符号计算系统MATHEMATICA电子教案

符号计算系统Mathematica

及其应用

众所周知，高等数学中许多重要方法，如求极限、

求导数、求不定积分、求定积分、解常微分方程、向量

运算、求偏导数、计算重积分、级数展开等，只靠笔算

难以完成.为提高读者用高等数学解决实际问题的能

力,本章将对符号计算系统Mathematica及其在上述运

算中的应用进行简单介绍.

第一节初识符号计算系统Mathematica

第二节用Mathematica做高等数学

W回EC

第一节初识符号计算系统Mathematica

、舁术运舁七、自定义函数

—、代数运算八、表

三、系统的帮助九、解方程

四、Notebook与Cell一、Which语句

五、常用函数----、Print语句

六、变量

第一节初识符号计算系统Mathematica

大家知道，计算机是应数值计算的需要而诞生的.今

天，计算机已从单纯的数值计算功能发展到文字处理、

数学推理与图形变换等功能，正在不断改变着我们的工

作及生活方式，使人类的劳动效率及生活水平都在不断

提高.随着计算机的逐步普及，人们对计算机的依赖程

度越来越高.数学软件包就是为方便广大工程技术人员、

大专院校师生及科学技术人员用计算机处理数学问题而

提供的软件工作平台.数学软件包不仅能方便的进行数

值计算，而且能方便的进行数学表达式的化简、因式分

解、多项式的四则运算等数学推理工作，一般称后者为

符号计算.因此，数学软件包又称为符号计算系统.

Mathematica系统是目前世界上应用最广泛的符号

计算系统，它是由美国伊利诺大学复杂系统研究中心主

任、物理学、数学和计算机科学教授StephenWolfram

负责研制的.该系统用C语言编写，博采众长，具有简

单易学的交互式操作方式、强大的数值计算功能及符号

计算功能、人工智能列表处理功能以及像C和Pascal

语言那样的结构化程序设计功能.它有Dos环境下及

Windos环境下的几种版本.这里主要介绍Windos环境

下的2.21版本在高等数学中的应用，其他版本类似.

一、用Mathematica作算术运算

双击Mathematica之图标，启动Mathematica

系统，计算机屏幕出现Mathematica的工作窗口（见下

图），此时可以通过键盘输入要计算的表达式.

1.<MathematicaforWindows-[Newnb-l]

-FileEditCell①-aphActionStyleOptionsWindowHelp

Inpul□m回司同国rnrwinrm向mi

」1」二-ll-jjjl」1-1一』一」一」-«Jl-l^-t」J-i^」^Jl」J-l^」.Jl」Jji」《^Jl」J」i」-Jl」J-li」^Jl「l」一」iJl」lJ-l1」＞?jl«Jj-i«^^l-ij

>1

ticaFrontEndReady32276KBytesFree

刈奂"七力caforWin.《国1:03

例1计算100!

解在主工作窗口用户区（见下页图）中，输入100!

AMathematicaforWindows-[Newnb-l]HEIS

FileE.ditCellGt-aphActionStyleOptionsWindowHelp一国x|

[input06闻;刃

一‘1」一」一」^J.u二q」出一」二」一」.

100!

Out[i]=

93326215443944152681699238856266700490715968264381621\

4685929638952175999932299156089414639761565182862536\

97920827223758251185210916864000000000000000000000000

1U

:芨I开始|过分寸:切I

注意：在上图中，=与Out[l]=均是在运算

后由系统自动给出的，用户不能自己输入.

例2求表达式2X42-104-(4+1)的值.

解在工作窗口输入表达式2^2-10/(4+1)后，

单击运算按钮的,得运算结果30(见下图).由上例不

难看出+、-、*、/、C分别为Mathematica系统中的加、

减、乘、除及乘方的运算符号，其运算规律与初等数学

中的规定是一致的.下图中，％代表上一个语句的输出结

果，该例中指30.

例3分别求面积为60c/的圆盘的半径与直径（保

留10位有效数字）

解In[l]:=N[（60/Pi厂（1/2）,10]

Out[1]=4.370193722

In[2]:=N[2*0ut[1],10]

Out[2]=8.740387445

田（60加1广（1/2）,20]中的？1代表圆周率"，

它是Mathematica系统中提供的数学常数，系统中

的数学常数还有E（自然对数的底）、I（虚单位二I）

等.

N[（60/Pi）^（l/2）,10]表示在计算表达式

（60/Pi）Y1/2）的值时保留10位有效数字.N[表达

式，m]为Mathematica系统中的求值函数，它表示对

给定的表达式求出具有m位有效数字的数值结果.

W曰E][

二、代数运算

Mathematica的一个重要的功能是进行代数公式

演算，即符号运算.

例4设有多项式3丁+2和

(1)求二者的和、差、积、商；

(2)将二者的积展开成单项式之和；

(3)将二者的积进行分解因式.

解In[1]:=p1=3*12+2xT

Out[1]=-l+2x+3x2

In[2]:=p2=x2-l

Out[2]=-1+x"

In[3]:=pl+p2

2

Out[3]=-2+2x+4x

In[4]:=pl-p2

Out[4]=2x+2x

In[5]:=pl*p2

Out[5]=(-l+x2)(-l+2x+3x2)

In[6]:=pl/p2

(—l+2x+3x2)

Out[6]=---------------

2

-l+x

In[7]:=Factor[pl*p2]

Out[7]=(-1+x)(1+x)2(-l+3x)

In[8]:=Expand[pl*p2]

Out[8]=1-2X-4X2+2X'+3X1

由例4可以看出多项式间的加、减、乘、除运算符

号分别为+、-、X、+；Factor［多项式］表示将其中括

号内的多项式分解因式；Expand［多项式］表示将其中括

号内的多项式展开成按升幕排列的单项式之和的形式.

值得注意的是，上面提到的N［表达式，血、

Factor［多项式］、Expand［多项式］均是Mathematica系

统中的函数，其中N,Factor,Expand分别为其函数名

（函数名的第一个字母必须大写）.

事实上，Mathematica系统中含有丰富的函数.后

面将结合具体内容介绍有关函数命令.

三、系统的帮助

单击帮助按钮或在“Help”菜单中选择

uSearchforHelpon”则调出与下页图类似的帮助

对话框，然后在第一个文本框内输入要查询的函数（或

命令）的前几个字符，则在第二个文本框内显示以输

入字符开头的函数（或命令）列表，选择要查找的函

数（或命令），单击“显示”命令按钮便调出该函数

（或命令）的使用规则说明.

ica

i键入要查找的单词的前几个字母

2单击所需的索引项.然后单击“显示”也）.

$Aborted

$BatchInput

$BatchOutput

$CommandLine

$Context

$ContextPath

$CreationDate

$De£aultFont

$Display

$DisplayFunction

$DumpDates

$DwnpSupported

$Echo

$Epilog

$Failed

SignoreEOF

Notebook与CeI

Notebook是Mathematica系统提供给用户的最基

本的工作环境.它就像字处理软件中的文档.Notebook

上方有主菜单（下图1）及工具按钮条（下图2）.借助于

主菜单或工具按钮条可进行编辑、保存、打印及打开等

操作.

FileEditCellGraphActionStyleOptionsWindowHelp

图1

图2

Cell是组成Notebook的基本单元，也称为单元.一

个输入、一个输出或一个图形都是一个单元(Cell),—

个Cell的全部内容由靠窗口右边的方括号括起来，这个

方括号就像Cell的手柄，单击这个方括号就选定了这个

Cell,然后就可以对这个Cell进行移动、复制、剪切、

计算的按钮操作或执行菜单命令.

若干个Cell可以组织成一个组(Cells),组的标志是

一个外层大括号括着几个小括号.通过在“Cell”主菜单

中选择“GroupCell"命令实现对若干个选定的单元

(Cell)进行组“组”操作；通过先单击“组”括号，

再在“Cell”主菜单中选定“UnGroupCellv命令实现

对选定的“组”进行解散一个组的操作.

关于菜单命令及键盘命令请分别参见表1及表2:

表1

菜单命令键盘命令意义

FormattedCtrl+T设定Cen的格式

GroupCellsCtrl+G将多个Cell组成

一个组

UngroupCellsCtrl+U解散一个组

表2

菜单命令键盘命令意义

EvaluateShift+Enter计算当前选定

Selection的单元

EvaluateNextCtrl+Enter计算下一个输

Input入

InterruptAlt+.中断____

另外，要想在同一个单元（Cell）中进行换行操作,

只需在需要换行的地方打回车键（Enter）即可.

五、常用函数

Mathematica中的数学函数是根据定义规则命名

的.就大多数函数而言，其名字通常是英文单词的全

写.对于一些非常通用的函数，系统使用传统的缩写.如

“积分”用其全名Integrate,而“微分”则用其缩写

名D（这两个函数在本章第二节中要专门介绍）.下面给

出些常用函数的函数名.

Exp[z]自然数e为底的指数函数

Log[z]自然数e为底的对数函数

Log[b,z]自然数b为底的对数函数

Sin[z],Cos[z]正弦函数与余弦函数

Tan[z],Cot[z]正切与余切函数

Sec[z],Csc[z]正割与余割函数

ArcSin[z],ArcCos[z]反正弦函数与反余弦函数

ArcTan[z],ArcCot[z]反正切与反余切函数

ArcSec[z],ArcCsc[z]反正割与反余割函数

如上三角函数与反三角函数中的参量为弧度.

Sqrt[z]求z的2次方根

z八(1/n)求z的n次方根

当z>0时，如上两个函数均有惟一的值；当z<0时、

函数值不唯一(属复变函数范畴).

例1求表达式Ig2+ln3的值.

解In[l]:=Log[10,2]+Log[3]

..「Logl2]

Out[rl]=Log[3]+-------

Log[10]

In[2]:=N[Log[10,2]+Log[3],10]

0ut[2]=l.399642284

In[3]:=Log[10.0,2]+Log[3.]

Out⑶=L39964

在本例中，对应于输入语句输出语句Out[l]

并没有给出lg2(Log[10,2])及ln3(Log[3])的“数值结

果”，这是由于Mathematica符号计算系统的“对于只含准

确数的输入表达式也只进行完全准确的运算并输出相应的

准确结果”的特性所决定的.在In[2]中用数值转换函数

N[P,10],将对表达式Log[10,2]+Log[3]的运算转换成了计

算结果具有10位有效数字的实数形式运算，所以有输出结

果0ut[2]=l.399642284.在In[3]:=Log[10.0,2]+Log[3.]

中，用实数10.0代替整数10;用实数3.代替整数3,这里

10.0和3.都是实数的表示方法.Mathematica符号计算系

统中数值类型有整数、有理数、实数、复数四种类型.

六、变量

1.变量名

为了方便计算或保存中间计算结果，常常需要引进

变量.在Mathematica中，内部函数或命令都是以大写

字母开头的标识符.为了避免混淆，Mathematica中的

变量名通常以小写字母开头，后跟字母或数字，变量名

字符的长度不限.例如，abcdefghijk,x3都是合法的

变量名；而uv（u与v之间有一个空格）不能作为变量

名.英文字母的大小写意义是不同的，因此A与a表示

两个不同的变量.

在Mathematica中，变量即取即用，不需要先说明

变量的类型后再使用.在Mathematica中，变量不仅可

存放一个整数或复数，还可存放一个多项式或复杂的算

式.

数值有类型，变量也有类型.通常，在运算中不需

要对变量进行类型说明，系统根据对变量所赋的值会作

出正确的处理.在定义函数和进行程序设计时，也可以

对变量进行类型说明.

2.给变量赋值

(1)变量的全局赋值

在Mathematica中，运算符号“二”或“：=”起赋

值作用，一般形式为：

变量二表达式

或

变量1二变量2二表达式

其执行步骤为：先计算赋值号右边的表达式，再将计算

结果送到变量中.

在Mathematica中，“二”应理解为给变量一个

值.在使用“二”定义规则时，定义式右边的表达式立即

被求值；而在使用“：二”定义规则时，系统不做运算，

也就没有相应的输出，定义式右边的表达式不被立即求

值，直到被调用时才被求值.因此，“：二”被称为延迟

赋值号，“二”被称为立即赋值号.一般的高级语言没有

符号运算功能，因此，在C和Pascal等语言中，一个变

量只能表示一个数值、字符串或逻辑值.而在

Mathematica中，一■个变量可以代表一^个数值、一*个表

达式、一个数组或一个图形.例如：

In[l]:=u=v=l（*与c语言类似，可以对变量

连续赋值*）

Out[1]=1

In[2]:=r:=u+1（定义r的一个延迟赋值）

In[3]（*计算r*）

Out[3]=2

In[4]:=u=.（清除变量u的值）

In[5]:=2*u+v

Out[5]=l+2u（u以未赋值的形式出现）

In[6]:=?u（查询变量u的值）

Out[6]=Globalu

在编程运算中，经常用？U询问变量U的值，以保运算结果

的正确.这里对应于输入语句In[6]:=?u的输出语句

Out[6]=Global'说明了u是一个未被赋值的全局变量.事

实上在语句In[4]:=u=.中，已经清除了变量u的值.注意：

给变量所赋的值在Mathematica的一个工作期（从进入

Mathematica系统到退出Mathematica系统）内有效.因此，

在Mathematica同一工作期内计算不同问题时，要随时对新

引用的变量的值进行清零.

(2)变量的临时赋值

变量的临时赋值格式为：f[x]/.x->a.注意x->a中

的箭头是由键盘上的减号及大于号组成的.

该语句给函数f凶中的变量x临时赋予数值a.用临

时赋值语句给变量赋的值，只在该语句有效.

七、自定义函数

在Mathematica中，所有的输入都是表达式，所有

的操作都是调用转化规则对表达式求值.一个函数就是

一条规则，定义一个函数就是定义一条规则.定义一个一

元函数的规则是f[x」：=或f[x_]二的后面紧跟一个以x

为变量的表达式，其中x称为形式参数.

调用自定义函数f[X」时，只需用实在参数（变量或数值

等）代替其中的形式参数x_即可.

如果用"f[x]二表达式”定义一个函数，那么这个规则

只对X成立，既中f[x]中的X不能用任何其他的东西取

代.在运行中，可用"=."清除函数的定义，

用Clear[f]清除所有以f为函数名的函数定义.

例2定义函数f=x2+4x+cosx,先分别求x

=1,3.1,Pi/2时的函数值；再求f（一）.

解f[x_]:=x"2+Sqrt[x]+Cos[x]

In[2]:=f[1.]

Out[2]=2.5403

In[3]:=f[3.1]

Out[3]=10.3715

In[4]:=f[N[Pi]/2.]

Out[4]=3.72072

In[5]:-f[x"2]

Out[5]=x4+Sqrt[x2]+Cos[x2]

在Out[5]中，由于系统不知到变量x的符号，所

以没有对右进行开方运算.

八、表

1.表的生成

系统将表定义为有关联的元素组成的一个整体.用

表可以表示数学中的集合、向量、矩阵，也可以表示数

据库中的一组记录.

一维表的表示形式是用花括号括起来的且中间用

逗号分开的若干元素.如：

{1,2,100,x,y}

表示由1,2,100,x,y这5个元素组成的一维表.

二维表的表示形式是用花括号括起来的且中间用

逗号分开的若干个一■维表，如：

{{1,2,5},{2,4,4},{3,6,8}},{{a,b},{1,2}}

均是二维表，二维表就是“表中表”.

2.表的元素

对于一维表b用或Part[b,i]表示它的第i

个元素（分量）；对于二维表b,或Part[b,i]就表

示它的第i个分表（分量），其第i个分表中的第j个

元素用b[[i,j]]来描述.

In[l]：=b={3,6,9,11}

In[2]：=b[[2]]

Out[2]=6

3.表的运算

设表bl>b2是结构完全相同的两个表.表bl与b2

的和、差、积、商等于其对应元素间的相应运算（分母不

能为零）.如：

In[l]:=bl={1,2,3,4};

In[2]:=b2={2,4,6,8};

In[3]:=bl+b2

Out[3]={3,6,9,12）

In[4]:=bl-b2

Out[4]={一1,一2,—3,14}

In[5]:=bl*b2

Out[5]={2,8,18,32}

In[6]:=bl/b2

fl1111

Out[6]=<一,一,一,一>

[2222]

上面输入语句In[1]和In[2]均以分号（；）结尾，则不

输出运算结果.止匕外，一个数或一个标量乘一个表等于这

个数（或这个标量）分别乘表中每个元素.

W回HC

九、解方程

1.Solve

Solve是解方程或方程组的函数，其形式为

Solve[eqns,vars],其中eqns可以是单个程也可以是方

程组，单个方程用exp==0（其中exp为关于未知元的表

达式）的形式；方程组写成用大括号括起来的中间用逗

号分割的若干个单个方程的集合，如由两个方程组成的

方程组应写成{expl==0,exp2==0}；vars为未知元表，

其形式为{xl,x2,…xn].如：

In[l]:=Solve[xA2-l==0,x]（*解方程x2—1=0*）

Out[l]={{x{x-1}}（*方程——1=0的两

个解*）

In[2]:=Solve[{2x+y==4,x+y==3},{x,y}]（*解方程组

2x-\-y=4,

V

、X+y=3

f2x+y=4

Out[2]={{x->ly->2}}（*输出方程组1'一'

5[、+y=3

的两个解央）

值得注意的是Solve语句把所求方程的根先赋给未

知元后再连同未知元及赋值号-用花括弧括起来作为

表的一个元素放在表中，女口Out[l]={{x>-1},{x

-1}}.若想在运算过程中直接引用Solve的输出结果，

可按变量替换形式(f[x]/.Xa)把所需要的根赋给某一

变元.

In[3|:=j=%

Out[3]={{x->l,y->2}）

In[4]:=xl=x/.j[[l,l]]（*等价于x

->1*）

Out[4]=l（*变量xl的值*）

In[5]:=x2=y/.j[[l,2]]（*j[[l,2]J等价于x->2

*）

Out[5]=2（*变量x2的值*）

一、Which语句

Which语句的一般形式为:

Which[条件1,表达式1,条件2,表达式2，…，条

件n,表达式n]

Which语句的执行过程：从计算条件1开始，依次

计算条件i(i=l'•’!!),直至计算出第一个条件为真时为止，

并将该条件所对应的表达式的值作为Which语句的

值.用Which语句可以方便的定义分段函数.

H-----、Print语句

Print为输出命令，其形式为；

Print[表达式1,表达式2,­­•]

执行Print语句，依次输出表达式1,表达式2,…等

表达式，两表达式之间不留空格，输出完成后换行.通常

Print语句先计算出表达式的值，再将表达式的值输

出.若想原样输出某个表达式或字符，需要对其加引号，

参见下例中的Print语句.

思考题

1.Factor[x^2+2x-3]的运行结果.

2.在Mathematica的主工作面中，表达式Factor

(x-2+x-4)的运行结果如何？

3.给出下列语句的运行结果.

In[l]:=bl={2,4,6,8,10);

In[2]:=b2=Table[bl[[i]]-bl[[i-l]],{i92,5}]

In[3]:=b3=Insert[b2,bl[[l]],l]

In[4]:=b4=bl*b3

Inl5]:=Log[100,10000]

In[6]:=Log[EA10]

Inf7]:=Log[100]

In[8]:=Sqrt[2]+Sqrt[2.]

4.如何在一■个语句中给出sinx在x=15°,45°,60°,

75,90°的值？

第二节用Mathematica做高等数学

一、求极限六、做三维图形

二、求导运算七、求偏导数

三、做导数应用题八、计算重积分

四、做一元函数的积分九、级数运算

五、解常微分方程十、做数值it篁

第二节用Mathematica做高等数学

一、用Mathematica做高等数学

在Mathematica系统中，求极限的函数为Limit,

其形式如下：

Limit[f[x],x->a],

其中f[x]是以x为自变量的函数或表达式，x->a中的

箭头是由键盘上的减号及大于号组成的•求表达

式的左极限和右极限时，分别用如下形式实现：

Limit[f[x],x->a,Direction->l]（左极限）

Limit[f[x],x->a,Direction->-l]（右极限）

例1求下列极限：

2x]1

(1)lim-----;(2)lim2X;(3)lim2,；

X-。Xx-»0+x^Q一

(4)limarctanx;(5)limarctanx.

x—H-ooXf-oo

解[n[l]:=Limit[(E(2*x)-1)/x,x->0]

2x_]

(*计算lim-----*)

x—>0X

Out[1]=2

In[2]:二Limit[2-(1/x),x->0,Direction->-1]

(*计算lim2'*)

x—>0+

Out[2]=Infinity(*Infinity为正无

穷大*)

In[3]:=Limit[2x,x->0,Direction->1]

(*计算

Out[3]=1

In[4]:=Limit[ArcTan[x],x->Infinity]

(*计算limarctanx*)

.¥—>4-00

Out[「4]n=Pi

2

In[5]:=Limit[ArcTan[x],x->-Infinity]

(*计算limarctanx*)

x—>-W

「-Pi

Out[5]n=

2

注意：如上用（**）括起来的内容为对其前面

的输入语句In[n]的注释.

W目HH

二、用Mathematica进行求导运算

在Mathematica系统中，用D[f,x]表示f(x)对x的一*

阶导数，用D[f,{x,n}]表示f(x)对x的n阶导数.在一定范

围内，也能使用微积分中的撇号(撇号为计算机键盘上

的单引号)标记来定义导函数，其使用方法为：若f[x]

为一元函数，则f'[x]给出f[x]的一阶导函数f[Xo]给出

函数f[x]在X=Xo处的导数值.同样f''[x]给出f[x]的二阶

导函数,f”[x]给出f[x]的三阶导函数.

例2求下列函数的一阶导函数.

(1)；(2)y=sinx.

解

In[l]:=D[xA8,x]

Out[l]=8x7

In[2]:=D[xA8*Sin[x],x]

Out[2]=x8Cos[x]+8x7Sin[x]

例3求函数夕=/©2]的2阶导函数.

解

In[3]:=D[xA8*EA(2^x),{x,2}l(女求函数

y=x8e2v的二阶导函数*)

Out[3]=56E2XX6+32E2XX7+4E2XX8

三、用Mathematica做导数应用题

大家知道，导数应用指的是：用导数的性态来研

究函数的性态，主要包括函数的单调性、凹向、极值

与最值的求法以及一元函数图形的描绘.由于对函数

单调性、凹向等问题的研究，不但需要进行求导运算

而且还需要进行解方程及条件判断等工作.因此，本

节在用Mathematica做导数应用题的过程中，经常使

用Mathematica系统中的Solve,Wich,Print这三个函

数.

例4设函数/(%)=«111%+法2+%在5=1,%2=2

处都取得极值，试定出6的值，并问这时/(X)在

玉=1,%2=2处是取得极大值还是极小值？

解

In|l]:=f[x_]:=a*Log[x]+b*xA2+x

In[2]:=Solve[{ff[l]==0,ff[2]=0},{a,b}]（*解方程

求驻点*）

In[3]:=c=%;（*将方程组的解赋给变量c*）

In[4]:=a=a/.c[[l,l]];（*等价于a=a/.af—-*）

In[5]:=b=b/.c[[l,2]];（*等价于a=a/.a-—-*）

Inf6]:=el=fM[l];

In[7]:=e2=fM[2];

In[8J:=Which[el==0,Print[失效

极小值],elvO,Print[Fir'极大值1]（*判断f”[1]的符号，

从而决定f[l]是极小值还是极大值*）

In[9]:=Which[e2==O,Print[失效],e2>0,Print『f[2]”

极小值],e2vO,Print[F2]”极大值]]行判断f[2]的符号，

从而决定f[2]是极小值还是极大值*)

Oiit[2]={{a—>——,b—>——j)

<3J

Out[8]=f[l]极小值

Out[9]=f[2]极大值

另外，Mathematica系统还提供了用逐步搜索法求

函数极值的函数FindMinimum,其使用方法请同学们

上机练习.

USEC

四、用Mathematica做一元函数的积分

在Mathematica系统中，用Integrate计算一■元函

数的积分，其格式与作用如下：

Integrate[f,x]计算不定积分J/(x)dx

Integrate[f,{x,a,b}]计算定积分J：/(x)dx

例5求下列积分

r2

（1）Jx5dx；(2)xdx.

角翠In11]：=Integrate[xA5,x]（*计算Jx'dx*）

6

X

Out[l]=一

6

In|2|：=Integrate[xA5,{x,l,2}]（*计算Jx5dx*）

21

Out[2]=——

2

W回HC

五、用Mathematica解常微分方程

在Mathematica中，用函数DSolve可以解线性与非

线性常微分方程，以及联立常微分方程组.在没有给定方

程的初始条件的情况下，所得的解包括了待定常数

C[1],C[2],C[3],…等等.

DSolve函数求得的是常微分方程的准确解（解析解），

其调用格式及意义如下：

Dsolvefeqn,y[x],x]解y[x]的微分方程eqn,x

为自变量.

DSolve[{eqnl,eqn2,...},{yl[x],y2[x],...},x]解微分

方程组{eqnl,eqn2,…},x为自变量.

Dsolve[{eqn,y[0]==x0},y[x],x]求微分方程eqn满足

初始条件y[O]==xO的解.

例6求微分方程y'=y+x满足初始条件y[O]=l的

特解.

解

In[l]:=DSolve[{yT[x]==y[x]+x,y[0]=l},y[x],x]

Out[l]={{y[x]->-1+2Ex-x}}

例7求微分方程y"+2j/+y=0的通解.

角翠

In[2]:=DSolve[y1![x]+2*yT[x]+y[x]==0,y(x],x]

C[l]xC[2]

Out[2]={{y[x]->-------+------------}},

EE

C[2]为任意常数*)

六、用Mathematica做向量运算和三维图形

本节我们用Mathmatica做向量运算和三维图形

Mathmatica用表来表示向量.任何不是向量的量都作为

标量.下面结合具体问题介绍向量间的加法（+）、减法

（-）、点积（•）、叉积等运算以及向量的模、向量夹角的

求法，以及函数PIot3D、ParametricPIot3D在描绘空

间曲面的图形时的具体应用.

例9设向量〃/+2m。=2，+3/—44，求向量

〃+仇。-仇，〃的模，〃的模及向量。与向量〃的夹角余

弦与夹角.

解

In[l]:=a={l,-1,2}（*输入向量a*）

In[2]:=b={2,3,-4}（*输入向量b*）

In[3]:=a+b（*计算向量a与6的和*）

In[4]:=a-b（*计算向量♦与6的差*）

In[5]:=a.b（*计算向量。与力的点积*）

In[6]:=Det[{{i,j,k},{1,-1,2},{2,3,-4}}]（*计算

向量。与b的叉积*）

In[7]:=Sqrt[a.a]（*计算向量♦的模*）

In[8]:=Sqrt[b.b]（*计算向昼的模*）

In[9]:-a,b/（Sqrt[a.a]*Sqrt[b.b]）（*计算向量

0与b的夹角余弦*）

In[10]:=ArcCos[N[%]]（*计算向量"与的夹角*）

Out[l]={l,-1,2}

Out[2]={2,3,-4）

0ut[3>{3,2,-2）

Out[4]={-1,-4,6}

W回HC

Out[5]=-9

0ut[6]=-2i+8j+5k

Out[7]=Sqrt[6]

Out[8]=Sqrt[29]

3

Out[9]=_3Sqrt[

58

0ut[10]=2.32168

在ln[6]:=Det[{{i,j,k},{1,-1,2},{2,3,-4}}]中,

Det为计算行列式的函数.其调用格式为：其中

m为一方阵，m用行、列相同的二维表{{…},…，{…}}

表示，二维表从左到右依次表示方阵的第一行、第二

行，…，直至最后一行.注意：在使用函数Det时，必须

保证每一个子表所含元素个数相同（即行列式的每行所

含元素个数相同），必须保证子表个数与每一个子表所含

元素个数相同（即行列式的每列所含元素个数相同）.

例10做出曲面Z=F+y2的图形:

解

In[1]:=Clear[x,y,z,r,t]

In[2]:=x[r,t]：=r*Cos[t]

In[3]:=y[r_,t]:=r*Sin[t]

In[4]:二z[r_,t_]:2

（*In[2]、In[3]>In[4]定义了柱坐标系下抛物

面z=/+/的参数方程*）

In[5]:=ParametricPlot3D[{x[r,t],y[r,t],z[

r,t]},{t,0,2Pi},{r,0,2}]（*描绘抛物面z=x

的图形*）

图形输出见下页.

ParametricPIot3D描述的是含2个参数的三维空

间曲面.其调用格式为：

ParametricPIot3D[{x[t,u],y[t,u],z[t,u]},{t,

tmin,max},{u,umin,umax}],

其中{x[t,u],z[t,u]}为用参数表示的直角坐

标系下的三个坐标x、v、z的表达式.{t,tmin,max)

和{u,umin,umax}分别为参数t和u从小到大的变化范

围.

在ln[1]:=Clear[x,y,z,r,t]中，函数

Clear[s1,s2,…]的作用是清除s1,s2,…的值.为了提高

运算的准确度，在用Mathematica编程求值时，用

Clear[s1,s2,…]语句先清除所用变量的值是非常好的

习惯.

Mathmatica系统提供了非常丰富的作图函数.建议同

学们通过阅读Mathmatica手册及查阅在线帮助对系统的

做图功能进行更多得了解.

七、用Mathematica求偏导数与多元函数的极值

与在Mathematica系统中求一元函数的导数类似，

求多元函数/的偏导数仍用求导算子D完成.具体调用格

式如下：

D[f,x]给出偏导数

D[f,{x,n}]给出高阶偏导数

D[f,xl,x2,・・・]给出高阶混合偏导数

例11求函数z=sinx+xcosj的两个一阶偏导数和四个

二阶偏导数.

解

In[l]：=Clear[x,y]

In[2]：=f[x_,y_J：=Sin[x]+x*Cos[y]

In[3]：=D[f[x,y],x]

In[4]：=D[f[x,y],y]

In[5]：=D[f[x,y],{x,2}]

In[6J：=D[f[x,y],{y,2}]

In[7]：=D[f[x,y],x,y]

In网:=D[f[x,y],y,x]

Outl3]=Cos[xJ+Cos[y]

Out[4]=-（xSiNyD

Out[5]=-Sin[xl

Out[6]=-（xC°s[y]）

Out[7]="Sin[y]

Out[8]=-Sin[y]

回E

例12求函数Z=/+£_3q的极值.

解

In[l]：=Clear|f,x,y,p,a,b,pl,p2,A,B,Cl]

In[2]：=f[x_,y_]：=xA3+yA3-3*x*y

In[3]：=a=D[f[x,y],x]；

In[4]：=b=D[f[x,y],y]；

In[5]：=A[x_,yJ=D[f[x,y],{x,2}]

In[6]：=B[x_,y_]=D[f[x,y],x,y]

In17]：=Cl[x_,y_J=D[f[x,y],{y,2}]

In[8]：=p[x_,yj：=B[x,y]A2-A[x,y]*Cl[x,y]

In[9]：=Solve[{a==0,b==0},{x,y}]；

In[10]：=pl=p[x,y]/.%[[1]]；

In[ll]：=p2=p[x,y]/.%%[[2]]；

In[12]：=Which[pl>0,Print[(0,0)不是极值点

n],pl<0&&A[0,0]<0,

Printr，f[0,0]=[f[0,0]J是极大值，lplv0&&A[0,0]X),

Print[F0,0]=1f[0,0]J是极小值T,pl=0,Printr，失效

In[13]：=Which[p2>0,Print[^(l,l)不是极值点

M],p2<0&&A[l,l]<0,

PriIlt厂f[lJ]=",f[l,l]J是极大值，lp2v0&&A[l,l]>0,

是极小值”],p2=0,Priiit[”失效

T1

Out[12]=(0,0)不是极值点

Out[13]=f[l,l]=-1是极小值

八、用Mathematica计算重积分

在Mathmatica系统中，与求定积分类似，仍用函数

Integrate计算重积分，其调用格式如下：

Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]

例13计算二重积分JJxe町dxdy,D:0<x<l,

D

-1<j；<0.

角翠

In[l]:=Clear[x,yJ

In[2]:=Integrate[x*Exp[x*y],{x,0,l}9{y9-l90}]

1

Out[2]=-

W回HC

例14算二重积分J卜丹dx4y,O是由

D

y=^所围成的区域.

解

In[l]:=Clear[x9y]

In[21:=Integrate[x*Sqrt[y],{x,0,l},{y,xA2,Sqrt[x]}]

6

Out[2]=—

55

USEC

九、用Mathematica进行级数运算

用Mathematica能对幕级数进行加、减、乘、除、乘

方、微分、积分等多种运算.这里重点介绍函数的幕级数

展开.在Mathematica系统中，用Series将一■个函数f(x)

展开成为x的幕级数.其调用格式有如下两种：

Series[f,{x,xO,n}]把函数f在点xO处展开到x的n次

幕.

Series[f,{x,x0,nl},{y,y0,n2}]把二元函数f在点(xO,yO)

处展开到x的nl次