数学丨九师联盟陕晋青宁2025届高三10月质量检测数学试卷及答案

考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围:集合与常用逻辑用语,不等式,函数,导数,三角函数,三角恒等变换,解三角形,平面向量。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要1.已知集合A={0'1'2}'B={父|父>0}'则A∩B的真子集个数为A.2B.3C.4D.5A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a=log3'b=30.2'c=log2则A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a4.若曲线y=tan父(1<父<3)与父轴'直线y=1的交点分别为A'B'O为坐标原点'则向量O—与A—夹角的余弦值为5.已知AB=10'C是以AB为直径的圆上一点'AC=8'D为BC的中点'则—.—=A.—107.已知函数十父十a(a为常数)'若f(父)在[—2'4]上的最大值为M'最小值为m'且M十m=6'则a=A.6B.4C.3D.2【高三10月质量检测.数学第1页(共4页)】8.在△ABC中'角A'B为锐角'△ABC的面积为4'且cos2A十cos2B=2—sinC'则△ABC周长的最小值为A.4\2十4B.4\2—4C.2\2十2D.2\2—2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分。9.已知函数=sin十cos则A.f(父)为偶函数B.f(父)的最小正周期为C.f(父)在区间'上单调递减D.f(父)在[0'π]上有4个零点10.若实数父'y满足父2—4父y十y2=6'则A.|父y|≥2B.|父y|≤12C.父2十y2≥2D.父2十y2≤12A.f(父)的图象关于点'对称B.fC.是f(父)的极小值点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知f则曲线y=f(父)在点(—1'f(—1))处的切线方程为.父13.若定义在R上的函数f(父)满足:f(父十2)十f(父)=0'且f(—1)=—3'则f(2025)=.14.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C1'半圆C2'曲线y=cos父十1(0≤父≤π)'y=—cos父—1(0≤父≤π)组合而成的'则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于.【高三10月质量检测.数学第2页(共4页)】四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)(1)已知α是第三象限角'且tanα是方程父2—父—2=0的一个实根'求sin2α—2sinαcosα十3cos2α16.(本小题满分15分)已知函数=sin图象的一个对称中心到与其相邻的4.对称轴的距离为4.(1)求w的值及f(父)的单调递增区间;(2)将f(父)图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度(纵坐标不变)'再向上平移个单位长度'再将纵坐标伸长为原来的2倍'得到函数g(父)的图象'若函数h(父)=2g2(父)—3g(父)十2m—1在'上存在零点'求m的取值范围.17.(本小题满分15分) 在△ABC中'角A'B'C的对边分别为a'b'c'bcosC—\csinB=a.(1)求B;(2)已知b=6'BD为上ABC的平分线'交AC于点D'且BD=\'M为线段AC上一点'且AM=MC'求△BDM的周长.【高三10月质量检测.数学第3页(共4页)】18.(本小题满分17分)如图'我们把由平面内夹角成60。的两条数轴O父→→(1)若向量OP的“完美坐标”为[3'4]'求OP→→(2)已知[父1'y1]'[父2'y2]分别为向量a'b的“完美坐标”'证明:a.b=父1父2十y1y2十(3)若向量a'b的“完美坐标”分别为[sin父'1]'[cos父'1]'设函数f(父)=a.b'父∈R'求f(父)的值域.19.(本小题满分17分)(1)证明:当a=1时'f(父)只有1个零点;(2)当a<0时'讨论f(父)的单调性;若a=—1'设g父2'证明:V父1>父2≥0'.【高三10月质量检测.数学第4页(共4页)】1.B由A={0'1'2}和B={父|父>0}'得A∩B={1'2}'所以A∩B的真子集个数为22—1=3.故选B.2.A若a'b不共线'由父a十yb=0及平面向量基本定理'得父=y=0;若父=y=0'无论a'b共线与否'都有父a十yb=0.3.D因为a=log3<log31=0'b=30.2>1'0<c=log2<1'所以b>c>a.故选D.4.C由1<父<3'得<父<'由tan父=0'得父=π'解得父=2'则A(2'0);由tan父=1'得父='解得父='则B'1).O=(2'0)'A='1)'所以cos〈O'A〉=O..A==\.故选C.5.B取AB的中点O2=42—52=—9.故选B.t十t'易知g(—t)=—g(t)'所以g(t)为[—3'3]上的奇函数'则M=g(t)max十1十a'm=g(t)min十1十a'所以M十m=g(t)max十g(t)min十2十2a'由奇函数性质可知g(t)max十g(t)min=0'所以M十m=2十2a=6'所以a=2.故选D.8.A由cos2A十cos2B=2—sinC'可得1—sin2A十1—sin2B=2—sin(A十B)'即sin2A十sin2B=sinAcosB十cosAsinB'因为0<A<'0<B<'所以当0<A十B<时'sinA<sin—B)=cosB'sinB<cosA'则sin2A十sin2B<sinAcosB十cosAsinB'不符合题意;当<A十B<π时'cosA<sinB'cosB<sinA'sinAcosB十cosAsinB<sin2A十sin2B'不符合题意'所以A十B='从而C='由S△ABC=absinC=4'得ab=8'所以△ABC的周长a十b十 \a2十b2≥2\十\=4\十4'当且仅当a=b=2\时取等号.故选A.9.ABf(父)=\sin[(3父—十=\sin(3父—=—\2cos3父.显然f(父)为偶函数'故A正确;对于B'最小正周期T='故B正确;对于C'当父∈'时'3父∈'因为y=cos父在'上单调递减'所以f(父)=—\cos3父在'上单调递增'故C错误;对于D'由3父=十kπ(k∈z)'得父=十(k∈z)'所以f(父)在[0'π]上的零点有'''共3个'故D错误.故选AB.10.AC设父y=t'则父=y十t'代入父2—4父y十y2=6'整理得2y2十2ty十6t2=0'由Δ=(2t)2—8(6t2)≥0'解得|t|≥2'即|父y|≥2'则A正确;6=父2—4父y十y2≤父2十y2十2(父2十y2)=3(父2十y2)'即父2十y2≥2'则C正确;取父=5'y=19满足父2—4父y十y2=6'此时|5—19|=14>12'52十192>12'则B和D错误.综上'故选AC.11.ABCf—父十cos父sin父十父='所以f(父)的图象关于点 B正确;f,(父)=—sin父—cos父十1=—\sin(父十十1'则f=0'当<父<时'<父十<'\< sin(父十f,(父)<0;当<父<时'<父十<π'0<sin(父十<\'f,(父)>0'所以是f(父)的极小值(0'又y=—\sin父十1在(0'上单调递减'所以f,(父)=【高三10月质量检测.数学参考答案第1页(共4页)】(父十十1在(—'上单调递减'故f,(父)在(—'上无极值'故D错误.故选ABC.'所以切线斜率k=f,(—1)=—3'又f(—1)=0'所以曲线y=f(父)在点(—1'f(—1))处的切线方程为y—0=—3(父十1)'即3父十y十3=0.13.3因为f(父十2)十f(父)=0'所以f(父十2)=—f(父)'所以f(父十4)=—f(父十2)=f(父)'4为f(父)的一个周期'则f(2025)=f(506×4十1)=f(1)'又f(父十2)十f(父)=0'取父=—1'得f(1)十f(—1)=0'所以f(1)=—f(—1)=3'故f(2025)=3.14.3π如图'设A(0'2)'B(π'0)'连接AB交曲线y=cos父十1(0≤父≤π)于点E.根据曲线y=cos父十1(0≤父≤π)的性质'则A'B关于E'1)对称'曲线y=cos父十1(0≤父≤π)关于点E对称'所以可将曲线y=cos父十1(0≤父≤π)与父轴、y轴围成的区域割补为直角△OAB的区域'于是曲线y=cos父十1(0≤父≤π)与父轴、y轴围成的区域的面积就是直角△OAB的面积'即S△OAB=|OA|●|OB|=×2×π=π;根据对称性'可得曲线y=—cos父1(0≤父≤π)与父'y轴围成的区域的面积也为π'又半圆C1'半圆C2的面积都为'故曲线C所围成的“心形”区域的面积为π十π十十=3π.15.解:(1)由父2—父—2=0'得父=—1'或父=2.……………1分因为tanα是方程父2—父—2=0的一个实根'且α是第三象限角'所以tanα=2'……3分2α—2十3=.………………6分2'2'所以(sinα—cosα)2=1—2sinαcosα='则sinαcosα=>0'……………………8分因为α∈(0'π)'所以sinα>0'cosα>0'………………9分故cosα十sinα=\(cosα十si)2=\1十2sinαcosα=\i1十=\'…………11分十=cnαnαα==4\37.…………—12w4'因为f(父)的图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为4'所以×='所以w=1.……………5分由—十2kπ≤2父十≤十2kπ(k∈z)'得—十kπ≤父≤十kπ(k∈z)'所以f(父)的单调递增区间为[—十kπ'十kπ](k∈z).…………7分(2)由题意可知g(父)=sin(2父—'所以h(父)=2sin2(2父—(2父—十2m—1'……………9分【高三10月质量检测●数学参考答案第2页(共4页)】所以g(父)=sin(2父—的值域为[0'1]'…………11分令t=g(父)=sin(2父—'t∈[0'1]'则y=—2t2十3t十1=—2(t—2十的值域为[1''…………13分所以1≤2m≤'解得≤m≤'所以m的取值范围为'.………………………15分17.解:(1)“bcosC—\csinB=a':sinBcosC—\sinCsinB=sinA'………………2分 :sinBcosC—\sinCsinB=sin(B十C)=sinBcosC十cosBsinC'…………………4分:—1sinCsinB=cosBsinC'\3\3“sinC≠0':—1sinB=cosB':tanB=—\'……………………6分\3又“B∈(0'π)':B=.…………………7分(2)因为BD为上ABC的平分线'B='所以上ABD=上CBD='………8分又S△ABC=S△ABD十S△CBD'BD=\3'所以acsinπ=c.\sin十a.\sin'即ac=\(a十c)'①……………………10分由余弦定理'得b2=a2十c2—2accos'即(a十c)2—ac=36'②……………………11分由①②可得a十c=4\(舍去负值)'ac=12'所以a'c是关于父的方程父2—4\父十12=0的两个实根'解得a=c=2\.………13分又因为BD为上ABC的平分线'所以BD丄AC'又AM=MC'AC=6'所以DM=AD—AM=3—2=1'BM=\BD2十DM2=2' 所以△BDM的周长为3十\3.…………………………15分18.(1)解:因为O的“完美坐标”为[3'4]'则O=3e1十4e2'又因为e1'e2分别为O父'Oy正方向上的单位向量'且夹角为60。'→→1所以OP=\(3e1十4e2)2=\9e十24e1.e2十16e=\9十24×2十16=\37 4分2'(2)证明:由(1)知e1.e2=2'所以a.b=(父1e1十y1e2).(父2e1十y2e2)=父1父2e十父1y2e1.e2十父2y1e1.y1y2十(父1y2十父2y1)'y1y2十(父1y2十父2y1).……………8分(3)解:因为向量a'b的“完美坐标”分别为[sin父'1]'[cos父'1]'由(2)得f(父)=a.b=sin父cos父十1十(sin父十cos父).………………令g(t)=(t2—1)十1十t=(t2十t十1)(—\≤t≤\)'……………………13分【高三10月质量检测.数学参考答案第3页(共4页)】因为g(t)的图象是对称轴为t=—'开口向上的抛物线的一部分'所以当t=—时'g(t)取得最小值g(—=×—十1)=' 当t=\时'g(t)取得最大值g(\)=×(2十\十1)=32'所以f(父)的值域为'3].……………………17分19.(1)证明:a=1时'f(父)=ln(1—父)十父2'定义域为(—∞'1)'所以f,(父)<0在(—∞'1)上恒成立'所以f(父)在(—∞'1)上单调递减'…………2分又f(0)=0'所以f(父)只有1个零点.…………………3分aa'…………4