EF）。【例题4】解：∵AD∥BC，∴eq\f(AF，FC)＝eq\f（AE,NC）,∴eq\f（AF,AF＋FC)＝eq\f（AE，AE＋NC）,即eq\f（AF,AC）＝eq\f(AE,AE＋NC）.∵eq\f（AE，BN)＝eq\f（AM，MB)＝1，∴AE＝BN。∴eq\f（AF,AC）＝eq\f（AE，AE＋BN＋BC）＝eq\f（AE,2AE＋BC).∵AE＝2,BC＝AD＝6，∴eq\f（AF，AC）＝eq\f（2,2×2＋6）＝eq\f(1,5）,即AF∶AC＝1∶5.1（2011·广东汕头二模)如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则eq\f(EF,BC)＋eq\f(FG，AD)＝__________。2（2011·广东广州二模)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥AD，若eq\f(AE，EB）＝eq\f（3,4），则EF的长为__________．3如图,在梯形ABCD中,AB∥DC，一条直线平行于两底，且顺次交AD,BD，AC，BC于E,F，G，H。求证：EF＝GH。4如图所示,已知直线FD和△ABC的BC边交于点D，与AC边交于点E，与BA的延长线交于点F,且BD＝DC,求证：AE·FB＝EC·FA．5如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．(1）求证：OE＝OF；(2）求证:eq\f(1,AD)＋eq\f(1，BC）＝eq\f(2，EF)。答案：1．1∵EF∥BC，∴eq\f(EF，BC）＝eq\f（AF,AC）。∵FG∥AD,∴eq\f(FG,AD）＝eq\f（CF,CA),∴eq\f（EF,BC）＋eq\f（FG,AD)＝eq\f(AF,AC）＋eq\f（CF,CA）＝eq\f(AF＋FC,AC）＝eq\f（AC，AC)＝1。2．eq\f（23,7)如图所示，连接AC交EF于G，由于EF∥AD,AD∥BC，则EG∥BC，所以。又，则,又BC＝5,则EG＝·BC＝；同理可得GF＝，所以EF＝EG+GF＝.3．分析:转化为证明eq\f（EF,AB)＝eq\f（GH，AB).证明：因为EF∥AB，所以eq\f（EF,AB)＝eq\f（DE,DA).因为GH∥AB,所以eq\f(GH,AB）＝eq\f（CH，CB）。因为DC∥EH∥AB，所以eq\f（DE,DA）＝eq\f(CH,CB)。所以eq\f（EF,AB）＝eq\f(GH,AB),即EF＝GH。4．分析:本题只需证eq\f(AE，EC）＝eq\f（FA,FB）即可．由于eq\f（AE，EC）与eq\f（FA,FB）没有直接关系，必须寻找过渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线构造过渡比．证明:过点A作AG∥BC，交DF于点G,如图所示．∵AG∥BD,∴。又∵BD＝DC，∴.∵AG∥DC,∴.∴，即AE·FB＝EC·FA。5．分析：（1)转化为证明eq\f(OE，BC)＝eq\f（OF，BC）；(2）转化为证明eq\f(EF，AD）＋eq\f（EF,BC)＝2，即eq\f（OE,AD）＋eq\f（OE，BC)＝1.证明：因为EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥AD∥BC.(1)因为EF∥BC,所以eq\f（OE，BC)＝eq\f(AE,AB）,eq\f（OF，BC)＝eq\f(DF，DC）.因为EF∥AD∥BC，所以eq\f（AE，AB)＝eq\f(DF,DC）。所以eq\f(OE，BC）＝eq\f(OF,BC）,即OE＝OF.（2)因为OE∥A