初中数学-函数整点问题+几何综合探究

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初中数学必考点■函数整点问题+几何综合探究

整点定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

(1)一次函数(心0)上的整点:

直线上的整点与斜率帕勺形的关系

2

(2)反比例函数(x>0)上的整点:

y

例1、在平面直角坐标系xQy中，直线/:y=kx+l（k0）与直线x=4,直线歹=一左分别交

于点4,3,直线％=左与直线y=—左交于点。.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段43,

BC,C4围成的区域（不含边界）为〃..

①当上=2时，结合函数图象，求区域沙内的整点个数；.

②若区域沙内没有整点，直接写出左的取值范围..

（直线/：歹=h+1（%。0）与y轴交于（0,1）、

当人＞0时，直线过一、二、三象限，y随x的增大而增大；

当左＜0时，直线过一、二、四象限，歹随x的增大而减小；

直线x=%是垂直于x轴的直线.

直线＞=—左是平行于x轴的直线.」1X

67

△/8C是直角三角形

（关注（不含边界））

①当上=2时，画出函数图象，得区域/内的整点个数为6个。

例1、在平面直角坐标系*Qy中，直线/:y=kx+l(k0)与直线x=%,直线歹=一%分别交

于点4,B,直线x=后与直线夕=一左交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段45,

BC,C4围成的区域(不含边界)为少..

故，当一14左＜0或/二一2时，区域田内没有整点•

准确画图就是硬道理

，例1、在平面直角坐标系*Qy中，直线/：1y=Ax+I(kwO)与直线x=%,直线y=-〃分别交

于点4,B,直线工=左与直线y=交于点C.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段43,

BC,。围成的区域(不含边界)为沙..

①当左=2时结合函督图象.求区域沙内的整点个数：.

②若区域氏对没有整点J直接写出左的取值范围..q平/

C（k,-k）

思考：我们能否从三个点的轨迹

中看出区域歌的变化规律呢？

例2、在平面直角坐标系xQy中，函数丁=二。＞0）的图象G,.■

x

问题1：直线/i：y=2%-4和直线/2：y=2x+b的图象与图象G分别交于点4,.

横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点4外之间的部分与两条直线及歹轴围成的区域

（不含边界）为力..

①当人=0时，直接写出区域田内的整点个数;.

5y=2x-l

4/,y=2x-2

(1,0)-►y=2x-2-►b=-23

2y=2x-4

b>—41

(1,1)-►y=2x-\-►b=-1

<-2-1

-1

=>—2vb4一1.

(2,-1)-=2x-5->b=-5

Z?<-44y=2x-4

<(2,—2)-Ay=2x-6-►/7=-63;v=2x-5

//y=2x-6

n-6<b<-5

界点需边界线二2二%oi访456X

所以,—6Wb<—5或一2<bW—1.

问题2：点?（）,〃）（加＞3）是直线/:歹=2%-4上一动点，过点尸分别作》轴、

4

y轴的平行线，交双曲线y二一（叉〉0）于点M、N,双曲线在点A/,N之间的部分与

x

线段尸M,PN所围成的区域（不含边界）记为％..

问题3：已知4（3,2）,直线/:'=去一1（左。0）与y轴交于点5,与图象G交于点C..

记图象G在点4,。之间的部分与线段64,8C围成的区域（不含边界）为W..

若区域％内的整点不2'千4个，结合函数图象，求左的取值范围.

定点(0,-1)

旋转

小结

解决有关一次函数和反比例函数的整点问题的步骤:

分类讨论确定区域

例在平面直角坐标系中，抛物线y=+Z?x+c过原点和点/(—2,0).

(1)求抛物线的对称轴；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点3(0,g),记抛物线与直线

围成的封闭区域(不含边界)为少.

①当4=1时，求出区域少内的整点个数；

②若区域沙内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.”

数—►形对称性

1D2-

解:(1).抛物线^=。/

Yy^:+2ax，

•••抛物线的对称轴为直线।1

x=-11

b八2）加

x=-----c=0b=2a

2a91-1

顶点（-1,一4）4-y--a^c+1）2-a,

k_____________）

例在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=ar?+bx+c过原点和点4（一2,0）.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8（0,；）,记抛物线与直线48

围成的封闭区域（不含边界）为少.

①当。=1时，求出区域沙内的整点个数；

②若区域％内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出。的取值范围.

解：（2）•.•抛物线经过原点（0,0）和点4（一2,0）,

c=0,b=2a.

：.抛物线解析式可化为y=ox?+2ax.

①a=1时，抛物线解析式为y=/+2.v.

.•.抛物线的顶点为（一1,一1）.直线48：y=^-x+|.

由图象知，区域%的整点个数为2.

例在平面直角坐标系x。”中，抛物线歹=ar?+bx+c过原点和点/（一2,0）.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8（0,；）,记抛物线与直线48

围成的封闭区域（不含边界）为郎.

②若区域沙内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围..

解：②当。>0时.一

（1）由①得，«=1,抛物线y=（x+l）2-l,

其顶点为（一1,一1）,.

此时区域沙内恰有2个整点.

抛物线顶点为（一1,一2）时，a=2,

此时区域沙内恰有3个整点.

/.1<<7<2.

例在平面直南坐标系中，抛物线歹=ar?+6x+c过原点和点4（-2,0）.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点记抛物线与直线48

围成的封闭区域（不含边界）为少.

②若区域沙内恰有3个整点，结合函数图象,

2

解：（2）当抛物线经过（1,2）时，a=-

此时区域%内恰有2个整点.

3

当抛物线经过（2,3）时，（7=-

且点（2,3）又在直线4s上，

此时区域内恰有3个整点..

当抛物线经过（1,1）时，a=-

此时区域％内也有3个整点.

.13

>一<一

38

12

•■—Ka<一.

3二

例在平面直角坐标系xQp中，抛物线歹=ar?+bx+c过原点和点/（一2,0）.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8（0,1）,记抛物线与直线48

围成的封闭区域（不含边界）为郎.

②若区域沙内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出。的取值范围.

当a<0时..

（3）若抛物线的顶点为（一1,3）时，a=-3,

此时区域沙内恰有2个整点.”

若抛物线的顶点为（一1,4）时，67=-4,

此时区域沙内恰有3个整点.”

-4Ka<—3.

例在平面直角坐标系xQv中，抛物线y=苏？+方x+c过原点和点力(一2,0).

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点8(0,1),记抛物线与直线48

围成的封闭区域(不含边界)为叶.

②若区域沙内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出。的取值范围..

12

。的取值范围是一4«。＜—3或—£。＜一或l＜aW2

33

(3)与二次函数有关的整点问题

1.数形结合

2.认真审题

3.强化性质

4.分类讨论

5.学会检验

小结

解决有关二次函数的整点问题的步骤:

分类讨论检验确定区域

几何综合题

如图，RTMBC^,4。=90。,。2=。氏过点05必8。夕卜作射线。£;

且/BCE=a(00<«<45°)，点3关于CE的对称点为点。连接Z。，BD,CD,

其中8。分别交射线CE于点M,N.

(1)依题意补全图形；

ABABAB

C

图形的分解

---------------------------B

ZC=90°,ZT4=Z5=45°CE是的垂直平分线，BC=DC

AC=BC,/纥5K4BCN二乙DCN二a,

“JBD=/CDB=90°-a

CA=CB=CD

必8C“3CD必CO是等腰三角形

顶角分别为:90°,2a,90°+2a

底角分别为：45°,9045°-«

4民。在以。为圆心，4。为半径的圆上

图形的运动变化r

动点：ETD,N,M动角乙BCE,乙CBD,/ACD/CAD/DAB…

动线段：CN,CD,BD,AD,ZCMA(ZDMN),ZADB?

AM,CM,MN,MD...

不变，45°

NCMA=ZNCD+ZCDA

=ot+45°-a

=45°

：CA=CB=CD

•.A,B,D在以U为圆心，

ZC为半径的圆上

「弧441

"ADB='乙4c8=45°

；ZCMA=NDMN

=180°-N4CB-〃>NC

=45°

(3)若BC=2,求CM的范围.

M的运动轨迹

:•/CK4=45°

ZNMB=/DMN=45°

.：NAMB=9G4c6=90°

.：MQ生以43为直径的圆上

又•••0°<a<45°

「年弧BC上（除点C、B）

Q<CM<2

(4)用等式表示线段/例，之间的数量关系，并证明.

证明：AM=DM+42CM

过。作工CM,交AD于H

丁"W4=45。

工/。如为等腰直角三角形

/.MH=41CM

/CHM=/CMH

・：NCHA=/CMD

又［AC=DC

；.NCAH=NCDM

ACAH^ACBM(SAS).：/CAH^ACDM(AAS)

...AH=BM=MD/.AH=MD

；.AM=AH+MH=DM+®CM

(5)用等式表示线段/例，。例8U之间的数量关系，并证明.

连接8〃

易证N/A/3=90。

：,AM2+MB2=AB2

AM2+DM2=2BC2

三条线段之间的关系可能是一次的关系，也可能是平方关系

练习：

如图，正方形4HCQ,点尸是边0c上一点（与点。。不重合），点。关于

直线4P的对称点为£,直线8E与直卑IP交于点尸.用等式表示线段

比明之间的数量关系，并证明.

NAEB=45°+a

EF2+BF1=2AB2

线段EF,BF^WAB

之间的数量关系

AB

如图，RTMBC^,4cB=90：C4=C5.过点旅以5。夕卜作射线CE,..

且48CE=a(00<a<450)，点3关于CE的对称点为点O,连接4。，BD,CD,

其中力。8。分别交射线CE于点MN.

1.NCK4=45°

2•点M的轨迹是以AB为直径的圆的一部分

3*AM=DM+OCM

4.AM2+MD2=2BC2

(6)用等式表示线段/例，OV之间的数量关系，并证明.

AM=kCN,\<k<2

测量

cP

如何证明AM=42CN?

M

思路：构造桓CN,转移成证明线段相等问题

//7

AfB

F

法一：作CF_LCN.且CF=CN:・NCMA=/CNF=45°/\

."CNF=45：FN\iCN「.AM〃FN42CN

VAC=BC二四边形是平行四边形

■:乙ACB=£FCN.：AM=FN=6CN

；CF:/BCN

...△ACF*ABCN(SAS)

.•.AAFC=NBNC=9S

二.NAFC=ZNCF

.：AF〃CN

如何证明AM=y/2CN?

法二：

思路一：构造血CV,转移成证明线段相等问题

延长N8至8使加二NC,连接CEZCMA=ZF=45o

,14CA/="BC=90°+a

:

"NF是等腰直角三角形AC=CB

、Eii

CF=42CNMCM^^CBF(AAS)

\/

Y/

AM=CF=y/2CN

如何证明AM=42CN?

法三:

思路一：构造出CN,转移成证明线段相等问题

延长至G,使NG=NC,连接CG

“CNG是等腰直角三角形

CG=6CN△/CM名，CZ)G(AAS)

AM=CG=42CN

0如何证明AM=41CN?

亚(CM+MN)=gCM+后MN

AM=42CM+MD

证明：过。作C7/1CM,交/。于H思路二：诬AH=4iMN,HM=6CM

V^CMA=45°

为等腰直角三角形

/.MH=41CM

易证/CAH^ACBM(SAS)

・：AH=MB也MN

.\AM^AH+MH=y/2MN+42CM=/2CN

:•NG=NCNB=90°

AC=BC

如何证明AM=41CN?