2024-2025学年高中数学第三章推理与证明3.1.1归纳推理学案含解析北师大版选修1-2

PAGE§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义依据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38B．39C．40D．2．如图所示，探究以下规律：依据规律，从2015到2017，箭头的方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，….由上述详细事实可得结论：________________.[自主梳理]一、合情演绎二、每一个事物三、整体一般[双基自测]1．C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40.2．D视察规律可得周期T＝4，因此2015到2017的箭头与3到5的一样，故选D.3．1＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N＋)．利用归纳推理，第n个等式的左边应为1＋3＋…＋(2n＋1)，右边应为(n＋1)2.授课提示：对应学生用书第16页探究一数式中的归纳推理[例1](1)视察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．(2)已知函数y＝f(x)，对随意的两个实数x1，x2都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)成立，且f(0)≠0，则f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)的值是()A．0 B．1C．2011×2012 D．20122[解析](1)视察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11，…，发觉从第3项起先，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，故a10＋b10＝123.(2)当x1＝x2＝0时，f(0)＝f(0)·f(0)，又因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，于是有f(－x＋x)＝f(－x)·f(x)＝f(0)＝1.所以f(－2012)·f(2012)＝1，f(－2011)·f(2011)＝1，…，f(－1)·f(1)＝1，f(0)＝1，把上面式子等号两边分别相乘，即可得f(－2012)·f(－2011)·…·f(2011)·f(2012)＝f(－2012＋2012)·…·f(－2011＋2011)·…·f(－1＋1)·f(0)＝1.[答案](1)C(2)B利用归纳推理解决问题的留意事项：归纳推理是一种思维工具，解决这类问题要熟识有关的学问，要正确运用从特别到一般的数学思想，经常借助前n项的共性来推出一般性的命题．本题(2)在求解时，运用了从特别到一般的方法，先找特别状况f(0)＝1，再归纳出一般结论f(－x)·f(x)＝1.1．视察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，依据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1起先的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二图与形的归纳推理[例2]有两种花色的正六边形地面砖．按下图的规律，拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26 B．31C．32 D．36[解析]解法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.解法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.[答案]B图形的归纳推理问题，可从图形的改变规律入手求解，一般探讨图形中点、线或面等的增加改变数值，结合数列的学问得出规律．2．在平面内视察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？解析：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条，凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．第三章推理与证明数学·选修1－2探究三数列中的归纳推理[例3]已知数列{an}满意a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式an.[解析](1)当n＝1时，a2＝2a1＋1＝2×当n＝2时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，同理可得a4＝15，a5＝31.(2)由于a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，所以可归纳猜想an＝2n－1(n∈N＋)．数列的归纳推理问题，可求出数列的前几项，然后归纳出数列的通项公式．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．解析：当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N＋.归纳推理在图表问题中的应用[典例]如图，一个粒子在第一象限及边界运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1)，然后它接着按图示在x轴，y轴的平行方一直回运动，且每秒移动一个单位长度，则2014秒时，这个粒子所处的位置对应的点的坐标为()A．(44,10) B．(10,44)C．(11,44) D．(43,46)[解析]考查粒子运动到关键点(1,1)用时2秒，运动到点(2,2)用时6秒，运动到点(3,3)用时12秒，运动到点(4,4)用时20秒，…，归纳猜想粒子运动到点(n，n)用时n(n＋1)秒．又当n为奇数时，此后x秒粒子运动到点(n，n－x)；当n为偶数时，此后x秒粒子运动到点(n－x，n