《1.2.3 等差数列的前n项和》讲义

《1.2.3等差数列的前n项和》讲义一、教学目标1、让同学们理解等差数列前n项和公式的推导过程。2、掌握等差数列前n项和公式，并能运用公式解决简单的实际问题。二、教学重难点1、重点等差数列前n项和公式的推导和理解。熟练运用公式进行计算。2、难点等差数列前n项和公式推导过程中涉及的数学思想方法。如何根据实际问题判断并正确运用公式。三、教学过程（一）导入（3分钟）同学们，咱们之前学习了等差数列，那大家想一想，如果有一个等差数列，咱们想求它前n项的和，该怎么求呢？比如说，1，3，5，7，9这个等差数列，前5项的和大家能快速算出来吗？（可以让同学们先试着口算一下，然后提问几位同学说说自己的想法）（二）等差数列前n项和公式的推导（12分钟）1、故事引入（2分钟）给大家讲个小故事啊。有个叫高斯的小朋友，他的数学老师给他出了个题目，让他计算1＋2＋3＋．．．＋100。高斯特别聪明，他发现1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，这样两两组合，一共有50组，所以结果就是101×50＝5050。那咱们能不能从这个故事里得到一些启发，来推导等差数列的前n项和公式呢？2、公式推导（10分钟）对于等差数列\（a_{1}，a_{2}，a_{3}，＼cdots,a_{n}＼），它的前n项和\（S_{n}＝a_{1}＋a_{2}＋a_{3}＋＼cdots+a_{n}＼）。咱们把这个和倒过来写一遍，就得到\（S_{n}＝a_{n}＋a_{n1}＋a_{n2}＋＼cdots+a_{1}＼）。然后把这两个式子相加，就得到\（2S_{n}＝（a_{1}＋a_{n}）＋（a_{2}＋a_{n1}）＋（a_{3}＋a_{n2}）＋＼cdots+（a_{n}＋a_{1}）＼）。因为这是等差数列，所以\（a_{1}＋a_{n}＝a_{2}＋a_{n1}＝a_{3}＋a_{n2}＝＼cdots\），一共有n组。所以\（2S_{n}＝n(a_{1}＋a_{n}）＼），那\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）。这就是等差数列前n项和的第一个公式。那还有没有其他形式呢？我们知道\（a_{n}＝a_{1}＋（n1)d\）（这里的d是等差数列的公差），把\（a_{n}＼）代入到\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）中，就得到\（S_{n}＝＼frac{na_{1}＋a_{1}＋（n1)d}｛2}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）。这就是等差数列前n项和的第二个公式。（三）公式的理解与记忆（5分钟）1、咱们一起看看这两个公式啊。＼（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼）这个公式呢，需要知道首项\（a_{1}＼）和末项\（a_{n}＼）以及项数n就能求出前n项和。而\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）这个公式呢，只要知道首项\（a_{1}＼）、项数n和公差d就能求前n项和。2、大家可以自己在心里默默记一下这两个公式，然后我找同学来背一背或者说一说这两个公式是怎么来的。（找两三位同学回答）（四）公式的应用（15分钟）1、基础例题（5分钟）例1：已知等差数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）中，＼（a_{1}＝3\），＼（n＝10\），＼（a_{10}＝21\），求前10项和\（S_{10}＼）。解：根据公式\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼），这里\（n＝10\），＼（a_{1}＝3\），＼（a_{10}＝21\），那么\（S_{10}＝＼frac{10\times(3＋21)｝｛2}＼）＼（＝＼frac{10\times24}｛2}＼）＼（＝120\）。2、互动环节（5分钟）现在我出一道类似的题目，大家在自己的本子上做一下。已知等差数列\（＼｛b_{n}＼｝＼）中，＼（b_{1}＝2\），＼（n＝8\），＼（b_{8}＝16\），求前8项和\（S_{8}＼）。（同学们做的时候下去巡视，看看同学们的做题情况，然后找一位同学上台来写解题过程）3、提高例题（5分钟）例2：已知等差数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项\（a_{1}＝5\），公差\（d＝3\），求前20项和\（S_{20}＼）。解：根据公式\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼），这里\（a_{1}＝5\），＼（n＝20\），＼（d＝3\），那么\（S_{20}＝20\times5+＼frac{20\times(201)＼times3}｛2}＼）＼（＝100+＼frac{20\times19\times3}｛2}＼）＼（＝100＋570\）＼（＝670\）。（五）课堂小结（3分钟）1、今天咱们学习了等差数列前n项和的两个公式，一个是\（S_{n}＝＼frac{n(a_{1}＋a_{n}）｝｛2}＼），另一个是\（S_{n}＝na_{1}＋＼frac{n(n1)d}｛2}＼）。2、大家要理解这两个公式的推导过程，这样才能更好地记住和运用它们。3、在做题目时，要根据题目给出的条件，选择合适的公式来解题。（六）课后作业1、基础题已知等差数列\（＼｛c_{n}＼｝＼）中，＼（c_{1}＝1\），＼（n＝15\），＼（c_{15}＝29\），求前15项和\（S_{15}＼）。（答案：＼（S_{15}＝＼frac{15\times(1＋29)｝｛2}＝225\））已知等差数列\（＼｛d_{n}＼｝＼）的首项\（d_{1}＝4\），公差\（d＝2\），求前12项和\（S_{12}＼）。（答案：＼（S_{12}＝12\times4+＼frac{12\times(121)＼times2}｛2}＝192\））2、提高题一个等差数列的前n项和\（S_{n}＝3n^｛2}＋2n\），求这个数列的首项\（a_{1}＼）和公差d。（答案：当\（n＝1\）时，＼（a_{1}＝S_{1}＝3\times1^｛2}＋2\times1＝5\）；当