九师联盟高三上学期10月联考数学试卷

高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化简集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求出求解即得.【详解】依题意，，所以.故选：A2.已知，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围.【详解】因为，所以，则，又，所以，从而．故选：B．3.已知定义域为的函数不是偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得答案.【详解】定义域为R的函数是偶函数，所以不是偶函数．故选：D．4.设函数若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分当和两种情况进行求解即可得答案.【详解】当时，则，解得；当时，则，解得．综上，的取值范围是．故选：A．5.设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A，，故是的充要条件；对于B，由得，能推出，反之不成立，所以是的充分不必要条件；对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，所以是的既不充分也不必要条件；对于D，由不能推出，反之则成立，所以是必要不充分条件．故选：B．6.已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则当矩形的面积最大时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，则，则矩形面积，利用导数求得当时，取得最大值，即可求得AB.【详解】设，则，所以矩形面积，所以，令，解得．当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，此时．故选：D．7.已知关于的方程有两个不相等的实数解，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先设函数，再把两个不相等的实数解转化为函数有两个交点，数形结合列式求解即可.【详解】由，记．因为在上单调递减，在上单调递增，所以Fx的最小值为，结合图象知，若函数Fx与的图象有两个交点，即原方程有两个不相等的实数解，则需，解得．故选:A．8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，再应用函数单调性得出，再根据，取对数判断得出，最后比较可得选项；【详解】设，则，所以在0,1上单调递增，所以，即，所以；因为，所以，即；又，所以．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案.【详解】对于A，当时，，故A正确；对于B，为全体奇数构成的集合，当为奇数时，也为奇数，故B正确；对于C，，则，但，故C错误；对于D，，当x∈0,2时，，故D正确．故选：ABD．10已知函数，设，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】分别构造函数，，设，再应用函数的单调性即可判断A,B,C选项，应用基本不等式计算判断D.【详解】对于A，设在上单调递增，由，得，即，故A错误；对于B，设，，则在上单调递减，由，得，故B正确；对于C，设，则，所以，当且仅当时取等号，即，故C正确；对于D，由，得，所以（当且仅当时等号成立）；再结合，得，故D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数再应用函数单调性判断选项.11.设，定义在上的函数满足，且，则（）A. B.C.为偶函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A，令，又，即可求得；对于B，令，再由，即可推得；对于C，令，可得，从而为奇函数；对于D，可推得，即的周期为，则.【详解】对于A，令，得，因为，所以，故A正确；对于B，令，代入可得，因为，所以，从而，故B正确；对于C，令，代入得，又因为对，恒成立且不恒为0，所以，从而为奇函数，又不恒等于0，故C错误；对于D，因为，所以，所以为的周期，所以，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知为幂函数，则曲线在点处的切线的方程为______．【答案】【解析】【分析】首先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合导函数的几何意义求切线方程即可.【详解】设，将代入得，所以，所以切线方程为，即．故答案为：.13.设且，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：1214.已知函数有3个零点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据函数的导数，构造函数，通过和确定的单调性，再结合零点存在性定理即可求解.【详解】的定义域是，且．令，判别式．当时，，则，所以在上单调递减，所以上最多有1个零点，不符合题意；当时，此时，设方程的两根分别为，且，则，所以异号，即．又，所以，所以，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在上有唯一零点，又因为，且，结合的单调性，得，由零点存在性定理可知，在上存在一个零点，在上也存在一个零点，又在上有一个零点，所以有三个零点，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.定义区间、、、的长度均为，其中．（1）若关于的不等式的解集区间长度为2，求的值；（2）若且，求关于的不等式的解集区间长度范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）设出不等式的解集区间，借助韦达定理及区间长度列式计算即得.（2）由给定条件，可得及，再求出不等式的解集区间即可.【小问1详解】依题意，设不等式的解集区间为，则是方程的两个不等实根，且，，即有，由，得，解得，满足题意，所以的值是．【小问2详解】由且，得，由及，得，则，不等式化为，即，解得，所以其解集区间长度为，范围为.16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在极小值，讨论与的大小关系.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数，再分四种情况讨论导函数正负得出函数单调性；（2）结合（1）的结论，分两种情况分别求出函数的极小值，再结合对数函数值范围比较大小关系即可.【小问1详解】，若，即，则当时，；当时，；当，即，则恒成立，当且仅当时，f'(x)=0；若，即，则当或时，f′x<0；当时，f′x>0若，即，则当或时，f′x<0；当时，f′x>0综上所述，当时，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增；当时，在0,+∞上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0,1，上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由（1）知，若存在极小值，则，且当时，，此时，所以；当时，，因为，所以，所以.综上所述，当时，；当时，.17.某制药厂临床试验一批新药的疗效（因子是主要成分），根据国家规定：服用新药后100mL血液中因子含量达到认定为有效Ⅰ级，80mg及以上认定为有效Ⅱ级，20mg以下认定为无效．经过大量试验得知，服用该药后一开始血液中因子的浓度呈线性增长，当其上升到时，血液中因子的浓度将会以每小时的速度减少（函数模型如图）．（1）请写出服用该药后血液中因子浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的关系式；（2）服用该药后，至少要经过几个小时血液中因子才能降至无效？（结果取整数）．（参考数据：）【答案】（1）；（2）9个小时.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，结合图象求出与的关系式.（2）利用（1）的结论，结合已知建立不等式，再利用单调性求解即得.【小问1详解】开始时，血液中因子浓度呈线性增长时，设，将代入，得，解得，因此；当时，，又当因子浓度上升到时，以每小时的速度减少，则当时，，所以所求关系式为.【小问2详解】设至少要经过小时血液中因子降至无效，即，整理得，两边取常用对数，得，则，解得，所以至少要经过9个小时血液中因子才能降至无效.18.已知函数．（1）求函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）当时，函数的值域为，求正数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得.（2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围.（3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得.【小问1详解】依题意，，由，得，则，当，即时，；当，即时，，所以函数在时的值域为.【小问2详解】不等式，当时，；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此；当时，，则恒成立，又在上递减，在上的值域为，因此，所以实数取值范围为.【小问3详解】当时，在上单调递增，又当时，值域为，因此，即，则是关于的方程，即的两个不相等的正根，则Δ=9−4m(1−m)>01−mm所以正数的取值范围为.19.已知函数（其中）．（1）当时，证明：是增函数；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用中心对称的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等式，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为R，当时，，求导得，所以是增函数．【小问2详解】依题意，，所以曲线关于点