高中数学选修2-2课时作业4：2.3数学归纳法

人教版高中数学选修2-2PAGEPAGE1课时作业2：2.3数学归纳法一、选择题（每小题5分，共20分）1．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝kA．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对2．在数列{an}中，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，则ak＋1＝()A．ak＋eq\f(1,2k＋1)B．ak＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,2k＋4)C．ak＋eq\f(1,2k＋2)D．ak＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)3.设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(A．fB．C．D．4.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x2+y2能被x＋yA．假设n＝2k＋1(k∈N*B．假设n＝2k－1(k∈N*C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推D．假设n＝k(k≥1)正确，再推二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋6．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N三、解答题(共70分)7.（15分）对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n8.（20分）已知正项数列{an}和{bn}(1)证明：对任意n∈N*，有an＋bn＝(2)求数列{an}9．(20分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．10.（15分）已知点Pn(an，bn)满足an+1＝an·bn+1，bn＋1＝bn1-4an2((1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l2.3数学归纳法答题纸得分：选择题二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.2.3数学归纳法[答案]一、选择题1[答案]B[解析]本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．2[解析]D[答案]a1＝1－eq\f(1,2)，a2＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，…，an＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，ak＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2k－1)－eq\f(1,2k)，所以，ak+1＝ak＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2).3[答案]C[解析]当n＝k＋1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)4[解析]首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－二、填空题5[答案]k[解析]n＝n＝k6[答案]22k[解析]当当时(k则左边应增乘的式子是2(2k＋三、计算题7[解析]设f(n)(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1(2)设当n＝k则当n＝fk＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,6)∴由(1)(2)可知当n∈8[解析](1)证明：用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立，即ak+bk=1，则当n＝k＋1时，ak+1+bk+1＝a∴当n＝由①、②可知，an+bn=1对(2)∵an+1＝anb∴1an+1即1a数列{1an}是公差为1的等差数列，其首项为1a1an＝1a＋(n－1)×19[解析](1)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4)，a4＝eq\f(15,8)，由此猜想an＝＝2n-12n-1((2)证明：当n＝1时，a1假设n＝k(k≥1，且即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1(k≥1ak＋1＝Sk＋1-Sk－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝2+ak2＝2+这表明n＝∴an＝2n-12n-1(n∈10[解析](1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－∴b2＝eq\f(b1,1－4a12)＝eq\f(1,3).a2＝a1·b2＝eq\f(1,3).∴点P2的坐标为(eq\f(1,3)，eq\f(1,3))∴直线l的方程为2(2)证明：①当n＝2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1②假设n＝